Файл: Руководство к лабораторным занятиям по физике учеб. пособие.pdf

будем считать в этом случае, что проволока имеет всюду одинаковое сечение, и вычислим ее средний диаметр dc? — 10,1 мм. При этом объем проволоки Ѵх окажется равным

Ѵ1 = 1/4л ■10 (1,01)2. ' Сильно ли мы ошибемся? Заметим, что

(1,00)2 + (1,02)2 = 2,0404, 2(1,01)2 = 2,0402.

Расхождение составляет, таким образом, всего 0,01%!

Пусть измерения диаметра производились при этом с точностью 0,05 мм. Применяя формулу (В. 14), найдем, что погрешность в из­ мерении V равна

АѴ/Ѵ = 2M/d = 2 • 0,05/10 = 1 %.

Наше расхождение лежит, следовательно, в существенно более далеких знаках, чем ошибка опыта, и не играет никакой роли. Расхождение наших результатов станет существенным только в том случае, если измерения диаметра сделаны с точностью х/2 -0,01 % = = 0,005%, т. е. с точностью 0,0005 мм. Ступенчатая форма про­ волоки при такой точности измерений, конечно, обязательно будет обнаружена.

Пусть теперь тонкий участок проволоки имеет длину 2 см, а толстый участок — длину 8 см. Истинный объем проволоки равен

V = y tn [2- 1,002 + 8- 1,022] = Ѵ4я10,3232 см3.

Предположим теперь, что при измерениях наличия ступеньки не было обнаружено. Если измерения проводить достаточно много раз по всей длине проволоки, то результат 10,2 мм будет встречаться в 4 раза чаще, чем 10,0, и среднее значение диаметра окажется рав­ ным 1/&(1 -10,0 + 4 *10,2) = 10,16 мм.

Для объема проволоки найдем при этом

Ѵх = 1/Іп • 10 • (1,016)2 = 74л • 10,32256 см3.

Расхождение между результатами составляет в этом случае 0,006%, что снова существенно меньше погрешности измерений.

Мы приходим, таким образом, к неожиданному выводу. Во многих случаях (практически почти всегда) при не очень большом разбросе результатов нет нужды устанавливать, в чем лежит при­ чина разброса: в неточности измерений или в несовершенстве изме­ ряемого объекта. В обоих случаях усреднение результатов приводит нас к правильному ответу.

Сформулированный выше вывод справедлив, конечно, только в том случае, если методика измерений является правильной. В на­ шем случае следует промерять диаметр проволоки равномерно по

28 ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИИ. СОВЕТЫ И УКАЗАНИЯ

всей ее длине. Измерения одного правого или одного левого конца немедленно приведут к ошибочному результату.

Как мы видели выше, усреднение результатов является полез­ ным методом, позволяющим существенно улучшить точность ре­ зультатов. Не всякое, конечно, усреднение имеет смысл. Полезно вычислить средний диаметр почти однородной проволоки, но не имеет никакого смысла вычислять средний диаметр мотков прово­ локи, имеющихся на складе, или средний вес гирь разновеса.

§ 8. Графические методы обработки результатов

Очень важным методом обработки результатов опыта является

представление их в виде графика.

Вернемся к примеру об измерении термического коэффициента

Как определить а из этих данных?

Для определения двух неизвестных а и R0, входящих в фор­ мулу (В. 18), достаточно измерить сопротивление при двух какихнибудь температурах. Измерения, сделанные при трех темпера­ турах, приводят к трем уравнениям, из которых нужно определить два неизвестных. Из-за неизбежных ошибок опыта эти три урав­ нения обычно оказываются несовместными. А у нас имеется 11 из­ мерений. Что же с ними делать? Прежде всего ясно, что несовмест­ ность наших 11 уравнений является кажущейся и произошла из-за ошибок опыта. При обработке результатов ошибки опыта следует по возможности исключить. Искомое значение а должно учитывать не какие-то два, а всю совокупность данных, т. е. нужно найти такое значение а, которое лучше всего удовлетворяет всем имею­ щимся экспериментальным данным.

Формулы, позволяющие решить эту задачу, довольно сложны, и мы рассмотрим их в приложении IV. Здесь мы укажем графиче­ ское решение задачи.

Приведенные в таблице экспериментальные данные изображены на рис. 4 крестами, размер которых определяет величину стандарт­ ной ошибки измерения температуры (по горизонтали) и сопроти­ вления (по вертикали).

