Файл: Гуревич, А. Г. Магнитный резонанс в ферритах и антиферромагнетиках.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 14.10.2024

Просмотров: 220

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

492

П р о ц е с с у р е л а к с а ц и й

[Ел. а

Предположим

сначала» что |

2 J == | lF |

не зависит от к2.

Допустим также, что спектр спиновых волн, как это имеет место для изотропной среды, не зависит от cpft. Тогда интегрирование В (9.3.5) по ф2 даст множитель 2к. От интегрирования по одной из оставшихся переменных легко избавиться используя свойства дельта-функции (см. § 9.2). Избавляясь, например, от интегри­ рования по &2, получим

 

 

сог

 

а« ,

Г

kl sin Ѳ2сЮ2,

 

 

(9.3.6)

 

 

 

 

дк

к=кв

 

 

 

 

 

 

где

кв (Ѳ2)

определяется

из

условия вырождения

(рис.

9.3.2)

 

 

 

 

 

шк- (кѵ,

Ѳ2)

— (Ox,

 

(9.3.7)

 

 

 

а

Ѳ0 — из условия

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

он- (/с = О, Ѳ0) =

сох-

(9.3.8)

 

 

 

Формулу (9.3.6) можно записать в ви-

 

 

&*=1) де

[30]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сог =

- ^ [ Т | 2рв(сох).

 

(9.3.9)

 

 

J

Величина

Рв((Оі),

которая

в

данном

 

 

случае равна

 

 

 

 

 

 

Рис. 9.3.2. Вырождение спино­

 

 

 

\ Ы

1

,

^

1г,ел’

вой

волны (о.,,

к,) с другими

 

 

 

 

спиновыми

волнами.

 

 

 

 

 

 

 

 

(9.3.10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

является плотностью вырожденных состояний, отнесенной к еди­ ничному интервалу частот.

Рассмотрим частный случай 0 -к процессов, т. е. предполо­ жим, что &L = 0, а сох = со о — частота однородной прецессии. При­ мем для простоты приближенное выражение (8.1.16) для спектра магнонов и ограничимся случаем сферы. Тогда

= 2rjÄ;, Ѳ0 = arcsin

,

kl =

(sin2 Ѳ„ — sin2 Ѳ2),

и вычисление по формуле (9.3.6) дает

 

 

Fco1/*

(9.3.11)

сог0 = 1,2.10-2-

^ т 2.

В действительности амплитуда возмущения 'f’, конечно, за­ висит от волнового вектора к2 и эта зависимость определяется характером зависимости неоднородности от координат. По-види­

S 9 .з]

Д В У Х М А Г Н О Н П Ы Ё П Р О Ц Е С С Ы

493

мому, чем «мельче» неоднородность, тем больше те значения к2, при которых лежит максимум | VF (к2) |. Чтобы убедиться в этом, воспользуемся гейзенберговской моделью ферромагнетика. Пред­ положим, что возмущение может быть описано некоторым эффек­ тивным полем Н (ѵ), так что энергия возмущения может рассмат­ риваться как зеемановская энергия спинов в этом поле. Тогда, согласно (8.5.1), принимая для простоты, что поле Н(г) направле­ но по оси z (которая, как всегда, совпадаете направлением равно­ весной ориентации спинов), запишем оператор энергии возмуще­ ния в виде

N

 

Ж = гп 2 S ziH{rf).

(9.3.12)

/=1

 

Перейдем в (9.3.12), согласно (8.5.7), к операторам âs и а}:

N

$ = ( - 5 + % ) Я (г,). /=1

Интересуясь только билинейной частью этого гамильтониана, вы­

разим ее, согласно (8.5.17),

через операторы &к и âk. Одновремен­

но разложим Я

(г/) в ряд Фурье:

 

 

 

 

N

 

 

 

Ж2 = гК

* 2 е *а2

S

W ? '

'“ "'«I* J j f l

 

У N

 

 

Здесь

 

 

 

 

(9.3.13)

 

1

 

 

 

 

 

2 Я (г ,)ѳ - ік^

(9.3.14)

 

Я *Н = V N

 

 

 

—kjj-я гармоника z-составляющей эффективного поля. Поскольку неоднородное возмущение было учтено при помощи

