Файл: Руководство к лабораторным занятиям по физике учеб. пособие.pdf

38 I. ОЗНАКОМЛЕНИЕ С МЕТОДАМИ ФИЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИИ

измерения, сколько средний результат опыта, в нашем при­ мере— среднее количество частиц, проходящих через установку за 10 секунд (или в 1 секунду).

Чтобы определить среднюю интенсивность космических частиц, следует измерить число частиц, прошедших через установку за большое время, и разделить полученное число на время измере­ ния и площадь счетчика. Строго говоря, средняя интенсивность равна пределу, к которому стремятся получаемые таким обра­ зом числа при беспредельном увеличении времени измерения.

Отдельные измерения, проведенные в течение некоторого ко­ нечного и, как правило, не слишком большого отрезка времени, позволяют определить искомую среднюю интенсивность излуче^- ния не вполне точно, а с некоторой ошибкой, величина которой тем меньше, чем больше время измерения.

Рассмотрим более внимательно опыт по определению интен­ сивности космических лучей. При небольших размерах установки и не очень большом времени, которое можно использовать для опыта, все ошибки оказываются пренебрежимо малыми по сравне­ нию со статистическими флюктуациями, поэтому никаких других отклонений, кроме .статистических, мы рассматривать не будем.

Проведем ряд опытов nQ измерению числа частиц, попадающих в счетчик за фиксированное время t. Сравнив полученные резуль­ таты, мы увидим, что найденные числа заметно отличаются друг от друга, хотя среди них встречаются и одинаковые.

Построим график, откладывая по оси абсцисс число частиц, зарегистрированных при измерениях, а по оси ординат — долю случаев (по отношению к общему числу измерений), в которых было зафиксировано данное количество частиц.

Построенный график содержит дискретно расположенные точки, которые для наглядности обычно соединяются между собой. Лучше всего это делать, представляя график в виде совокупности верти­ кально стоящих прямоугольников, как это изображено на рис. 6. На этом графике прямоугольник, расположенный между 0 и 1, характеризует случаи, в которых регистрировалось 0 отсчетов;

г и с т о г р а м м о й .

Мы получим, таким образом, график распределения результатов опыта, который обнаруживает максимум в области искомого сред­ него значения, хотя среди результатов попадутся и такие, которые сильно отличаются от среднего. Доля случаев, в которых происхо­ дит некоторое событие (например, обнаруживается данное число отсчетов), называется вероятностью этого события.

Построенный график (гистограмма), таким образом, характери­ зует распределение вероятности зарегистрировать п частиц за

40 I. ОЗНАКОМЛЕНИЕ С МЕТОДАМИ ФИЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

Для сравнения различных распределений по ширине нужно выбирать такие масштабы по оси абсцисс, чтобы положения мак­ симумов у всех гистограмм совпадали (рис. 7). Чем уже распре­ деление, тем с большим основанием можно утверждать, что найден­ ное на опыте значение может быть отождествлено с искомым сред­ ним. Чем распределение шире, тем меньше оснований для такого отождествления.

Рис. 7. Сравнительное распределение результатов опыта при различных п0.

Для оценки точности измерений обычно применяют величину, называемую д и с п е р с и е й . Дисперсией о2 случайной вели­ чины называется среднее значение квадрата отклонения этой ве­ личины от ее среднего значения:

а2 = (п —п0)2.

Сама величина а (корень квадратный из дисперсии) называется с р е д н е к в а д р а т и ч н о й о ш и б к о й или с т а н д а р т ­

ны м о т к л о н е н и е м .

Втеории вероятностей показывается, что в 68 случаях из 100 (т. е. с вероятностью 68%) истинное среднее значение отличается от результатов измерения не более чем на одну среднеквадратич­ ную ошибку (±а); с вероятностью 95% — не более чем на две среднеквадратичные ошибки (± 2 а) и с вероятностью 99,7% — не больше чем на три среднеквадратичные ошибки (=ЬЗа).