Масштаб графика выбран так, чтобы получить примерно равные размеры по длине и высоте. Рассмотрение результатов, прежде всего, показывает, что при температуре 40° С величина сопротивле­ ния, по-видимому, измерена неверно. Эту точку следует переме­ рить. Ошибку можно было бы найти и без графика при вниматель­ ном рассмотрении таблицы, однако на графике она проявляется значительно отчетливее. Желательно поэтому строить графики непосредственно во время ра­ боты. Если ошибка обнару­ жена слишком поздно, когда повторить измерения уже нельзя, точку нужно обяза­ тельно нанести на график, но не следует принимать во вни­ мание при обработке.

Теоретическая зависимость (В. 18) должна иметь на на­ шем графике вид прямой ли­ нии. Рассмотрение результа­ тов показывает, что точки до­ статочно хорошо (в пределах ошибок опыта) ложатся на прямую, изображенную на рис..4. Проводить прямую сле­ дует так, чтобы она лежала

возможно ближе к точкам и чтобы по обе ее стороны оказывалось приблизительно равное их количество. Величину а следует опреде­ лить, исходя из наклона проведенной прямой. Решение задачи о том, как это лучше сделать, мы предоставляем читателю.

Нахождение температурного коэффициента сопротивления а с помощью графика является одним из способов решения задачи об одновременном использовании всех имеющихся эксперименталь­ ных данных. Это решение имеет существенные преимущества перед расчетными методами. При построении графика мы смогли быстро обнаружить ошибку и исключили ее влияние на результат. Пост­ роение графика убедило нас в том, что наши данные не противоре­ чат структуре формулы (В. 18), предсказывающей прямолинейный вид зависимости R от t. Наконец, мы смогли без сложных вычисле­ ний определить значение а (наклон кривой), учитывающее одно­ временно всю совокупность экспериментальных данных.

Обработка данных с помощью графика рис. 4 существенно облегчилась благодаря тому, что искомая зависимость имеет

прямолинейный характер. Не представляет труда провести через экспериментальные точки наилучшую прямую. А как провести через них наилучшую параболу или наилучшую синусоиду?

Масштаб по осям графика всегда следует выбирать так, чтобы теоретически ожидаемая зависимость имела вид прямой линии.

Пусть, например, мы измеряем путь 5, который проделывает па­ дающее тело, в зависимости от времени полета t, и хотим опреде­ лить из наших результатов постоянную земного тяготения g. Фор­ мула имеет в этом случае вид

S = gtV2.

Если мы изобразим результаты опыта на графике, по осям кото­ рого отложены 5 и t, то точки расположатся вокруг параболы, про­ вести которую на глаз очень трудно. Дело существенно облегчится, если по оси абсцисс откладывать не время t, а Р, а по оси ординат

путь S, или откладывать по оси абсцисс время t, а по оси ординат V's, или, наконец, по оси абсцисс lg t, а по оси ординат lg S, Во

всех этих трех случаях точки будут располагаться около прямой линии, которую нетрудно провести на глаз с достаточной точностью.

§ 9. Приборы и изучаемое явление

Физические явления мы изучаем обычно с помощью тех или иных приборов. Введение приборов часто накладывает свой отпе­ чаток на ход изучаемых явлений и нередко может их существенно исказить.

Измерим температуру воды, налитой в пробирку. Попробуем это сделать, погрузив в пробирку термометр. Теплоемкость обыч­ ного термометра составляет заметную долю теплоемкости воды. Введение холодного термометра охладит воду, и мы измерим тем­ пературу воды, установившуюся после внесения в нее термометра, а вовсе не ту, которую имела вода до измерения.

Измерим разность потенциалов между двумя точками с помощью вольтметра. Сопротивление участка цепи, расположенного между исследуемыми точками, изменится, так как параллельно тем соп­ ротивлениям, которые имелись раньше, включится еще сопротив­ ление вольтметра. Это изменение сопротивления вызовет в свою очередь некоторое перераспределение токов во всей цепи.

Исследуем поток воздуха, поместив в него вертушку или трубку Пито. Введение приборов изменяет распределение воздушных по­ токов. В окрестности прибора воздух течет медленнее, чем в других местах. Приборы измеряют этот возмущенный их присутствием ноток, а не тот поток, который был до их внесения.

Влияние приборов на исследуемое явление должно всегда вни­ мательно учитываться экспериментатором, в противном случае при измерении могут возникать очень серьезные ошибки.