Файл: Бубенников, А. В. Начертательная геометрия учебник.pdf

На рис. 447 представлена кривая линия AB. Построен график а=/ ( s) уравнения этой кривой в естественных координатах.

Допустим, что кривая линия AB является коробовой кривой с бесконечно большим числом бесконечно малых дуг окружностей различных радиусов.

Если в кривую графика вписать ломаную линию с вершинами в точках 0,1,2, то этой линии графика соответствуют некото­ рая коробовая кривая линия АІВІ И ломаная линия аіЬі (на чертеже не показаны). Верши­ ны ломаной линии aibi являются центрами дуг окружностей, составляющих коробовую кривую А\В\.

Бесконечно увеличим число сторон ло ­ маной линии графика, оставляя ее вписанной

вкривую графика.

Впределе, когда ломаная линия пред­ ставляется кривой, коробовая кривая АіВі перестраивается в кривую AB. Ломаная ли­ ния aibi центров представляется кривой

линией ctobo, которая является геометриче­ ским местом центров бесконечно большого числа бесконечно малых дуг окружностей, составляющих кривую линию AB.

В пределе перехода к графику a = / ( s ) можно определить величину радиуса г кри­

ским местом центров кривизны кривой ли­ нии — эволютой кривой AB.

Эволюта aobo кривой линии AB представ­ ляет собой огибающую нормалей данной кривой.

Здесь имеем отношение:

гк cos3a

Ru COS ф

Если касательные te и te параллельны, то а = 0, и это уравнение принимает вид:

г« _ 1

Кк cos ф

Определение кривизны кривой в рассмат­ риваемой точке и кривизны ее проекции не­ обходимо при исследовании локальных свойств кривой.

Эволюта, как известно, является геомет­ рическим местом центров кривизны кривой линии. Покажем построение центров кри­ визны для точек эллипса (рис. 449).

Исходя из условий симметрии эллипса относительно осей, устанавливаем, что центры кривизны для вершин Ai и Ві эллип-

са находятся на его большой оси, а для вер­ шин Ci и D i — на прямой линии малой оси.

Радиусы кривизны для вершин Ai и Ві одинаковы. Одинаковы также радиусы кри­ визны для вершин Ci и D i эллипса.

В вершинах эллипса радиусы кривизны можно определить, представляя эллипс как ортогональную проекцию окружности.

Угол между плоскостью окружности и плоскостью чертежа

b ф = arc cos —.

а

Графически центры кривизны в вершинах эллипса определяем следующим образом. Строим прямоугольник ОСіЕВі, стороны которого равны полуосям эллипса. Перпен­ дикуляр, опущенный из вершины Е прямо­

кривизны эллипса в вершине Ві, а малую

Это соответствует результатам вычисле­ ний, полученных из формулы.

Для построения центра кривизны эллипса в произвольно выбранной точке Кі прово­ дим нормаль и и из точки 1 ее пересечения с большой осью проводим к ней перпенди­ куляр. Через точку 2 пересечения перпенди­

Р и с .

С построением эволют решаются неко­ торые практические задачи, например, зада­ чи по конструированию эллиптических зуб­ чатых колес.

Ползун, приводимый в движение при по­ м о щ и такой зубчатой передачи, может пере­ мещаться (определенную часть цикла) с поч­ ти постоянной скоростью. Так перемещается резец в малых строгальных станках.

На рис. 450 показано построение центров кривизны гиперболы в заданных ее точках.

450

324

Р и с . 451

Центр кривизны гиперболы в ее верши­ не А определяется как точка пересечения с действительной осью перпендикуляра, вос­ ставленного в точке / к диагонали 01 пря­ моугольника, построенного на осях гипер­ болы (к асимптоте).

Для определения центра кривизны гипер­ болы в точке К построим нормаль в этой точке и отметим точку 2 пересечения ее с действительной осью гиперболы. В точке 2 восставим перпендикуляр к нормали и най­ дем точку 3 пересечения его с прямой линией

его пересечения с нормалью . Точка Ко явля­ ется искомым центром кривизны гиперболы в точке К.

На рис. 450 показан также и второй спо­ соб построения центра кривизны Ко . Для

параболы в заданных точках. Центр кривиз­ ны Ао в вершине А параболы находится от этой вершины на расстоянии, равном двойному расстоянию от фокуса F до вершины А.

Для определения центра кривизны пара­ болы в точке К построим нормаль и ди­ аметр, проходящие через точку К. В точке / пересечения нормали с осью восставим к нормали перпендикуляр и отметим точку 2 его пересечения с диаметром параболы. В точке 2 восставим перпендикуляр к диа­ метру и найдем точку Ко его пересечения с нормалью .

Точка Ко является искомым центром кри­ визны параболы в точке К.

Рассмотрим центры кривизны для точек D и Е, расположенных на хорде, перпендику­ лярной к оси параболы и проходящей через ее фокус. Центры кривизны Do и Ео лежат в вершинах квадрата, построенного на сторо­ не ED = 2p. Радиусами кривизны являются диагонали квадрата.

Эволютой параболы является кривая ли­ ния с вершиной острия. Ее называют полу­ кубической параболой.

точки, неизменно связанной с этой движу­ щейся кривой линией.

Если кривая или плоская фигура переме­ щаются в своей плоскости по определенному закону, то траекторией точки, неизменно с ними связанной, является некоторая кривая

линия. Такую кривую можно определить как траекторию точки, неизменно связанной с какой-либо подвижной кривой линией, кото­ рая без скольжения катится по другой не­ подвижной кривой линии.

Согласно теореме, изложенной в разделе «Плоскопараллельные перемещения», л ю ­ бое перемещение плоской фигуры в ее пло­ скости из начального положения в некоторое