Файл: Бубенников, А. В. Начертательная геометрия учебник.pdf

1. Пересекающиеся прямые

П р я м ые линии, имеющие о б щ у ю точку, называют пересекающимися.

Пр я м ы е ab, a'V и cd, с'd! пересекаются в точке kk' (рис. 41).

Согласно второму свойству параллель­ ного проецирования, одноименные проек­ ции этих прямых пересекаются и точки их пересечения являются проекциями одной точки пространства, т. е. принадлежат одной линии связи.

2.Параллельные прямые

Пр я м ы е линии, пересекающиеся в несоб­ ственной точке, называют параллельными.

Согласно третьему свойству параллель­ ного проецирования одноименные проекции двух параллельных прямых линий парал­ лельны, находятся в таком же отношении, как и длины самих отрезков, и являются проекциями одного направления.

На рис. 42 показан чертеж отрезков двух параллельных прямых — ab, a'V и cd, cd', занимающих в пространстве общее положе­ ние. Если на чертеже одноименные проекции

прямых параллельны, то в о б щ е м случае этого достаточно, чтобы установить парал­ лельность прямых в пространстве. Исклю ­ чением являются некоторые частные поло­ жения прямых линий. Так, по параллель­ ности одноименных проекций двух профиль­ ных прямых нельзя утверждать, что прямые

впространстве параллельны .

На рис. 43 представлен чертеж двух про­ фильных прямых линий — ef, e'f и pq, p'q'. Одноименные проекции прямых параллель­ ны, т. е. ef и pq и e'f'w p'q'. Каждая из пар проекций прямых имеет одно направление.

Проверим равенство отношений однои­ менных проекций отрезков. Через точки р и р' проведем параллельные прямые и отло ­ жим на них отрезки pl==ef и p'2=e'f. Соеди­ ним точку / с точкой q и 2 с q'. Получаем два

Путем проверки всех трех признаков па­ раллельности прямых устанавливаем, что прямые pq, p'q' и ef, e'f взаимно парал­ лельны.

Такие прямые параллельны и в случае, если точки пересечения одноименных проек­ ций прямых линий, соединяющих концы данных отрезков, являются проекциями точ­ ки пересечения этих прямых линий.

Соединим прямыми линиями соответ­ ственно проекции концов отрезков. Точка к пересечения горизонтальных проекций этих прямых располагается на одной линии связи с точкой к' пересечения фронтальных проек­ ций прямых.

Следовательно, концы отрезков прямых — точки ее', ff', рр' и qq'— лежат в одной плос­ кости. Прямые ef, e'f и pq, p'q' в простран­ стве параллельны.

3. Скрещивающиеся прямые

Прямые, не пересекающиеся и не парал­ лельные между собой, называют скрещиваю­

щимися.

Если пересекающиеся и параллельные прямые лежат в одной плоскости, то скре­ щивающиеся прямые лежат в двух парал­ лельных плоскостях.

На рис. 44 показан пример задания двух скрещивающихся прямых — ab, а'Ъ' и cd, c'a!.

Проекции двух скрещивающихся прямых могут пересекаться, точки их пересечения не лежат на одной линии связи, т. е. каждая из точек пересечения проекций прямых яв­ ляется проекцией двух точек пространства этих прямых. Точка пересечения горизон­ тальных проекций ab и cd прямых является

Р и с . 45

В о п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и

1. П о с т р о й т е ч е р т е ж и т о ч е к , р а с п о л о ж е н н ы х в р а з л и ч н ы х у г л а х п р о с т р а н с т в а .

2. П о к а ж и т е п о с т р о е н и я ч е р т е ж е й т о ч е к , р а с ­ п о л о ж е н н ы х в р а з л и ч н ы х о к т а н т а х , в т р е х п р о ­ е к ц и я х .

3. Ч т о н а з ы в а ю т п о с т о я н н о й п р я м о й ч е р т е ­ ж а ? К а к с п о м о щ ь ю п о с т о я н н о й п р я м о й ч е р т е ж а п о с т р о и т ь т р е т ь ю п р о е к ц и ю т о ч к и ?

4. П о с т р о й т е ч е р т е ж и о т р е з к о в п р я м ы х л и ­ н и й , р а с п о л о ж е н н ы х в р а з л и ч н ы х у г л а х п р о с т р а н ­ с т в а . У к а ж и т е ч а с т н ы е п о л о ж е н и я о т р е з к о в п р я ­ м ы х л и н и й .

5. К а к и е п р я м ы е н а з ы в а ю т л и н и я м и у р о в н я , п р о е ц и р у ю щ и м и п р я м ы м и л и н и я м и ?

6. Д а й т е о п р е д е л е н и е в н у т р е н н е г о и в н е ш ­ н е г о д е л е н и я о т р е з к а п р я м о й .

