Файл: Тепловые процессы при обработке металлов и сплавов давлением учеб. пособие для студентов металлург. спец. вузов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 14.10.2024

Просмотров: 264

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

фициент теплоотдачи; а 1 и а 2 —коэффициенты теплоотдачи между поверхностью раската и окружающей средой соответственно в

течение паузы

и обжатия;

Лг

1 = л:1 А=ВіЛ .1 — критерий Био для слоя

толщиной

х{,

 

М^=-^—безразмерный

 

 

компонент

скорости

пере­

мещения

частиц металла

в направлении

хг;

My

безразмер­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ah

 

ная скорость

перемещения

поверхности

полуограниченного

тела

в направлении

х{, P o ( t ) = —

 

 

критерий

Померанцева;

K i ( t ) = —

 

 

 

 

XA2 (r0 — Гс )

 

 

 

 

 

критерий

Кирпичева.

 

 

 

lh

(Т0

—

Тс)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Используя эти величины, приведем систему уравнений (2.2.1) —

(2.2.5) к безразмерному

виду:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

дх\

 

• М- дѵ (Хъ

т) Po (Г)

 

 

 

 

 

 

 

дХі

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оо),

 

 

(2.2.6)

 

 

 

дѵ(Хь

 

г)

 

 

= - K i ( t ) ,

 

(2.2.7)

 

 

 

dX,

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D ( O O,

%)фсо,

 

 

 

(2.2.8)

 

 

 

дѵ(Хъ

т)

=

0,

 

 

 

(2.2.9)

 

 

 

 

дХ1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Xt = oo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v(Xv

0) =

0

 

 

(2.2.10)

Наиболее часто встречающимся приемом решения тепловых за­ дач для полупространства с границей, движущейся по линейному закону, является использование новой подвижной системы коорди­ нат, перемещающейся вместе с границей [1, 53—61]. Используя этот прием, запишем новую систему координат:

Х=ХХ — М[х; ф = т.

(2.2.10а)

Соответственно будем иметь новую температурную функцию

V(X,

Ѵ = ѵ(Хѵ X).

(2.2.11)

Принимая во внимание следующие соотношения:

дѵ

дѴ

дХ

, дѴ

д<\>

dV

 

 

дХг

дХ

дХі

д^

' дХі

dX

 

 

 

dW

дХ

dW

 

\

(2.2.12)

àXf

àX2

dXi

dX2

 

 

 

 

 

 

 

 

âv

dV

âX

 

 

 

dV

 

дх

àX

 

dty

dx

dX

ді/

 

36

запишем в новой системе координат

выражения

(2.2.6)

(2.2.10):

дѴ(Х, у =

д2У(Х, ф)

• мдѴ(Х,

Ф) р о

(

}

(2.2.13)

дф

дХ2

'

дХ

 

'

W

 

 

(О <

X < со),

 

 

 

 

ôV (X, ф)

 

 

 

 

 

(2.2.14)'

 

 

 

 

 

 

 

 

Ѵ(оо,

ф) =

0,

 

 

(2.2.15)

 

<ЗУ (X, ф)

=

0,

 

 

(2.2.16)

 

 

 

 

 

где М — М\— Мѵ

Ѵ(Х,

0 ) = 0 ,

 

 

(2.2.17)

 

 

 

 

 

 

 

Использованное преобразование

координат

позволило

перейти

от движущегося температурного поля в неподвижной системе ко­ ординат к неподвижному полю в движущейся системе координат.

Подвергнем систему уравнений (2.2.13) — (2.2.17) интегрально­ му преобразованию Лапласа — Карсона, после чего указанная система запишется следующим образом:

dW(X, р) dX2

где V(X,

л. м d V { X [ р )

dX

dV dX

V (со, p)

dV

dX X=oo

p) = p^V{X,

о

РѴ(Х,

р) = Ро(р),

фсо,

= 0,

Ф)ехр(-/?ф)йГф,

PÔ ( ^ ) = Р 0 2

KÏ(/;) = K i 1 + ( K l 2 - K i 1 ) ? ( / » ) .

Функция <p(p) имеет значения? для (n + 1)-й паузы

п

(2.2.18)

(2.2.19)

(2.2.20)

(2.2.21)

(2.2.22)

(2.2.23)

(2.2.24)

? (р) = 2

е х Р < - Р К т -

1 )хо +

f J} -

exp ( - pmxQ),

(.2.2.25)

m =

l

 

 

 

 

 

для («-f-l)-ro обжатия

+ t ^

_ 2

QXP(-Pmxo)-

(2.2.26)

?(/>)=»2e x P f - ^ m t o

 

П

 

n

 

 

 

m=0

 

 

m =

l

 

37

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (2.2.18), удовлетворяющее граничным условиям (2.2.20) и (2.2.21), будет следующим:

Ро (р) . (2.2.27)

Функцию Â(p), постоянную относительно переменной X, опре­ делим из граничного условия (2.2.19):

А(р) =

Кі (Р)

(2.2.28)

, f m

м

 

Тогда решение поставленной запишется так:

exp

M

X

Ѵ(Х, р) = Кі(р)

т

м_

 

 

2

задачи в области изображений

л f

№

 

+ Ѵ

т + р

Po (/>) (2.2.29)

іМ2

+ Р

 

 

 

При осуществлении обратного преобразования выражения (2.2.29) используем табличное соотношение [62]:

9 «>|-Ьг+-<)1

м, Г M?

-тЧт^*(^+т^)}л ' (2.2.30)

где = означает операционное соответствие. Используя (2.2.30), запишем

ехр

( м

 

Г m

exp

 

[т

 

Ѵ

Т+Р.

4f

 

+

 

 

M ._

 

M 2

P

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

2

erfc

 

(2.2.31)

 

 

 

2 ] / *

1

 

Обозначим

левую часть соотношения

(2.2.31) через Ф{Х, р).

Тогда

(2.2.31)

можно записать короче

 

 

 

 

 

Ф(Х, р)^Ф(Х,

ф),

где Ф(Х,

г|з) — п р а в а я

часть соотношения

(2.2.31).

38

Таким образом, в подвижной системе координат будем иметь

X

M - г—\ 21

 

 

ехр

M

, / X

.M.

Ф (X, Ф) =

— erfc /

—

 

 

2

WT

2

(2.2.32) Интегрируя по частям первое слагаемое подынтегральной функ­

ции, выражение (2.2.32) можно преобразовать к виду

Ф ( Л \ ф ) = ^ 1 е х р

Ѵя

х и і с (,Tf+ f + f Iе*

Интеграл, содержащийся в полученной формуле, представим в виде повторного интеграла:

2

+ T У*) «•

^

и ' 4 ' |

|

оо

VRK

(2.2.34)

 

 

х/м

 

область

интегрирования которого

Рис. 2.2. Область

интегрирования

заключена между следующими

в выражении

(2.2.34)

линиями

(рис. 2.2):

 

 

Разбиваем указанную область на три области: D\, D% и D 3 . Из­ меняя порядок интегрирования, получаем

х_

со

 

 

 

M

 

 

 

 

I

e-u°du

 

 

2иI

dt +

 

j W " X

 

 

2u2

А

——

 

 

 

 

 

un —

Тл —

-ъг,.

Vu1—MX

 

 

 

 

 

2

 

2

9

I

 

 

Xdu \ dt\-

_

 

 

e~"2du

dt.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

(2.2.

35)

 

 

 

 

 

 

 

39

Смотрите также файлы