Файл: Васильков Д.А. Начала теории вероятностей учеб. пособие.pdf

ют

вероятностную

функцию Р(Л) . В самом

деле,

Р(О)—О

и согласно аксиоме аддитивности для любого

события Л ви­

да

(1)

Р(Л) =

Р ( £ , 1 ) + - . - + Р ( £ , л ) = - ^ .

Предположим,

что статистический эксперимент

обладает

ментарных исходов» Ей . . . , Е,„ таких,

что при любом

испы­

тании происходит одно и только одно

из Et

и любой

исход

испытания равносилен сумме

некоторых из Ег

Если условия

S таковы, что нет оснований

ожидать, что какой-нибудь

один

«элементарный исход»

будет иметь

место

заметно

чаще

какого-либо другого «элементарного

исхода» EJt

то, как по­

казывает опыт, такой статистический

эксперимент

описывает­

ся классическим

полем

вероятностей,

определенным

выше.

Ту же мысль выражают, говоря, что

такой

статистический

эксперимент подчиняется

классической

схеме.

§ 7.

Геометрические вероятности

A D = ( P £ D ) ,

(1)

руемые

области

D cz D 0 .

Если условия

5 эксперимента тако­

вы, что частоты

P N ( A D )

не должны зависеть ни от

формы

области

D , ни от ее расположения в Do, а могут зависеть

лишь от площади Д то, как показывает

опыт, в поле

вероят­

ностей

(А, Р),

описывающем данный

статистический

экспе­

должна

принимать

значения

р / д ч _

площадь

D

.

r\nD)—

п л о

щ а д Ь

д 0

•

W

В

отличие от

классического

поля

вероятностей

мы

сталкиваемся

здесь

с

известными трудностями

при

попытке

охарактеризовать всевоз­

можные

события

А,

входящие

в

А. Каковы

бы ни

были

множества

MkczD0

(k =

1, 2, ... )

в конечном

или счетном

числе,

для

которых со­

бытия А

=

( Р 6 М/г)

входят в

А,

сумма

м

к

> А м Г { Р е \ ! М к )

( 3 )

П Ам = (Р G П АЩ

(4)

Q = {(*. у);

<*i

< х <

Ьи а 3 < у

< Ь2 ) С

D0.

Поэтому в силу (3) и (4) А

должно

содержать

события

соответствующие произвольным

борелевским

множествам

М С D0.

В силу

свойств вероятностной функции

(см. §

5),

Р(А)

на таких

событиях

долж­

на принимать значения

(Ам> ~

площадь

D0~

т (£>0) •

( 5 )

События А =

(Я £ М),

соответствующие различным борелевским

множе­

ствам M(ZD0<

образуют наименьшую cr-алгебру событий, охватывающую

всевозможные

события вида (1).

D0 есть

Все сказанное почти

дословно переносится на случай, когда

ранстве Е„. В зависимости

от

размерности

Е л

в равенстве

(2) будут фи­

гурировать отношения

длин

промежутков

(при га =

1),

объемов

кубируе-

мых

областей (при

п

— 3)

или

л-мерных объемов

(при

п >

3).

В том случае,

когда п >

2,

в формуле (5)

мы будем

Иметь

отноше­

ние

борелевских мер

множеств

М и D0 в

пространстве Е„.

ски

исключены при немногократных

(в частности,

единич­

ных)

испытаниях. В то же время исход испытания

В в стати­

стическом эксперименте, для которого

Р(В) равно

1 или хо­

тя бы близко к 1,- практически достоверен.

Эти

два утверждения, очевидным

образом равносильные,

составляют содержание так называемого принципа

практи­

ческой

уверенности.

m N (А)

р„(Я) =

т

(В)

p N { A ) = - ^ - ,

-

^ .

Предположим, что pN{B)=^0

и pN{B)^0,

т. е. в рассмат­

имел место,

а в некоторых — не

имел места;

число

первых

равно mN(B)=£0,

число вторых

mN

(В) = N — mN

(В) ф 0.

Рассмотрим

частоту

pN{A\B)

исхода

А лишь

в тех

испыта­

временно частоту pN

(А

| В)

исхода А лишь в тех испытани­

ях, в которых событие В не

происходило;

очевидно,

что

mN

(АВ)

mN

(АВ)Ш

^

pN

(АВ)

р " ( Л | Я ) = - ^ ( 5 ) - =

% ( В ) / Л / =

R f f ( B )

-

(О

т

(АВ)

т

(AB)jN

р

(АВ)

pN(A\B)=

=

N

_ .

(2)

m„WIN

PN{B)

Числа (1) и (2) называются

условными

частотами исхода

А

соответственно в предположениях, что имел место

исход

В

или В. Равенство

pN

(A\B)

=

pN(A\B),

если оно выполняется

(хотя

бы

приближенно),

свидетельст­

вует о том, что исход В не влияет на частоту исхода

А, т. е.

ни В, ни В не учащают исход А.

(А,

Р)—не ­

Перейдем

от частот

к

вероятностям. Пусть

которое поле

вероятностей,

Л б А

и

В 6 А, причем

Р(В)Ф0,.

Р(В)Ф0.

(3)

Числа

Р(Л|Я) = - ^ - ,

(4)

Р(А\В)

=

^

-

(5)

Р{А\В)=Р{А\В).

(6)

Р(АВ) _

Р(АВ)

=

Р {АВ) + Р (АВ)

р ( Я )

Р(В)

Р(В) + Р(В)

Так как

Р ( В ) + Р ( В ) = 1 и (АВ)(АВ)=0,

то

Р(ЛВ) +

+ Р(АВ)=Р(А(В

+ В))=Р(АЕ)=Р(А).

Таким

образом,

Р(А\В)

= Р(А\В)

=

Р(А),

(7)

т. е. в предположении

(6) условные

вероятности

Р (А | В) и

Р (А \ В)

совпадают с вероятностью

Р(Л) *. Итак,

- Т $ Г = Р И ) ,

(8)

откуда вытекает

равенство

Р(АВ)=Р(А)Р(В).

(9)

Равенство (9)

отличается от

равенства

(6),

следствием

правны, и для того

чтобы оно выполнялось или не выполня­

лось, не нужны

предположения (3).

Сформулируем

теперь

следующее

определение:

события

Л€А,

BzA

называются независимыми,

если для них вы­

полнено условие (9). Если последнее нарушается,

говорят,

что события А и В

зависимы.

Говорят,

что события At ( i = 1, 2,...) попарно

независи­

мы, если

Р ( Л Л ) = Р ( Л ) Р ( Л )

(*¥=*)•

(Ю)

Говорят,

что события

Ai (i =

1 , . . . , п)

взаимно

незави­

симы,

если для

любых индексов

i u ...

, im

(1 <! i , < i2 < • • •

Р ( П \ )

= П Р ( Л Л ) -

(ii)

^ f t = l "J

fe=l

*

л

п

Р ( П Л Л = П Р ( Л Д

(12)