эффективного, как бы внешнего поля, мы можем теперь считать кристалл периодическим, для которого справедливо соотношение

8.5.21). С учетом этого соотношения имеет место

формула

2 # 2(Г/) =

2 |Я * Р

(9.3.15)

/

к

 

(аналогичная формуле Парсевалля [38]), а гамильтониан возмуще­ ния (9.3.13) принимает вид

Жч = ~7=- 2 S 2

(^l — ^2 Ч~ kff). (9.3.16)

У к, к, кн

Сравнивая полученное выражение для гамильтониана возмущения

494

Процессы РЕЛАКСАЦИЙ

[гл. д

с (9.3.1),

мы. видим, что

 

 

Ч'м = -р | гЯ «,-« -

(9.3.17)

Таким образом, двухмагнонпые (кх —> к2) процессы будут идти, если среди пространственных гармоник эффективного поля-, моде­ лирующего неоднородность, имеется гармоника (1с2 — к2); интен­ сивность их будет тем больше, чем больше эта гармоника. Как сле­ дует из (9.3.16), можно считать, что при двухмагноиных процессах импульс «сохраняется», но с учетом импульса Тікд = к (к2— ка), который передается кристаллу в целом. С этой точки зрения понятно, что энергия кристаллу (обладающему очень большой, по сравнению с магнонами, массой) при процессе рассеяния на неод­ нородностях не передается, т. е. имеет место вырождение исходных и рассеянных магнонов.

Подставляя

(9.3.17) в фордсулу (9.3.5), получим

 

СОг= іЙ р - Г $

//(2ц,-к,)б(<0і — со2) Л-2 siu 02d/c2dO2dcp2. (9.3.18)

 

 

(к,)

 

Это

выражение

можно

переписать следующиді образом:

 

 

-ff-Я(кі-кі) ^ 6 (со! — со2) к\ sin 0.2d/c2d32dcp2, (9.3.18')

 

 

 

Cb,)

где

Hfkr-к,) есть

величина Я (кі_к:), усредненная по всей разрешен­

ной законом сохранения энергии (условием вырождения) части к2-пространства.

В случае рассеяния однородной прецессии (кх = 0) интеграл, входящий в (9.3.18'), был уже вычислен (для приближенного

спектра

(8.1.16)) при

выводе выражения

(9.3.11). В

этом случае

(заменяя индекс

к2

на

к)

найдем

 

 

 

 

сог0 =

1 , 2 . 1 0 - * - ^ ^

я | .

(9.3.19)

Введем,

согласно

(4.2.7),

(2.1.9) и (8.1.8), обменное

поле

 

 

 

 

 

=

 

(9.3.20)

где а =

(V/N)^3 — среднее

расстояние между элементарными маг­

нитными моментами. Тогда (9.3.19) можно будет записать в форме

(2АН)0.к зз = 0,024 ѴЩ іп Н \. (9.3.21)

Как показывает оценка по формуле (9.3.21), величины V Н \, не­ обходимые для того, чтобы 0-к процесс вносил заметный вклад

§ 9 .3 ]

Д В У Х М А Г Н О Н Н Ы Е П Р О Ц Е С С Ы

495

врелаксацию, оказываются большими. Так, например, при

(2АН)0.к

= 1 э для

иттрий-железного граната VН% ~ ІО5 э.

Если

эффективное

поле неоднородностей Н (г) носит характер

совершенно случайных флуктуаций («белый шум»), то амплитуды его фурьѳ-гармоник можно считать не зависящими от к. Тогда из

формулы (9.3.15) следует,

что

 

Я | =

Я | = - і - 2 ^ а('/)

(9.3.22)

(Нр — среднее квадратичное эффективное поле неоднородностей). Таким образом, в этом случае необходимо очень сильное неоднород­ ное поле, чтобы 0-Ä: процесс был эффективен. Однако, как мы убедимся ниже, положение существенно изменяется, если неодно­ родности носят более «упорядоченный» характер, так что спект­ ральная плотность Н}; их эффективного поля имеет заметную ве­ личину лишь в некоторой, сравнительно узкой полосе спектра.

Как видно из полученных выражений, частота релаксации, определяемая двухмагнонными процессами, явно от температуры не зависит. Ее температурная зависимость связана лишь с темпера­ турными зависимостями входящих в эти выражения параметров.