7. Ч т о н а з ы в а ю т с л е д о м п р я м о й л и н и и ' ? П о ­ с т р о й т е с л е д ы п р я м ы х ч а с т н о г о п о л о ж е н и я .

8. У к а ж и т е п р а в и л о п о с т р о е н и я с л е д о в п р я ­ м о й л и н и и ;

9. Д л я к а к о й п р я м о й н а ч е р т е ж е с л е д ы б у д у т : а) с о в п а д а т ь ; б) р а в н о у д а л е н ы о т о с и п р о е к ц и й ; в) л е ж а т ь н а о с и п р о е к ц и й ?

10. К а к и з о б р а ж а ю т с я на ч е р т е ж е п е р е с е ­ к а ю щ и е с я , п а р а л л е л ь н ы е и с к р е щ и в а ю щ и е с я п р я ­ м ы е л и н и и ?

11. М о г у т л и с к р е щ и в а ю щ и е с я п р я м ы е л и н и и

Проводя через точки 1Г и 22' прямую, получим горизонтальный след Рн— линию пересечения плоскости Р горизонтальной плоскостью проекций.

Линия пересечения плоскости Р фрон­ тальной плоскостью проекций V определя­ ется точками 33' и 44'— фронтальными сле­ дами прямых ab, a'b' и ас, а'с'.

Р и с . 47

Следы плоскости пересекаются на оси проекций. Угол между следами Рн и Рѵ плоскости Р на чертеже всегда больше угла между этими следами в пространстве. Сумма двух плоских углов трехгранного угла боль­ ше третьего плоского угла.

В системе плоскостей проекций плос­ кость может иметь множество различных положений.

2. Проецирующие плоскости

Плоскости, перпендикулярные к пло­ скостям проекций, называют проецирую­

щими.

Л ю б ы е геометрические образы, располо­ женные в таких плоскостях, проецируются на перпендикулярные к ним плоскости про­ екций в виде прямых линий.

На чертеже проецирующие плоскости обычно задают линиями их пересечения плоскостями проекций — следами.

На безосных чертежах проецирующие плоскости представляются одной прямой линией — линией пересечения только той плоскостью проекций, к которой они перпен­ дикулярны.

На рис. 48 показана модель проецирую­ щих плоскостей в системе плоскостей про­ екций Я и К а на рис. 49 — осный и безосный чертежи этих плоскостей.

Фронтально-проецирующая плоскость М.

Плоскость, перпендикулярную к фронталь­

Угол наклона фронтального следа к на­ правлению оси проекций равен углу а на­ клона плоскости M к горизонтальной плос­ кости проекций Я (рис. 49).

Горизонтально-проецирующая плос­ кость N. Плоскость, перпендикулярную к горизонтальной плоскости проекций Я , на­ зывают горизонтально-проецирующей. Эту плоскость можно задать двумя следами NH и Ny на осном чертеже и одним NH — на безосном чертеже.

Ри с . 50

кажением на плоскости H и ѴУІ В виде отрез­ ков прямой линии на плоскость проекций W.

Горизонтальная плоскость S. Плоскость, параллельную горизонтальной плоскости проекций Н, называют горизонтальной. Эта плоскость перпендикулярна к фронтальной

Фронтальная плоскость U. Плоскость, параллельную фронтальной плоскости про­ екций \\ называют фронтальной. Она пер­ пендикулярна к горизонтальной плоскости проекций Н. Ее задают на осном и безосном чертежах одной прямой линией — і оризонтальным следом UH.

Геометрический образ, расположенный во фронтальной плоскости, проецируется без искажения на фронтальную плоскость про­ екций.

Профильная плоскость Т. Плоскость, па­ раллельную профильной плоскости проек­ ций И7, называют профильной. Она перпен­ дикулярна к горизонтальной плоскости про­ екций H и фронтальной плоскости проек­ ций V. Ее задают на осном и безосном чер­ тежах одной прямой линией, перпендикуляр­

в профильной плоскости, проецируется без искажения на Профильную плоскость про­ екций.

На рис. 50 показаны примеры положений геометрических образов в проецирующих плоскостях.

Во фронтально-проецирующей плоскос­ ти My находятся две пересекающиеся пря­ мые -—ab, a'b' и ас, а'с': в горизонтальнопроецирующей плоскости Nf/— две парал­ лельные прямые Je, d'e' и pq, p'q'.

Прямая линия принадлежит плоскости при условии, если она проходит: а) через две точки этой плоскости; б) через точку плоскос­ ти параллельно любой прямой этой плос­ кости.

На рис. 51 показана схема задания плос­ кости двумя пересекающимися прямыми —

Выбрать точку в плоскости, т. е. задать чертеж точки, принадлежащей данной плос-

Р и с. 51