Файл: Тепловые процессы при обработке металлов и сплавов давлением учеб. пособие для студентов металлург. спец. вузов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 14.10.2024
Просмотров: 256
Скачиваний: 0
упоминалось в предыдущем параграфе, на практике обычно это- обстоятельство игнорируют и считают источники равномерно рас- пределенными. В связи с этим представляется целесообразным
рассмотреть вопрос о влиянии неравномерного распределения пластиче ских деформаций на тем пературу прокатываемого металла в очаге деформа ции. С этой целью решим аналитическую задачу теплопроводности для пластины с источниками, распределенными по тол щине по закону (1.4.11).
Рассматриваемую за дачу сформулируем сле дующим образом. Неогра
ниченная |
пластина |
тол |
щиной 2R, |
имеющая |
по |
стоянную по объему |
тем |
|
пературу Г0 , в момент времени t = 0 подвергает ся контактному теплооб мену через прослойку ока лины с телом (валком), имеющим постоянную температуру Ts. В тот же момент времени начинают действовать тепловой по ток 9тР , направленный внутрь пластины, а также тепловые источники, мощ ность которых распреде лена по толщине пласти ны по закону параболы.
Перечисленные |
|
условия |
||||
действуют |
в течение |
вре |
||||
мени |
0 ^ ^ 2 . |
|
Прини |
|||
мая, что теплообмен |
меж |
|||||
ду |
поверхностью |
пласти |
||||
ны |
и |
валком |
происходит |
|||
по |
закону |
Ньютона |
при |
|||
коэффициенте |
теплоотда |
|||||
чи а, определим |
темпера |
|||||
турное поле пластины в указанном интервале вре мени (т. е. в течение вре мени деформирования).
0,02 ОМ 0,0В 0,0В 0,1 ОЛ 0,80,81 3 5 7 3 hzat
Рис. 1.3. Количество тепла, переданное вал кам в очаге деформации (Кп — 0):
/ - / С т = 0 ; 2 - К т = 0 , 1 ; 3 - К Т = 0 , 2 ; 4 - К т =0,3;
5 — Кт = 0,5
і,0
0,8
*Г 0,0
І-~
0,2
ь--
0,02 ОМ 0,0В 0,08 0,2 OA 0.S0,81 3 5 7 3 h'at
Рис. 1.4. Количество тепла, переданное вал
кам |
в очаге |
деформации |
(/Сд = 0,05) :• |
1-КТ=0; |
2 - І С І |
= 0 Д ; 3-Kr=0,2; |
4 - Кт=0,3; |
21
Д л я этого дифференциальное уравнение теплопроводности
|
|
|
dFo |
дХ2 |
|
|
|
|
(1.5.1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
решаем при следующих краевых условиях: |
|
|
|
|||||||
|
|
|
дѵ |
|
= |
0; |
|
(1.5.2) |
||
|
|
|
~дХ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дѵ |
= В і [ х » в - г ; ( 1 , Fo)] f |
KU |
(1.5.3) |
|||||
|
|
дХ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ l F o = 0 |
= ^o = |
|
const. |
|
(1.-.4) |
||
Все величины в системе уравнений |
(1.5.1) — (1.5.4) выражены |
в |
||||||||
безразмерном виде, а именно: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
-v(X, Fo) — T(X' |
— безразмерная |
температурная функция; Р о Л |
= |
|||||||
|
^о — Тв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— критерий Померанцева; |
X — коэффициент теплопро- |
||||||||
водности; |
В і = — R |
—критерий |
Био; |
К і ^ |
|
критерии |
||||
Кирпичева; |
Fo — |
|
критерий Фѵрье; а— |
коэффициент тем- |
||||||
пературопрозодноещ; |
с — удельная |
теплоемкость; |
р —плотность; |
|||||||
Х=-^—относительная |
|
координата (— 1 -< X -< 1); А; —координата. |
||||||||
К дифференциальному уравнению (1.5.1) применим интеграль ное преобразование Лапласа — Карсона [32—40], после чего полу чим неоднородное дифференциальное уравнение, лишенное диффе ренциальных операций по времени:
ю"{Х, |
р)-рѵ(Х, |
p)=-pv0-PoRX2, |
;i.5.5) |
где |
оо |
|
|
|
|
|
|
v{p) |
= P J г> (Fo) exp ( — p Fo) d Fo, |
; 1.5.6) |
|
|
|||
p — комплексный параметр.
