ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.08.2024
Просмотров: 72
Скачиваний: 0
(2n)~N J |
exp (— ikH) a+ (n, M) a~ (n, M) |
dk |
№2-Я3-|<а |
(X-X-(M)) |
|
|
|
|
— Aj (M) exp (— iXf (M) t) < C/cr. |
(6.16) |
|
Собирая оценки (6.13) — (6.16), получим утверждение леммы. Следствие. Справедлива оценка
11 ехр (— ikH) |фм (k, %j) |2 dk— Aj (M) exp (— iXf (M) i) |<
< C [a + a‘/« + Г,- (M)/a] - j - (1 — exp'(— at))-2 exp (2^/r) 02 (Л4, т). (6.17)
Положим в (6.17) параметр a (/И) = 0 {М)'Р и воспользуем ся оценками теоремы 5.10 и леммы 5.2. Тогда из (6.17) получим
Теорему |
6.2. |
Если параметр |
М достаточно велик, е > 0 |
|||
d{M)W'u yy 1, |
(— ^• + М)М_,/М (М )» 1, то |
|||||
|
|Рм(0 - 1 А3- (М) |2 ехр ( - 2Гj (М) t) |< |
|||||
|
Ум |
|
|
N—2 |
||
< С |
|
|
X |
|||
iff- |
d (М) |
|
|
|||
|
|
|
1—в |
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
з |
|
где |
|
|
x e x p ( ~ |
^ |
d(M\ |
|
d(М) = |
0,5 Р ({х, К (*) < М}, {х, v (X) = оо}), |
|||||
|
||||||
константа С,- от М и t не зависит |
и Рм (t) определена форму |
|||||
лой (6.2) |
|
|
|
|
|
|
З а м е ч а н и е . |
Из равенства (5.35) следует, что |
|||||
|
|
|
lim |
As (М) — 1. |
||
|
|
|
М—юо |
|
|
|
§4. Асимптотика волновой функции квазистационарного состояния
Выше мы видели, что о квазистационарном состоянии имеет смысл говорить лишь тогда, когда величина
|А,у — Xf (М) | достаточна мала. Выделим из волновой функ ции (6.1) слагаемые, которые имеют приблизительно тот же
порядок малости.
Теорема 6.3. При всех достаточно больших значениях па раметра М волновую функцию (6.1) можо представить как сумму трех слагаемых
108
фм (x,t, Xj) = exp {—IXf (M) t) Aj (x, M) 4-
+ Bj (x, M, t) + Pj(x, M, t),
где
X (ф/~, фД'^ af{n,M)dt\,
Доказательство. Воспользуемся формулой (6.12):
фм (x, t, X,) = {2%)~N ( j |
+ |
j |
) exp (— ikH) x |
]fea—Я.у1<сг |
|
|fc3—Xjl>a |
|
X uM(x, k) [aj {k, M) 4- (к2 — Xf (M))~laf (n, M j (cp/\ фу)J dk.
Интеграл по области \k2—A,yl>icT в метрике L2 оценивается стандартным образом по теореме. 6.1, интеграл от функции аД/г, М) по области |/е2—Xj|<icr в силу равенства Парсевалля не превосходит величины Ссг1/2. Так мы получаем оценку:
|fc3-Xy|<0
X [к2 - X f (М )]-1 4 (п, М) <ф+ фу) dk ||о <
< С [о'/> 4- (1 — ехр (— от))-1ехр {X,- т) 0(М, т)].
Теперь воспользуемся теоремой 5.4 и формулой (5.7)
им (х, к) 0k2 - Х+ ( М ) ) - 'а + (Л, М ) <Ф+ фу) = |
|
|
= [ехр (— tftx) + 5Г {k, М) (х)] (k2— Xf (М))~1 х |
|
|
X af (л. М) ( 4 , Ф/) + Ф“ (х, Xj) к2, М) соД (X, М) х |
|
|
x(X — Xf(M))~'af(n,M){ |
Ь = к2. |
(6.19) |
Интеграл от первого слагаемого ограничен в метрике L°° ве личиной порядка СДсг1/2), а интеграл от второго слагаемого преобразуем так:
(2it)_N J ф- (х, X, |к2, М) со- (к2, М) (X- Xf (М)) - 1х
\ k*-lj\< a
X af (n, M) exp (—■ik2t) (cpf, фу) dk =
8 А. А. Арсеньев |
109 |
= (2л)-" ш |
Г |
o}r (х, Kj \Xf{M, M) coy {Xf (M),.M) x |
||
|
|nl=l |
|
|
|
X af (n, M) (фf, |
ty) |
—__ 1 |
exp (— iXf (/VI) t) -|- |
|
dnXf (At) 2 |
||||
+ (2я)~" |
j |
j |
г|гсо- (X— Xf (УИ))-1exp (— iXt) x |
|
|
Cj.a |n|=i |
|
|
|
|
|
|
JL_, |
|
|
|
X af ( фf, ipy) dnX 2 |
dX, |
|
где Cj, a— полуокружность радиуса а с центром в точке Xj, лежащая, в нижнеи полуплоскости. В метрике Ly q> —— -,
этот интеграл ограничен величиной порядка Crj(M)/cr, если
только параметр- а выбран так, что 2\Xt-— Xf (Л4)|<о. Поло жив а—в(М, т)2/3, получим требуемую в теореме 6.3 оценку.
