Файл: Тепловые процессы при обработке металлов и сплавов давлением учеб. пособие для студентов металлург. спец. вузов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 14.10.2024

Просмотров: 267

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Считая по-прежнему раскат полуограниченным телом как по высоте, так и по ширине, а также пренебрегая градиентом темпе­ ратуры вдоль оси прокатки [17], приходим к необходимости решения

дифференциального

уравнения

теплопроводности

/

dv(Xh

Yh

х)

д2ѵ(Хь

Yu

x) ,

дѢ(Хх, Yh

x)

 

 

 

 

дХ\

f

•

 

 

 

 

 

 

ÔY\

 

• M ,

àv(Xb

Ki,

T)

•Mo

dv(Xh

Y1

•Po(t)

 

(М[х <

 

< оо,

A f 2 t < r ! < o o ) ,

(2.2.52)

при следующих краевых

условиях:

 

 

 

 

 

дѵ

 

 

- K i ' ( t ) ;

(2.2.53)

 

 

дХі

 

 

 

 

X^Mf

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дѵ

 

 

- K i " ( t ) ;

(2.2.54)

 

 

ÔY

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.2.55)

 

 

дѵ(Хъ

Ylt

x)

 

0;

(2.2.56)

 

 

 

 

дХг

 

 

 

 

 

 

 

X,=oo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.2.57)

 

 

 

 

 

 

 

= 0:

(2.2.58)

 

 

 

 

 

 

К, = oo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.2.59)

где Ро(т) — критерий Померанцева, определенный как суммарный эффект диссипации механической энергии формоизменения по на­ правлениям Хі и Уі; Кі'(т) —критерий Кирпичева, определенный по

тепловому потоку, который проходит через

поверхность Х\ — М\'х;

Кі"(т) — критерий Кирпичева, определенный

по тепловому

потоку,

который

проходит через

поверхность Уі = М2 Ѵ, M] — компонент

безразмерной скорости течения частиц металла

в направлении

Х\\

М2 — то же в направлении

Уь М/—безразмерная

скорость

движе­

ния поверхности раската в направлении Х\\

М2'

— то же в направ­

лении У].

 

 

 

 

 

Под

функцией ѵ(Хи У ь

т) в выражениях

(2.2.52) — (2.2.59)

сле­

дует понимать температурное поле области,

образованной

пересе­

чением двух полуограниченных тел. Начало координат этой области

расположено

в вершине двугранного

угла

XiQY]

(рис. 2.6).

При

этом считаем,

что призма /—2—3—4 —4'—V—2'—3'

с точки

зре­

ния теории теплопроводности ведет себя в

направлениях Х\

и Y\

как полуограниченное

тело. Это положение вытекает из обсуждав­

шегося выше

вопроса

об инерционном

времени, которое при про-

45

катке на обжимных станах больше времени прокатки. Зная темпе­ ратурное поле призмы /—2—3—4 —4'—/'—2 —3', мы имеем всю информацию о температурном поле прокатываемой заготовки (вследствие симметрии).

Решение поставленной двумерной задачи теплопроводности можно получить, вводя, как и в случае одномерной задачи, новую

Рис. 2.6. Схема расположения координатных осей для случая двумерной задачи теплопро­ водности

(штриховыми линиями показаны контуры реальной заготовки, имеющей высоту 2 R и ширину 2 s)

систему координат, позволяющую перейти от движущегося темпе­ ратурного поля в неподвижной системе координат к неподвижному полю в подвижной системе координат, а именно:

 

Х = Х1 — М1х,

 

 

У=У1—М2х,

 

ф = т .

 

(2.2.60)

Принимая во внимание, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v(Xv

Ѵъ

 

х) = Ѵ(Х,

V,

ф),

 

(2.2.61)

а также следующие соотношения [63]:

 

 

 

 

 

 

дѵ

дѴ

дХ

, дѴ

дѴ

1

 

 

д\>

дѴ

(2.2.62)

дХг

дХ

дХх

 

dY

дХх

д Ѵ

 

дХ

дХ

1

1

аф •

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д^ѵ

-д

 

х

(—]

 

dW

 

 

 

(2.2.62а)

 

 

дХ\

дХ

 

[дх)

 

 

 

 

 

 

дѵ

дѴ

дХ

, дѴ dY

 

дѴ

 

 

дѴ

(2.2.626)

 

дХ

дГ1

1 дг

 

• дУі

 

дь

•

дУі

дГ

 

 

1

 

 

 

д2ѵ

 

д

(дѴ\

_

д?Ѵ

 

 

(2.2.62B)

 

 

дѴ\

 

 

 

[дУ

) ~

дУ2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

46

дѵ

дѴ

дХ

,

дѴ

дГ .

