Файл: Бубенников, А. В. Начертательная геометрия учебник.pdf

Для большинства поверхностей можно наметить три главных взаимно перпендику­ лярных направления (высота, длина, ширина) и параллельно им вести измерения поверх-

0030

Ри с . 422

ности. Результаты измерений можно пред­ ставить на чертеже поверхности.

При ортогональном проецировании по­ верхность целесообразно представить таким образом, чтобы ее главные направления из­

поверхности, параллельные их направле­ ниям, проецируются на соответствующие плоскости проекций без искажения. Они могут быть нанееены на чертеж и взяты с него.

На рис. 422 показан чертеж машинострои­ тельной детали — вилки. Грани вилки раз­ мещены параллельно основным плоскостям проекций. Направления главных измерений поверхности здесь могут быть представлены в виде трех взаимно перпендикулярных осей: Ох, Oy и Oz, пересекающихся в точке О.

Однако этот чертеж не дает полной на­ глядности детали, так как каждая из проекций содержит только два измерения.

Ч т о б ы получить наглядное изображение рассматриваемого предмета (плоского иди пространственного) на какой-либо плоскос­ ти, необходимо или ввести косоугольное проецирование, или, сохранив ортогональ­ ное проецирование, заменить одну из основ-

Г л а в а X I I I . А к с о н о м е т р и ч е с к и е п р о е к ц и и

При косоугольном проецировании длина проекции любого из этих отрезков может быть меньше, равна или больше, а при пря­ моугольном — равна или меньше его на­ туральной длины. Так как при параллельном проецировании отношение длин отрезков параллельных прямых сохраняется, то аксо­ нометрические масштабы откладываются на каждой из соответствующих сторон лома­ ной Otax\a\A\ столько раз, сколько раз на­ туральный масштаб е откладывается на

то и аксонометрическая абсцисса точки А\ равна

Х,АІ = Оіах1 = 3,5.

Следовательно, аксонометрические коор­ динаты, измеренные аксонометрическими масштабами, численно всегда равны нату­ ральным.

Таким образом, метод построения аксо­ нометрического чертежа является коорди­ натным методом построения чертежа в од­ ной проекции. Такой чертеж обладает свой­ ством обратимости.

Построим аксонометрический чертеж тре­ угольника ABC по заданным натуральным координатам его вершин/4(1, 0, 2), В (4, 6, 6)

ты, измеренные аксонометрическими мас­ штабами, численно равны натуральным. Так, аксонометрическая абсцисса точки А\ чис­ ленно равна единице, т. е. величине ехі; аксонометрическая ордината равна нулю,

фигуру — тетраэдр. Параллельной проек­ цией такого тетраэдра является полный че­ тырехугольник ОіАіВіСі.

Можно построить бесчисленное множест­ во тетраэдров произвольной формы и найти такое направление проецирования, при кото­ ром их проекцией является полный четырех­ угольник ОіАіВіСі. Среди этого множества, очевидно, имеется и тетраэдр с прямым трех­ гранным углом при вершине О и с равными ребрами OA, OB и ОС — масштабный тет­ раэдр. Три равных и взаимно перпендику­ лярных ребра этого тетраэдра служат мас­ штабами осей координат в пространстве.

Согласно основной теореме, любые три 305 прямые в плоскости, исходящие из одной точки и не совпадающие между собой, мож­ но принять за аксонометрические оси. Л ю ­ бые произвольной длины отрезки на этих прямых, отложенные от точки их пересече­ ния, можно принять за аксонометрические масштабы.

Эта система аксонометрических осей и масштабов является параллельной проекци­ ей некоторой прямоугольной системы ко­ ординатных осей и натуральных масш­ табов.

В практике построения наглядных изобра­ жений обычно применяют лишь некоторые определенные комбинации направлений ак­ сонометрических осей и аксонометрических масштабов.

Допустим, что при рассмотрении какойлибо заданной в пространстве фигуры уста­ новлены оси координат — направления Ох, Oy и Oz главных ее измерений, проходящие через точку О. Координатную плоскость хОу примем за основную плоскость про­ екций Н. За аксонометрическую плоскость проекций П примем некоторую плоскость, заданную горизонталью ab, a'b' и фронталью ас, а'с' (рис. 428).

