Файл: Бубенников, А. В. Начертательная геометрия учебник.pdf

Для удобства выполнения чертежей и решения метрических задач плоскость про­ екций лучше выбирать таким образом, чтобы отметки всех изображаемых точек были по­ ложительными. В этом случае плоскость проекций опускают ниже точки, имеющей наибольшую отрицательную отметку. Не­ удобными являются также отметки, выра­ женные крупными числами, например, трехили четырехзначными,— в случае, когда сре­ ди сравнительно спокойного рельефа имеет­ ся значительно возвышение.

Поднимая или опуская плоскость проек­ ций (плоскость нулевых отметок), ей можно придать такое положение, при котором или все точки рассматриваемого предмета будут иметь отметки одного знака, или отметки их будут уменьшены на одну и ту же вели­ чину.

При изображении поверхности Земли за плоскость проекций удобно принять уровень моря*. Все точки с положительными отмет­ ками будут тогда надводными, а с отрица­ тельными — подводными. Иногда для уп­ рощения чертежа знаки ( + ) и ( — ) перед отметкой не ставят, а применяют различный цвет точек, лежащих выше и ниже плоскости проекций.

Изображения геометрических форм в про­ екциях с числовыми отметками не обладают наглядностью. Однако эти изображения яв­ ляются обратимыми . Пользуясь изображе­ нием, можно восстановить в пространстве точное взаиморасположение всех точек гео-

* В С о в е т с к о м С о ю з е з а н у л е в у ю п л о с к о с т ь п р и н я т а п о в е р х н о с т ь Б а л т и й с к о г о м о р я . За э т а л о н « н а ч а л о в ы с о т ы » у н а с в с т р а н е п р и н я т н у л ь ^ К р о н ш т а д т с к о г о ф у т ш т о к а . О т н е г о в ы ч и с л я ю т с я все в ы с о т ы .

Р и с . 14

метрического образа, определить по имею ­ щимся проекциям форму и размеры самого оригинала.

Метод проекций с числовыми отметками широко применяют при изображении топо­ графических поверхностей в горизонталях, при проектировании гидротехнических и до ­ рожных сооружений.

4. Векториальные (федоровские) проекции

Федоровские* проекции представляют собой изображение геометрических образов на одной плоскости проекций. Удаление то-

* Н а з в а н ы по и м е н и а к а д е м и к а Е. С. Ф е д о ­ р о в а (1853 — 1919) — о с н о в о п о л о ж н и к а т е о р е т и ч е ­ с к о й к р и с т а л л о г р а ф и и .

22

Ут-оа

без искажения проецируется на фронтальную

но-проецирующей прямой, или фронтальнопроецирующим лучом. Эта прямая без иска­ жения проецируется на горизонтальную плоскость проекций Н. Проекции проеци­ рующих лучей на соответствующих плос­ костях проекций показывают тонкими сплошными или штриховыми линиями.

Два проецирующих луча Аа и Аа', исходя­ щих из какой-то точки геометрического об­ раза, представляют собой задание некото­

Отметим, что удаление точки от горизон­ тальной плоскости проекций H равно удале­

нию фронтальной проекции этой точки от оси проекций. Удаление точки от фронталь ­ ной плоскости проекций F равно удалению горизонтальной проекции той же тонки от оси проекций. Отсюда вытекают следующие теоремы:

П о двум проекциям точки м о ж н о пред­ ставить положение этой точки в пространст­

нальными проекциями на две плоскости.

Геометрические образы в пространстве ориентируются также и относительно сис­ темы трех взаимно перпендикулярных коор­ динатных плоскостей. Линии пересечения этих плоскостей — координатные оси — по­ казаны на рис. 16.

Д л я построения чертежа точки основные плоскости проекций H и V совмещают, поворачивая вниз вокруг оси х плоскость H до совмещения ее с плоскостью проекций V.

Таким образом, все построения, выпол­ ненные в двух плоскостях, располагаются соответствующим образом в одной плоскос­ ти, принятой за плоскость чертежа. В резуль­ т а т е ' п о л у ч и м ортогональный чертеж, или эпюр* точки А (рис. 17), состоящий из двух

чертеже разноименные проекции а а а' точ­

Совместное использование двух ортогональ­ ных проекций на двух взаимно перпендику­ лярных плоскостях проекций положено в ос­ нову метода Монжа.

Две проекции (горизонтальная и фрон­ тальная) рассматриваемого геометрическо­ го образа, соединенные линиями связи со­ ответствующих его точек, служат основой для различных исследований этого геомет­ рического образа.

При решении многих задач в начерта­ тельной геометрии геометрические образы часто не связывают с плоскостями проекций, а пользуются разностью удалений их точек от соответствующих плоскостей проекций.

На рис. 18 представлен ортогональный чертеж треугольника ABC — построены его горизонтальная abc и- фронтальная а'Ъ'с' проекции.

Как уже известно, при параллельном проецировании проекции геометрического образа на плоскостях одного направления остаются неизменными, т. е. сохраняют и вид, и размеры. Учитывая это, плоскости проекций можно приближать к геометриче­ скому образу или удалять от него. Изобра­ жения на этих плоскостях остаются постоян­ ными. П о изображениям можно определять разности удалений точек геометрического образа от плоскостей проекций.

Y и с. 18

На чертеже разноименные проекции гео­ метрического образа можно раздвигать по линиям связи, сближая их или удаляя одну от другой. Поэтому здесь ось проекций как прямую, фиксирующую положение плоскос­ тей проекций Я и К можно исключить. В этом случае будем иметь безосный чертеж геометрического образа. Такими чертежами в основном и будем пользоваться.

Две плоскости проекций — Ни У при их пересечении разделяют пространство на четыре части (четыре двугранных угла). Та­ кие двугранные углы пространства называют также квадрантами, или четвертями.

На рис. 19 показана пространственная модель системы двух плоскостей проекций

на рис. 20. Точка А находится в первом углу пространства. Она удалена от плоскости проекцией Я на величину axa', равную оасстоянию от ее фронтальной проекции а до оси проекций, и удалена от плоскости F на величину axa, равную расстоянию от ее горизонтальной проекции а до оси про­ екций.

Точка В находится во втором углу. Обе проекции этой точки (горизонтальная Ь и фронтальная Ъ') на чертеже располагаются на одной линии связи выше оси проекций.

В зависимости от расстояний проекций Ъ и Ь' точки В от оси устанавливаем, что точ­ ка В располагается ближе к плоскости проек­ ций V, чем к плоскости Н.

Точка С находится в третьем углу. Здесь горизонтальная проекция с располагается выше оси проекций, а фронтальная проекция

проекций, чем ее горизонтальная проекция с, утверждаем, что точка С пространства рас­ полагается ближе к горизонтальной плоскос­ ти проекций Н.

Таким образом, по расположению проек­ ций точек относительно оси проекций можно судить о положении точек в пространстве, т. е. можно установить, на каких расстояниях от плоскостей проекций и в каких углах пространства они находятся.

На рис. 20 представлены также и чертежи точек, занимающих некоторые частные (осо-