Граничные условия (1.5.2) и (1.5.3) запишутся после преобра
зования: |
|
|
|
|
|
dv |
= |
0; |
(1.5.7) |
|
dX |x=o |
|||
|
|
|
|
|
dv |
= Bi[vB-v(\, |
|
/7)] + Кі. |
(1.5.8) |
dX |
|
|||
x-i |
|
|
|
22
Общее решение дифференциального уравнения (1.5.5), удовлет воряющее условию (1.5.7), запишется следующим образом:
v(X, p ) - V o = Ä(p)chVpX |
+ ^ - X 2 |
+ ^ - . (1.5.9) |
|
Р |
Р2 |
Величину Ä(p), постоянную относительно переменной X, опре делим из граничного условия (1.5.8):
Кі - |
Ві - fÜ* (Bi + 2) - |
~ |
Рор |
|
А(Р): |
Р |
Р2 |
к |
(1.5.9а) |
Vpsh Ѵр + Ві сьУ р
Отсюда решение поставленной задачи в области изображений можно записать как
ѵ(Х, |
р)-ѵ0-- |
chVpX |
( K l — B l ) |
Po (2 + Bi) |
|
5 |
|||
|
|
1/^/7 sh V p + Bi c\iV |
P |
|
|
|
2 P 0 / ? B i |
2Por |
(1.5.10) |
|
|
|
|
Принимая во внимание то обстоятельство, что прокатываемый металл находится в очаге деформации доли секунды, имеет смысл искать решение поставленной задачи, удобное для вычислений при малых значениях критерия Fo. Следуя [32], получим в этом случае решение в области изображений:
ѵ(х, |
р ^ ^ ^ - У р ^ |
- ^ + |
^ Л - Ѵ р і ^ |
X)] |
х |
|
||
X |
(Ki — Bi) |
Po D |
|
2Po D Bi |
P o „ |
|
2Po D |
(1.5.11) |
5. (2 + BI) |
S— |
+ _ * A"2_| |
|
|||||
|
|
P |
|
P2 |
P |
|
P2 |
|
Переходя обычным методом от решения в области |
изображений |
|||||||
к решению в области действительной переменной, получим |
выраже |
|||||||
ние для функции |
распределения |
температуры по толщине |
пласти |
|||||
ны [41]: |
|
|
|
|
|
|
|
|
v0-v(X, |
F o ) « ( l - | j - ) < I > ( * , |
Р ° ) + Р |
0 * в , + |
ф ( ^ ' W |
+ |
|||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
Fo |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2 Р о Л J (Fo-t)O(X, |
t) dt - Pop* 2 Fo - |
Po^Fo2 , |
(1.5.12) |
||||
23-
где
Ф(Х, |
F o ) - e r f c - b ^ L - e x p [ ( l - A ' ) B i + ß i 2 F o ] |
X |
|||
|
|
2 ]/FO |
|
- e x p [ ( l f |
|
X e r î c ( |
^ ^ |
+ ВіІ^РсЛ -I-erfc |
1 |
Х)Ш± |
|
\2"|/FO |
/ |
2|/FO |
|
|
|
|
+ |
Bi2 Fo] erfc / 1 + _ f - f Bi Wo) . |
(1.5.13) |
||
|
|
\ 2 K F O |
|
/ |
|
Область практических значений критерия Кд при прокатке на обжимных станах не превышает 1-=-2. Учитывая высокие в этом случае значения критерия Био, можно считать, что
^ - « 1 . |
(1-5.14) |
Ві
Следовательно, при прокатке металла на обжимных станах из менением температуры раската за счет тепла, выделившегося в ре
зультате работы против внешних сил |
трения, можно |
пренебречь. |
||
В то же время при прокатке металла |
небольшой толщины (напри |
|||
мер, листа) тепловой поток дтр следует |
учитывать. |
|
||
Используя решение (1.5.12), рассчитали безразмерную темпера |
||||
туру поверхности раската. |
Некоторые |
из полученных |
результатов |
|
представлены на графиках |
(рис. 1.5—1.7). На этих графиках по вер |
|||
тикальной оси отложено значение функции температуры |
|
|||
ѵ0-ѵ(Х, |
Fo) = 0(A", Fo, Ві, Р о д , КО, |
(1.5.15) |
||
а по горизонтальной — значение критерия Fo. Сплошной линией изображается температура раската при учете неравномерности рас-
24
пределения тепловых источников по высоте. Штриховой линией — температура поверхности, рассчитанная при условии, что тепловые
0,700
0,800 |
|
|
/ |
|
|
-- — |
|
0,500 |
|
. |
|
^ 0,400 |
|
|
г _ |
S. |
— • — |
|
|
|
|
— " |
|
£ 0,300 |
|
|
|
в 0,200 |
te |
1 |
|
11'/ |
s** |
|
|
|
5 |
||
0,100W |
|
|
|
|
|
Fa-/0 s |
/0 |
|
|
|
|
Рис. 1.6. Изменение во времени безразмерной темпе |
|||
ратуры поверхности |
раската ( Р о я = 5 0 0 ) : |
||
/ — Ві = 100; |
2 — Ві=80; 3 — Bi=60; 4 — Ві=40; |
S — Ві=20 |
|
источники распределены равномерно по высоте. Анализируя приве денные графики, можно заключить, что разность между значениями
этих функций может |
достигать |
50%. Далее, из анализа решения |
0.700• 1 |
1 , 1 |
1 1 1 1 1 , |
! |
Z 3 |
4 |
5 В |
7 |
в |
9 W |
|
|
|
|
Ft |
ІО5 |
|
Рис. 1.7. Изменение во времени безразмерной темпе |
||||||
ратуры |
поверхности |
раската |
(Род = 1000): |
|||
/ _ В І = 100; |
2 — Ві - 80; |
3 — Ві=60; 4 — Ві=40; |
5 — В і = 2 0 |
|||
(1.5.13) следует, что учитывать |
в расчетах |
температуры неравно |
||||
мерность распределения мощности тепловых источников по высоте раската следует в тех случаях, когда Р о д > 2 0 0 .
25