ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.08.2024
Просмотров: 73
Скачиваний: 0
Из формулы |
(1.18) |
вытекают следующие |
оценки |
|
|
|ф(0 (X, |
О 1< |ф (У) |+ С1VM. (У) Цое 1ф (У) Цое, |
|
|||
1,Ф(1) (х, t) — J G0 {х, |
у, |
t) Ф(у) dy |< С (t, I |
(х) |9) X |
||
< |
|
г/, |
/ — т) 11/Af0(г/) |^||ф (г/) Ц». |
(1.19) |
|
X j' dx | G° (Л-, |
|||||
Но
dx I G0(x, у, t — x)\ VMo (у) |dy <
|
|
i |
Г |
e (■*— y)2 |
( l — s)(x — y)2 1 |
|
_ |
||
|
|
[ |
exP |
|
4t |
At |
|
|
|
< |
LJdr |
|
|
1V ,, |
1 |
||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
(4лт)Л//,г |
|
1V Mo \У) \ X |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
exp |
g(* — </)a |
(1 — в)(x — y)* |
||||
X dy < |
|
4тг |
exp |
||||||
\ d* j Л |
|
||||||||
|
|
|
|
|
(4ят)ЛГ/2 |
t |
- |
At |
1 * |
|
|
|
о |
|
” '1' L |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
p |
exp |
( 1 - г ) ( х - у ) * |
|
|
|
|
|
|
4f |
|
П^о0/)№/. |
||||
xlVAf.GOKCxW 2 — |
|
||||||||
|
|
||||||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф(1) (x> 0— |
\ O0(x, |
y, |
t) ф (y) dy |
<C(t, |
II l/(->(*)|l)C(8) X |
|||
|
Х,||ф(г/) ||« |
|
|
N —2 |
1Илц (У) Idy, x £Rn. |
||||
|
|
|
|
\x — y | |
|
|
|
(1.20) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Совершенно аналогично получается оценка |
|
|
|||||||
|
|
|
ф(1)(*. O' |
J G0 (х, |
у, t) ср (у) dy |
< |
|
||
|
|
|
|
|
exp £ — ^ 4t^' (х — у)2j |
|
|
||
<C(t, |
||1/(-) (х)||9) С (е) |
___ 4f_ |
|
\УмЛу)\лУ•. |
|||||
\х — у lN —l |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.21) |
2* |
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
Перейдем к оценке функции ф^ (х, t). Как известно, функция фм (х, t) может быть найдена в виде потенциала двойного слоя
1
фм (X, t) = j |
dx j |
— |
G0(x, у, t — x) Ум(у, x)dSy, |
||||
|
0 |
|
Sj |
dn |
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1. 22) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
где плотность |
ум {у, |
т) |
есть решение интегрального уравне |
||||
ния 1 |
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у, t — т) |
|
|
HF -i- [Х)И(х, |
t) + |
J dx j1 |
■G0 (х, |
Ум (У, т) dSy = |
|||
|
|
о |
|
дпи |
|
|
|
|
|
s3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
= |
Фм(х, |
О- |
(1.23) |
Пусть B{S2, t) — банахово пространство измеримых функций от x e S 2 и те[0, t] с нормой
||ф(*> т)||а= sup |ф (х, 01 x&S. т6[0,(]
и пусть А — интегральный оператор в B(S2t):
t |
G0 (х, у, t— -г)JФ (г/, т)dSg. |
(Ар)(х, 0 = 2 1 dt ^ |
оs , L
При достаточно большом т норма оператора Ат удовлетво ряет неравенству
и единственное решение уравнения (1.23), принадлежащее B(S2, t), дается формулой
=F Ум (х, |
t) = £ |
( - 1)"' {Ат2ФМ) (х, t). |
(1.24) |
||
|
|
т=О |
|
|
|
Каковы бы ни были точки х£ S2, t > |
0 |
|
|||
1 im Фм (х, |
t) = |
lim Г\GM(x, у, |
t)<f(y)dy — y$(x, |
О] = |
|
М-+оо |
М-*оо LJ . |
|
|
J |
|
= j G (х, у, |
t) ф (у) dy — ф(‘) (х, t) = Ф (х, t), |
|
|||
причем для всех М и т ( [0, |
i] |
|
|
||
•* Выбор знака должен быть согласован с направлением, нормали, для даль нейших оценок он несуществен.