Из теории следует также, что среднеквадратичная ошибка числа отсчетов счетчика за некоторый интервал времени равна корню из среднего числа отсчетов за тот же интервал: сг = У п0. Однако почти всегда истинное среднее значение измеряемой величины неизвестно (иначе для его определения не пришлось бы ставить опыты). Поэтому в формулу для определения стандартной ошибки отдельного измерения приходится подставлять не истинное среднее значение п0, а измеренное значение п:

Формула (1) показыват, что, как правило (с вероятностью 68%),

измеренное число частиц п отличается от искомого среднего не более чем на У п . Результат измерений записывается так:

Обратимся теперь к следующему важному вопросу. Пусть мы про­ вели серию из N измерений по t секунд, в результате которой полу­ чены числа частиц пъ п.ъ ..., п^. Эти результаты мы до сих пор ис­ пользовали для того, чтобы определить, как отличаются друг от друга значения, полученные в разных измерениях. Как уже отме­ чалось, этот вопрос важен главным образом для выяснения того, насколько достоверен результат, полученный в одном измерении. Но если было проведено несколько измерений, их результаты могут быть использованы и с другой целью: они позволяют определить среднее значение измеряемой величины лучше, чем это можно сделать, если произведено всего одно измерение. Пусть t — 10 с. При N измерениях среднее значение числа сосчитанных за 10 се­ кунд частиц равно, очевидно,

а стандартная ошибка отдельного измерения, по определению, равна

і= 1 В соответствии с формулой (1) следует ожидать, что эта ошибка будет близка к У п, т. е.

Величина п из формулы (3), полученная путем усреднения резуль­ татов по серии из N опытов, конечно, тоже не вполне точно совпа­ дает с истинным средним значением п0 и сама является случайной величиной, но отклонение величины п от п0, вообще говоря, суще­ ственно меньше, чем о0ТД.

Через минуту остановите счет, нажав кнопку «Стоп». Цифры, стоя­ щие около светящихся электродов, отсчитываются слева направо и определяют количество прошедших импульсов. Число импульсов должно быть равно 50 і = 3000 с отклонением не более 1 %. Повто­ рите измерение 2—3 раза.

4.Нажмите кнопку «Сброс», затем «Пуск» и засеките время. Прибор начнет считать импульсы, поступающие от счетчика.

5.Измерьте число частиц, проходящих через счетчик за интер­ вал времени, равный 10 секундам. Повторите измерение JV --- 400 раз.

Результаты опыта представьте в виде гистограммы W„ —'/ (п). Для этого по оси абсцисс отложите последовательные целые числа п, а по оси ординат — долю случаев, когда число отсчетов счетчика равнялось /?. Доля случаев Wn, характеризующая вероятность полу­ чить п отсчетов, определяется по очевидной формуле

6.Определите п — среднее число импульсов счетчика за 10 се­ кунд (по формуле (3)) и о0ТД — среднеквадратичную ошибку от­ дельного измерения по формуле (4).

7.Убедитесь в справедливости формулы (5).

8.Определите процент случаев, когда отклонения от среднего значения превышают аогд, 2аотд, Заотд, и сравните найденную из опыта долю таких случаев с теоретическими оценками. При срав­ нении теоретических оценок с экспериментальными данными сле­ дует помнить, что при конечном, а тем более при небольшом числе опытов точного согласия между ними быть не может. Эксперимен­ тальные данные содержат в себе элемент случайности, которого нет

втеоретических оценках. Согласия экспериментальных результа­ тов с теоретическими оценками следует ожидать лишь по порядку величины.

9.Разбейте результаты измерений в порядке их получения на группы по 4 и с их помощью постройте гистограмму распределения среднего числа отсчетов за 40 секунд. Определите среднее число импульсов и среднеквадратичную ошибку для этого распределения.

Для наглядности гистограммы распределений среднего числа отсчетов за 10 и 40 секунд следует строить на одном графике. При этом для второго распределения цена деления по оси абсцисс должна быть увеличена в 4 раза, чтобы положения максимумов распреде­ лений совпадали. По оси ординат в обоих распределениях отклады­ ваются вероятности Wn (см. рис. 7).

10.Определите стандартное отклонение величины н, используя всю совокупность измерений (по формуле (6)). Найдите относитель­ ную ошибку этого результата по первому равенству (7) и по послед­ нему равенству (7). С какой точностью совпадают эти результаты? Насколько точно они должны совпадать?