Отметим еще две особенности двухмагнонных процессов. Первая заключается в том, что при этих процессах не изменяется число магнонов, и следовательно, двухмагнонные процессы (так же как четырехмагнонные процессы рассеяния) не могут участвовать в ре­ лаксации М г. Что же касается длины вектора М, то она сохра­ няется для двухмагнонных процессов без участия однородной пре­ цессии и не сохраняется для 0-к процессов.

Второй важной особенностью двухмагнонных процессов явля­ ется то, что они не вносят непосредственного вклада в параметры релаксации, которыми определяются пороги спиновых нестабиль­ ностей. В частности, 0-к процессы почти не вносят вклада в вели­ чину ДІУЛо, которая определяется (см. § 9.2) путем экстраполяции к к = 0 зависимости ДН к (к), измеренной методом продольной накачки. Действительно, влияние неоднородностей, как отмеча­ лось выше, приводит к тому, что типы колебаний однородных об­ разцов (одним из которых является однородная прецессия) заме­ няются другими типами нормальных колебаний — неоднородных образцов. На языке квантовой теории это означает, что двухмаг­ нонные члены энергии возмущения, связанной с неоднородностями,

идвухмагнонные члены основной энергии совместно диагонализируются. При наличии накачки один из этих «новых» нормальных типов колебаний неоднородного образца становится нестабильным,

ипорог нестабильности определяется параметром диссипации этого типа колебаний. Конечно, он может отличаться от параметра дис­ сипации «старого» типа колебаний — однородного образца.

496

П Р О Ц Е С С Ы Р Е Л А К С А Ц И И

[ Г Л . О

Но ясно, что двухмагпонные процессы непосредственного

вклада

в него

вносить не будут.

 

Рассмотрим теперь влияние различных неоднородностей иа дис­ сипацию, главным образом — однородной прецессии.

Беспорядок в распределении ионов по узлам. Первой теорети­ ческой работой, в которой подробно исследовалось влияние неод­ нородностей на диссипацию энергии при ферромагнитном резонан­ се, была работа [304] четырех авторов: Клогстона, Сула, Уокера и

I

Андерсона.

В

ней рассматри­

валось

влияние

микроскопиче­

 

ских

неоднородностей — беспо­

 

рядка

в распределении различ­

 

ных

магнитных

ионов

по

уз­

 

лам решетки. Такой беспорядок

 

(см. § 4.4)

имеет

место

обычно

 

в ферритах

со структурой шпи­

 

нели; некоторые из них, как,

 

например, литиевый феррит, мо­

 

гут быть как в неупорядочен­

 

ном, так и в упорядоченном сос­

 

тоянии

[19].

В

ферритах

со

 

структурой граната беспорядок

 

возникает при

частичном заме­

Рпс. 9.3.3. Функция I (iVj_) в формуле

щении

ионов

 

Fe3+

другими

(9.3.23) [304]. Цифры у кривых — зпачеппя

ионами.

 

 

 

 

 

Но/(4яМо).

 

 

 

 

 

В работе [304] был использо­ ван метод связанных уравнений движенпя для операторов рождепия и уничтожения магнопов одно­

родной прецессии и вырожденных с ними магнопов с к =/- 0. Для частоты релаксации в случае эллипсоида вращения было получено следующее выражение:

2шг

3

]44я.Мо Яр

я ,

(9.3.23)

= 2ДЯ =

 

~

20я нЪ

4яУИо

 

где Яр — средний квадрат эффективного поля неоднородностей, а I — функция, учитывающая степень вырождения однородной пре­ цессии со спиновыми волнами с k =j=0, графики ее приведены на рис. 9.3.3. Из этого рисунка видно, что, как и следовало ожидать, I —>0 при N —> 0. Для сферы в предельном случае высоких час­ тот (Я0 5>> 4яУИ0) / Ä ; 1.

Частоту релаксации, обусловленную беспорядочным распреде­ лением ионов по узлам, как показал Каллен [279], можно рассчи­ тать и методом вероятностей переходов. В данном случае неодно­ родность носит хаотический характер, и мы можем считать, что ве­ личина Uii постоянна. Тогда, как отмечалось выше, эта величина

Смотрите также файлы