20
IФл1 (X, т) I < |
|j |
Gm (x , |
у, |
т)(f(y)dy\ + \cpff (x, t)| < |
|
||||||
<C(t,\|F<~> (x) \q) [2 + | |
(x) I .] ||«p(y) Ik: |
(1.25) |
|||||||||
Как известно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
^+1-6 |
aU—i/i2 |
|
|
|
-j— G0{x,.y, |
t — x) |
< C ( t - 1) 2 |
'e |
t—x |
Xt У6 *^2> |
||||||
|
|||||||||||
dny |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a > 0 , |
6 > 0 . |
|
|
|
|||
Следовательно, интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
||||
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Я1 |
d |
G0(x, |
y, |
t — t) q dSy d%< |
oo |
|
|||||
0 s. |
|
dn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при некотором q > |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Поэтому справедлива оценка |
|
|
|
|
|||||||
|Л(Ф — Фм)(х, |
|
t) |< ^J |
J |
|
| G0 (х, |
у, |
t — т) |
qd.S„dxsj |
lq x |
||
|
|
|
|
о |
s, |
|
9 |
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.26) |
X ( j |
j |
|Ф(х, |
t ) - |
Фм(.х, |
0 р-dSxdT)'/p, |
||||||
|
о |
S, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отсюда следует, |
|
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||Л(Ф-Фм)||в->0, |
М~> оо, |
|
|
|||||||
поэтому из формулы (1.24) следует, что |
|
|
|
||||||||
||р(х, |
t) — \iM{x, |
ОЦв-^-0, |
|
УИ-э-оо, |
|
||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ц(х, 9 = £ (— 1)т (Лт2Ф) (х, t).
m=0
Обращаясь к формуле (1.22), видим, что равномерно по x^DiczDi, т е (0, t) выполнено равенство
lim cp $ (*> 0 = |
<Р(2)(х, t), |
(1.27) |
М->оо |
|
|
где |
|
|
t |
|
|
фР)(х, t) = _^dx J [ — Go (^» |
У< t — x)j n(y,x)dSy. |
(1.28) |
0 s. |
|
|
21
Из формулы (1.28) следуют оценки
1ф<2>(л:, f)|<C 2(f, |
|
- |
— 1*1“ |
||р(г/, т)||в < |
р (грDx, грD2)) е |
8‘ |
|||
|
|
U|* |
|
|
CC^f. ptrpD^rpDJJKWWge |
8i |
||1Ч(0)|»»ФШ», |
||
IVx¥2)(x> t) I< |
clit, p(rp Dx, |
rpD2), II V<--] (x) \q, |
||
IIУм„ (У) lleo) exp ^---- 1x |2^1ф (у) И»• |
(1.29) |
|||
- Формулы (1.28) |
и (1.18) были получены нами при ус |
|||
ловии, что функция ф(г/) — непрерывна. Пусть ср((/) — про извольная функция из L°°, а
|
|
N |
|
_ |
т(ц—х )г |
|
|
|
Фт(У) = |
2 |
j |
е |
4 ф (лс)dx. |
|
|
||
По каждой функции срт(у) с |
|
помощью формул |
(1.18) |
и |
||||
(1.28) МОЖНО |
построить |
функции фт (x, |
t) И фт* (х, |
t). |
||||
Легко видеть, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пт фш{х, |
t) = |
lim f G(x, |
у, |
t)ym(y) dy = |
ф (х, |
t), |
|
|
т-¥оо |
|
т—>оо J |
|
|
|
|
|
|
Пт ф£* (х, t) = фб! (х, t),
т->оо
Пт ф,(п [х, t) = ф(2) (х, t),
т->оо
причем функции фР>(х, t) и ф<2)(х, t) удовлетворяют оценкам
(1.20), (1.21) и (1.29).
Так как
|Jg(*. У, f)4>(y)dy\ = \^G0(x, у, t)y(y)dy— jG {x,y,t)x
ф(У) X dy |< |ф<‘>(х, t) — J G0 (х, у, t) ф (у) dy |'+ 1ф(2>(х, t) |,
то из оценок (1.20), |
(1.21) и (1.29) |
следует |
|
|||
j ^ g (х, |
У, t) ф (у) dy |
< C ' ( U ^ " , W L |
е, II^W IU, |
|||
|
|
|
( 1 - е ) |
(*-!/>* |
|
|
Р(грA., |
г - |
— l*lL |
«41 |
1 |
||
rpDa)) уе |
81 |
+ j — [x^ ylN-2— |
\УмАУ)\Лу\ X |
|||
|
|
х ||ф((/)|и, |
|
|
(1.30) |
|
22
