Файл: Ашневиц И.Я. Элементы комплексного анализа с гидромеханическими приложениями конспект лекций.pdf

а круг \z\ <

2 не область,

так как для точек

окружности

|.-'|-2

не

выполняется

первое

условие.

Определение

4.

Границей

Г области

D называется

совокуп­

ность точек плоскости 2, удовлетворяющих

условиям:

1) точки

Г не п р и н а д л е ж а т

D;

D.

2) л ю б а я

окрестность

точки из Г содержит точки

области

Так, для круга

\z\<

1 границей

является

окружность

| г | = 1 .

Определение 5. Область D вместе со своей границей

Г назы- '

cae'1'ся з а м к п у т с й о б л а е т

ь ю (обозначается

П).

Определение

6.

К а ж д а я

точка

области

D

называется

в н у т р е н н е й

точкой

области; точка, пе

п р и н а д л е ж а щ а я

об­

Рпс. Ю.

ней точкой

области

I).

На

рис 10 граница области D состоит

из

двух замкнутых,

крнпых Г н

Г|,

отделяющих

область

D от

ее

внешних точек, из точки z0

и разреза

IV Такач

абл.'сть

назы­

вается

четырехсвязнон.

Определение

7.

Число

связанных

частей, на

которые

разби­

вается

граница,

называется

п о р я д к о м

с в я з н о с т и

о б ­

л а с т и .

Круг \z—1|<2—

односвязная

область.

Круг

0 < l z —

— 1 | < 2

— двусвязная

область, т. к. границей

ее является

окруж ­

ность

\z—1|

= 2 и

точка 2 = 1 .

§ 2. Функции комплексного

переменного

Понятие функции комплексного аргумента — это частный слу­

чай общего

математического

понятия

функции.

Определение.

Пусть А

некоторое

множество

точек

плоско­

сти

Если

каждому

числу ,~ из А

поставлены в соответствие

по

правилу

/' одно или

несколько

комплексных

чисел

w, то

говорят,

что на

А определена

ф у и к ц и я

w=f(z).

(1)

Если

к а ж д о м у

z

соответствует

'лишь

одно значение

ее,

то

функщія

(1)

называется

о д н о з н а ч н о іі.

Если ж е некоторым z

соответствует

и

значении

zo, то

функ­

ция

называется

м и о г о з п а ч и о іі, именно

н - з и

а ч и о іі;

если

же бесчисленное

множество се, то она

называется

м и о г о з н а ч -

II о іі, именно

б е е к

о п е ч и о з п а ч и о й.

Пусть совокупность всех ю составляет

множество В.

Тогда

говорят,

что zv = f(z)

отображает множество А

на

множество

В.

Примеры.

1.

Функции

-zo — z"

(п=\,

2,

3,

. . . ) , •zc, =

\z\,

w =

Re

z,

w

=

Ini z — однозначные

функции,

определенные

на всей

конечной плоскости.

2.

Функция

со =

У z — двузначная,

го

=']-'^-четырехзнач­

ная,

w — z

— /і-значпа.

Все

эти

функции

о п р е д е л е н ы

на

всей

конечной

плоскости

z.

3.

Функция

тс -= Arg

z —

бескопечнозпачпая,

определенная

на всей конечной плоскости с исключенной

из нее точкой <? = ().

Обозначим

Z—X

\- /у,

и

іѵ.

Тогда,

если

-іс

•-f(z)—

дой

паре л",

поставлено

п соответствие

значение

функции

w,

т. е:

пара

и.

V;

таким

образом,

определены

действитель­

ные

функции и—<в(х,

у), v=à(x,

у)

двух.действптелыіых

нере­

менных л: и у.

Итак, одно

комплексное

соотношение

w=f(z)

эквивалентно двум

вещественным

и—ш{х,

у ) , ѵ—^(х,

у).

4.

Соотношение

w

=

z3—

(х-\-іу)3

=

х3+3іх2у

— Злу2 — іуя

эк­

вивалентно

соотношениям

и

— хя—Зху-,

ѵ =

3х-у—у3.

Из

соответствия

(1)

имеем, что

каждой

точке

іс из

В

отвеча­

ет одна пли несколько точек z из А. Это

значит, что

па

множест­

ве В определена

функция

г

=

^ М ,

(2)

о т о б р а ж а ю щ а я

В

па

Л.

Эта

функция называется обратной

для

функции

(1).

В дальнейшем в а ж н у ю роль будет играть случай, когда пря­

мая

функция

(1)

H

обратная

ей

функция

(2)

однозначны

В этом случае

говорят,

что отображение

zv = f(z)

в з а и м н о ­

о д н о з н а ч н о

в /1 .

При взаимно-однозиачпом

отображении

w=}(z)

двум

раз­

личным точкам из А всегда соответствуют

две различные

точки

из В, т. е. если z\¥=

z2,

то и

w{=f

(z,)=t/(z.,) = w2

(рис.

11).

5.

Рассмотрим

функцию

ZV =

KZ;

/ с > 0 , постоянная.

Если

z=re"f,

a

w=peM,

то

получаем р = лт,

Ѳ =

œ. Второе

из

этих

со­

отношений

говорит

о

том, что л ю б а я

точка

z

остается

на

своем

луче. Из первого соотношения получаем, что модуль

z

увеличи­

вается

(при /с>1)

или уменьшается

(при

к < 1 )

в к раз.

2*

19

6.

w=e'az,

a — действительное число. При этом

преобразова­

нии о = г, Ѳ = да + я. Следовательно, к а ж д а я точка

z остается

на

своей

окружности \z.~r

и лишь

поворачивается на

угол

а,

т.

е.

отображение

w—e'''z

сводится

к повороту вокруг точки

z =

0

на

угол

а (рис.

13).

7. Функция

w = z-\-b

осуществляет

сдвиг

плоскости

на

век­

тор Ь. Рисунку 14 соответствует

/> = ß,-j-i

[і,.

Здесь при

г=х-т

іу,

w=u+iv

имеем

« = JC-}-£!,,

v

=

y+^.2.

8. w = az+b.

где а=ке,а,

z.

b = ßl + ißo.

Это

линейная

функция

комплексного переменного

Отображение

посредством

этой

функции

можно

рассматривать как результат 3-х

последова­

тельных

отображений W1

= KZ, w2=ëia- w,,

w3=w=w->-\-b.

Таким

образом,

л и н е й н о е

о т о б р а ж е н и е

w = az + b

сводится к

р а с т я ж е н и ю

(сжатию )., п о в о р о т у

и с д в и г у .

гп=*п+1Уп,

л = 1,2,3, ...