Зададим произвольно направление про­ ецирования стрелкой точки ss'. Определим проекции точки оо' на плоскости П по задан­ ному направлению. Для этого проведем че­ рез точку оо' прямую ok, o'k', параллельную направлению стрелки, и найдем точку о ю і пересечения ее с плоскостью П.

Повернем аксонометрическую плоскость Л вокруг горизонтали ab, a'b' до совмещения ее с плоскостью проекций Н. Точку Оі плоскости П в совмещенном с плоскостью H ее положении соединим с точками А, В и Ci.

Отрезки ОіА, ОіВ к ОіСі являются про­ екциями отрезков осей координат направле­ ний главных измерений Ох, Oy и Oz на аксо­ нометрической плоскости проекций.

На плоскости аксонометрических про­ екций имеются проекции всех трех направ­ лений главных измерений. Единицы измере­ ния по осям координат проецируются на плоскость П при этом не в натуральную величину, а искаженно.

Отношение длины проекции отрезка к его натуральной длине называют коэффициен­ том или показателем искажения. В рассмат­ риваемом случае коэффициенты искажения по осям различны.

В прямоугольной аксонометрии проеци­ рование и на основную, и на аксонометри­ ческую плоскости проекций должно быть прямоугольным.

Пусть (рис. 429) главные направления измерений фигуры устанавливаются осями координат Ох, Oy и Oz. За основную пло­ скость чертежа H принимаем плоскость хОу. Аксонометрическая плоскость проекций П представлена главными линиями: горизон­ талью ab, a'b' и фронталью ас, а'с'.

Г л а в а Х Ш . Аксонометрические проекции

Р и с. 434

рических осей, большие перпендикулярны к ним. Верхняя грань куба (квадрат), перпен­ дикулярная к оси Oz, ортогонально проеци­ руется на аксонометрическую плоскость про­ екций в виде ромба. Окружность, вписанная в квадрат, проецируется эллипсом.

Большая ось эллипса равна и параллельна тому диаметру окружности, который парал­ лелен плоскости аксонометрических про­ екций. Каждый из диаметров окружности составляет прямой угол с осью Oz. Поэтому большая ось эллипса перпендикулярна к аксонометрической оси Oiz\; малая ось эл­ липса совпадает с направлением оси O i z i . Это справедливо и для построения эллип­ сов — проекций окружностей других граней куба.

Определим соотношение между диагона­ лями ромба. Одна из диагоналей квадрата —

имеем

ß 1С

— — = tg 30° = 0,58 (tg 30° = 0,58)

или

BiKi = 0,58/liKi.

Очевидно, что соотношение между полу­ осями эллипса, вписанного в ромб, равно:

где b = 0,58а или 2Ь « 0,5Sd.

Здесь большая ось эллипса равна диамет­ ру окружности, т. е. 2a=d.

Итак, в изометрии большая ось эллипса равна диаметру d проецируемой окружности, малая ось равна 0,58d.

Пользуясь приведенными коэффициен­ тами искажения, получаем увеличение всех размеров изображения в 1,22 раза. В таком отношении увеличиваются большая и малая оси эллипсов:

2 « = 1,22 d,

2b= 1,22* 0,58 d=0,7 d.

Изометрические проекции применяются в тех случаях, когда элементы предмета по трем основным взаимно перпендикулярным направлениям представляются одинаково важными.

Н а рис. 434 дано изображение кронштей­ на в изометрии.

В прямоугольных диметрических про­ екциях коэффициенты искажений одинаковы по двум осям; третий коэффициент искаже­ ния не равен первым двум, т. е.

p = rj=q.

Здесь плоскость аксонометрических про­ екций равно наклонена к двум координат­

ным осям. В этом случае треугольник сле­ дов равнобедренный.

ное соотношение коэффициентов искажения. При этих условиях определим числовые ве­ личины коэффициентов искажения по на-