§ 5. Изучение оператора (ехр(— Xt)— G0( t ) ) ~ l
Теорема 6.4. Пусть е |
[0,1]. |
Тогда оператор |
|
|
|
||||
R (е~и , G0 (/)) = |
— G0 (<))- 1 |
6 [Lp -* LP, 1 < р < со), |
|
||||||
причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Же- " . |
О0 (/))=еМ(£ + *(&)), |
|
|
|
||||
где К (X) — интегральный оператор с ядром К ( Х , \х — у \), |
|
|
|||||||
тIл |
I |
,, |
N оо |
ехр(—р2/) |
|
|
|||
> |
Г |
X |
|
||||||
К(Х, |
\х — у\) = |
(2я) |
\ — -— — ---------- - |
|
|||||
|
|
|
|
J exp (— X/) — ехр (- |
■p2f) |
|
|||
|
|
7 |
— у1р) |
" |
|
|
|
||
|
|
X ----- ------------ м------------Р 2 Ф- |
|
' |
(6-20) |
||||
|
|
|
— —1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
\Х — у\% |
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть р = |
ем , ф ( х ) £ Д , |
|
|
|
||||
|
|
■ф(д:) = ((р£ — |
G0)cp)(x). |
|
|
|
|||
Отсюда следует, |
что -ф (х)еТ 1, |
поэтому |
преобразование Фурье |
функ |
|||||
ции ф (х) существует, |
и по теореме о свертке |
|
|
|
|
||||
|
(Фо) |
(k) = |
И- (ф)о (А) — |
ехр (— кЧ) (ф)0 (k). |
|
(6.22 |
|||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ф)о (*) |
= — |
(’Ф)о W + |
|
ехр(—kH) |
(Ф>о (*)- |
|
|||
р — ехр (— kH) |
|
||||||||
|
V- |
|
|
|
|
|
|||
по
Снова воспользовавшись теоремой о свертке, |
получим |
|
|
ф(*) = “ V- ' Ф М + ~ р. J |
\x — y\ )^{y)dy, |
(6.23) |
|
|
|||
где |
|
|
|
р~ р2‘ |
N |
- 1 {г, р) |
— |
|
|||
К ( Х , г ) = ( 2 п ) 2 ( — - |
2 |
_ p |
2 dp. |
V ре - и _ е- р ч |
|
N—1 |
|
Если е~м [0, 1], то функция К(Х, г) есть целая функция параметра г, которая при г —»-+оо имеет порядок 0(r-N_2) (см. ниже теорему 6.5), по этому
|
j |
I К (X, |
I х — у |) |dy < |
СО |
|
(6.24) |
|
Следовательно, если q>(y)£L\ то левая |
часть |
равенства |
(6.23) |
принадле |
|||
жит L1, преобразования |
Фурье |
функций ср(х) и ф(л:) связаны |
равенством |
||||
(6.23), а сами функции '(6.21). Тем самым мы доказали, что |
|
||||||
|
R(e~u , |
G0 (0)6 [V--+L1]- |
|
(6.25) |
|||
Пусть теперь ф(г/)€7.°°. Р1з оценки (6.25) |
следует, что еи (£-j- К (Х.))£ |
||||||
6 [1°° —» L°°]. Определим^ функцию ф^ (х) |
равенством |
|
|
||||
|
|
|
Ф(*). |
|* I < R |
|
|
|
|
Фд (х) = . |
\x\>R. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
Так как фд (х) £ L1, то |
|
|
|
|
|
|
|
(е- Л1 - |
G0 (0) [еМ (Е + К ( Щ ф* = ф* = |
|
|
||||
= Ф* + |
[/( {X) - |
G0 (0 - |
ем G0 (<) К (*,)] ф *. |
|
|||
Отсюда следует, |
что при любом R < оо |
|
|
|
|||
ГК(Х)- |
Gt (t )-e * * G 0 (t)K(X)] фд = 0. |
|
(6.26) |
||||
Докажем теперь, |
что из (6.26) вытекает равенство |
|
|
||||
[ K ( X ) - e u Ga(t) |
JUG0(t)K(X)]x\> = 0. |
|
(6.27) |
||||
В самом деле, пусть |
а(х, у) — ядро оператора в левой |
части |
(6.26). Из |
||||
(6.24) следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
j|а(х, y)\dy< оо,
всилу (6.26) справедливо равенство
|
|
\а(х, |
у) ф (у) dy = |
lim |
Г а (х, |
у) ф „ (у) dy = |
0 . |
|
|
•J |
|
R—>оо v |
|
|
|
Но из |
(6.27) |
следует, что при любой |
ф((/) e L 1 выполнено |
равенство |
|||
_М - |
G0 (/)) |
+ |
ем К (X)) ф = |
ф + |
[К (я) - |
еи G„ Ц) - ем G0K (Ь)]ф = ф, |
|