дѴ

сіф

дг

дХ

dz

'

дГ

дг

1

d>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дХ

 

•^2 —

+ —

,

(2.2.63)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

запишем систему

уравнений

(2.2.52) —(2.2.59)

следующим обра­

зом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дѴ(Х,

Y, ф) _

dW(X,

Y, ф) t

dW(X,

 

Y, ф) |

<Эф _ dV(X, Y, ф)

dX

0 < X^oo,

dX

дѴ dY

dX2

 

dY2

 

•My

dV(X,

Y, ф)

•Ро(ф),

 

 

'dY

 

0 <

Г < о о .

(2.2.64)

=

-

K i ' (Ф),

(2.2.65)

=

- К і " ( Ф ) .

(2.2.66)

 

 

 

(2.2.67)

дѴ

= 0,

(2.2.68)

дХ

Х= (

 

 

 

Ѵ{Х,

Y, ф ) | г = с о # с х э ,

(2.2.69)

дѴ

- О ,

(2.2.70)

dY

 

 

^

Ф)Іф_о = ° .

(2.2.71)

 

где МХ = М[ — М{, МУ — М'і—М2.

Подвергая уравнение (2.2.64) интегральному преобразованию Лапласа — Карсона, получаем дифференциальное уравнение в част­ ных производных по X и Y, лишенное дифференциальных операций по времени:

д2Ѵ(Х, Г , р) •

dW(X,

 

Y, p)

•M,

dV(X,

Y, p)

 

дХ2

 

 

dY2

 

dX

 

 

 

 

 

 

-My

дѴ(Х,

Y,

p)

•pV(X,

V, p) = Po(p).

(2.2.72)

 

dY

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Граничные условия в этом случае получают следующий вид:

дѴ

= - К і ' (р),

(2.2.73)

дХ

х=о

 

 

 

47

 

дѴ

 

 

 

 

(2.2.74)

 

дГ

іу=о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ѵ(Х,

У,

 

p)\x,ao^œ,

(2.2.75)

 

 

дѴ

 

=

0,

(2.2.76)

 

 

дХ

 

 

 

ІХ= оо

 

 

 

 

 

 

 

 

Ѵ(Х,

У,

 

рПу^фоо,

(2.2.77)

 

 

дѴ

 

•0.

(2.2.78)

 

 

дѴ

 

 

 

 

 

 

 

Общим решением дифференциального уравнения (2.2.72) яв­

ляется функция

 

 

 

 

 

Ѵ(Х, У,

p)=Ä(p)exp

 

 

 

+

 

 

 

 

+

ß ( p ) e x p

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

+

С(/?)ехр

У

M,

 

 

 

 

 

 

 

+ 7 3 ( / ? ) е х р [ г |

 

 

Mi

PO (p) .

(2.2.79)

 

 

 

Удовлетворяя общее решение (2.2.79) граничным условиям

(2.2.73) — (2.2.78), находим:

 

 

 

 

 

 

В(р)

= 0,

D(p)

= 0;

 

 

А(р) =

 

 

K î ' (/>)

 

 

 

M X

+

 

 

 

 

 

2

У

4

 

 

 

'

 

С{р):

КГ" (/>)

 

 

Y

48

Таким образом, решение задачи в области изображений запи­ шется следующим образом:

ехр

X

Af,

V

Mi

+

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ѵ(Х, V, р) = КѴ{р)

 

+ / 4

 

 

 

 

 

M,

+

р

 

 

ехр

 

мі

+ р

 

 

 

 

 

 

 

Po

(p)

(2.2.80)

- fKi"(/>)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Af,.

Ml

 

 

 

 

 

 

+

 

+ P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обозначив

 

 

 

 

 

 

 

ехр — X

AT*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

P

 

 

Ali

 

 

Mi

 

 

 

 

 

 

 

+

P

 

 

 

M,,

/ 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

exp

 

 

 

 

 

 

 

< W P)-

 

 

 

 

 

 

 

A l ,

 

Mi

 

 

 

 

 

+

 

+ p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

получим после обратного преобразования решение в области дейст­

вительной

переменной:

 

для (п +1 )-й

паузы

 

Ѵ(Х,

У,

ф) = КіІФ,(А-> ф) + (КІ2—Кіі) 2

< ф і [ * ' Ф -

 

 

m =

l

- ( т - 1 ) т 0 - т 1 ] т ) [ 1 ) ; - ( т - 1 ) т ( ) - т 1 ] - Ф 1 ( Х , ф - mt0 ) т) ( ф - т т 0 ) ) +

+ К І ; Ф 2 ( К , ф) + (КІ2 — К І І " ) 2 l ) t 0 - t j X

m-l

Х ч [ ф — С " — 1 ) ^ о - ^ і ] - ф 2 ( ^ . ф—/пг0 )к|(ф —mt0 )> —

- ( ф - т т 0 ) т ) ( ф - т т 0 ) } ;

(2.2.81)

49

Смотрите также файлы