Файл: Тепловые процессы при обработке металлов и сплавов давлением учеб. пособие для студентов металлург. спец. вузов.pdf

^ erfc

X

м

2V

t

2_У± exp

X

M

y+

YnM

2 Ѵ Ч

e x p ( - A ! X ) e r f c / _ X

М у -

(2.2.36)

V*

exp(-MX)cdc

I X

M

(2.2.37)

Ш

2

Ф (Xv

t ) =

?^4:exp

X,

2Уг

У л

— (— 4-Х, —Мл)

erfc/

921

\Мм

s

\ 2

у

ехр [ — М(Х1

—

М[х)] erfc

X:А_

-і-(м[+м)Ух . (2.2.38)

2М

2 ] / ,

2

Н т Л . 0

[ Ф ( * . 1 > ) ] = ^ е

х Р (

- - ^

X erfc

X

; (2.2.39)

2 ^

Ііш М-+0

[ф №. *)]=1/я

ехр

Ух

(Л^—Л*іт)егіс

X,

м\

1/t

(2.2.40).

2]А

вижной

границей

и граничными

условиями

I I рода. Табулирован­

ные значения

этой

функции

2,00

приведены

в

приложении 1.

На

рис. 2.3 и 2.4

представле­

1,80

ны

графики

функций

Ф(Хи

1,60

т)

для

подвижной

границы

0,1

(т. е. Х\ = М/х)

при

различ­

IAO

ных значениях M и времени

1,20

(принято Мі = 0).

1,0

Д л я

окончательного про­

V w

ведения

обратного

преобра­

зования

выражения

(2.2.29)

0,80

1,5

используем

теорему

запаз­

0,50

дывания, которая

состоит в

2,0

следующем:

-Л.П-

Рис. 2.4. Зависимость функции

ФЩ/

т, т)

от величины M в различные

моменты

вре­

мени

1-я пауза

( О ^ г ^ ^ т і ) :

решение в области изображений

Ѵ(Х,

/>) =

КііФ(Л", Р)\

(2-2.42)

решение в области действительной переменной

Ѵ(Х,

ф) =

Кі 1 Ф(Л', Ф);

(2.2.43)

/-е обжатие ( т і ^ а і ^ т г о ) :

решение в области изображений

X®(X,

р)

^ і - е х р ( - / л г 1 ) ;

(2.2.44)

Р

решение в области действительной переменной

Ѵ(Х,

^) =

Ki^(X,

ф) +

( К і 2 - К і 1 ) Ф ( А ' , Ф - t O X

X

-Ч (Ф -

xj -

Р о 2 (ф - 1 , ) Tj (ф - 1 , ) .

(2.2.45)

2-я пауза

( т о ^ г | ) ^ т 0 + Т і ) :

решение в области изображений

Ѵ(Х, р)=Кі1Ф(Х,

/?) +

( K i 2 - K i 1 ) [ e x p ( - / ? t 1

) X

X®(X,

р)-ехр(-рх0)Ф(Х,

pïï-^expi-pxj;

(2.2.46)

р

решение в области действительной переменной

Ѵ(Х, ф) = К І ! Ф ( ^ , Ф Ж К І 2 - К і , ) [ Ф ( Л \ ф _ ^ ) т і ( Ф — r t ) -

_ Ф ( Л \

ф - г 0 ) 7 ] ( ф - г 0

) ] - Р о 2 ( ф - г 1 ) 7 1 ( ф - г 1

)

(2.2.47)

для (п + 1)-й

паузы

Ѵ(Х, ф) = К 1 х Ф ( ^ ,

Ф) + (КІ2 -Кі1 )2 < ф ^ '

ф - ( « - і ) х

. X t o - t J ТІ[Ф—(m— l)tr 0 — ti] — Ф (^Г,

* - m t 0

) i j ( * - m t 0 ) } -

- Po2 2

( m - 1) * o - * i l 1

( m - - ) r o - r i l -

m =

l

-

(ф -

mt0 ) -q (Ф— mt0 )} ;

(2.2.48)

для (п + ^)-го

обжатия

^(Х,Ф) = К і 1 Ф ( ^ , Ф) +

( К і а - К І ! ) 2

Ф ( ^ ,

Ф - о т Ѵ - t j x

m-0

-0,0t

л

ІБ IB 20 T

0

2

U

6

W

12

m

Рис. 2.5. Динамика

изменения вс

времени температуры по­

верхности / и центра раската

/ /

для

(п+1)-й

паузы

ѵ(Хѵ

т) = Кі1 Ф(А'1 ,

т)4-(Кі2 -КІ!)2

{ ® [ ^ 1 - c - ( m - l ) T 0 - t 1 ] X

m =

l

m - 0

X ч (t — m t 0 — t j ) - 2 Ф

t - mt 0 ) 7) (t — mx0)

m = l

"

ft-

— Po2 2 (t~mx0

— х1)уі{х— тхй— xj — ^

(t — mt 0 )т](t — mt0 )

_m=0

m =

l

_

(2.2.51)

В і 0 = 1 0 ;

Л =

330 \\м;

К ч =

0,02;

Кд2 =

0,70;

t 1 = 2 ,

5 0 ;

* а =

0,05;

t 0 = 2 , 5 5 ;

Л1І =

Л11 =

3,64;

Р о 2 =

0,04.

Безразмерное

время,

соответствующее концу третьей

паузы,

равно 2то+Ті =

=2(2,50+ 0,05)

+2,50=

7,60.

Д л я расчета

используем решение

(2.2.50),

которое

в данном случае

запи­

шется так:

V

[M[z,

Т ) =

0.02Ф (7,60) + 0,68 [Ф (5,10) — Ф (5,05)

+

Ф (2,55) — Ф (2,50)] — 2 Р о 2 т 2 .

Функция

Ф(т)

определяется

выражением

(2.2.40) после подстановки

значе­

ния координаты

расчетной

точки

Хі =

М\'х:г

+

1,597— 1,581)—2 0,040-0,05 = 0,082 —0,004 =

0,078.

Таким образом, безразмерная температура поверхности

раската

в конце

третьей паузы

составляет 0,078.