Файл: Гуревич, А. Г. Магнитный резонанс в ферритах и антиферромагнетиках.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 14.10.2024

Просмотров: 208

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

$ 2 .lj О Б О Б Щ Е Н И Е У Р А В Н Е Н И Я Д В И Ж Е Н И Я

Н А М А Г Н И Ч Е Н Н О С Т И

%

эллипсоида, т. е. зависимость переменной намагниченности от внутреннего переменного поля, но с внешним постоянным полем в качестве параметра. Для решения такой задачи следует в вы-

ражение

(2.1.34)

поставить только

тензор N“,

а в выражение

(2.1.35) — сумму

N 33 +

N 33.

 

 

 

Решение уравнения движения в сферических координатах.

Другой метод решения

уравнений

движения

намагниченности

с

учетом

анизотропных

(зависящих

 

 

от

углов

вектора М) взаимодействий

 

 

был предложен

Смитом и Бельерсом

 

 

[117] и Судом [118] и распространен

 

 

на случай наличия диссипации Скроц-

 

 

ким и Курбатовым [120]. Этот метод

 

 

основан на использовании уравнений

 

 

движения, в которые непосредственно

 

 

введена,

согласно

соотношению

 

 

(2.1.14) ,

энергия

соответствующих

 

взаимодействий. Такие уравнения бу­

 

 

дут иметь особенно простой вид, если

 

 

перейти от декартовой системы коор­

 

 

динат к

сферической.

 

Рис. 2.1.2. Намагниченность в де­

 

Будем

исходить,

например, из

картовых и

сферических коорди­

уравнения (2.1.23), а в формуле

 

натах.

(2.1.14)

учитывать

только первый

 

 

член в правой части, не рассматривая таких взаимодействий (на­ пример, неоднородного обменного взаимодействия), энергия кото­ рых зависит от пространственных производных намагниченности.

Вместо декартовых составляющих намагниченности М х, М ѵ и M z введем переменные М, Ѳ и ф (см. рис. 2.1.2). Очевидно, что

М х = М sin Ѳcos ер,

Му = М sin Ѳsin cp, M , = M cos Ѳ,

 

м .

м„

(2.1.36)

т- е-

(2.1.36')

0=arccos-^7±-

ф= arctg-ry^-.

 

М

 

 

Так как используется уравнение

(2.1.23), то можно считать

 

М = const.

(2.1.37)

По формуле (2.1.14) (без неоднородного члена) с учетом (2.1.36') и (2.1.37) вычислим декартовы составляющие эффективного поля (индексы eff у них опускаем)

dU

dU

ЭѲ

dU

Эф _

Біпф

dU

H x — dM

ЭѲ

дМ

дер

дМ

М sin Ѳ

Эф

 

COS ф

dU

 

 

dU

(2.1.38)

 

н ,

 

 

 

 

= М sin Ѳ ЭѲ

 

 

М sin Ѳ

Эф

 

16

А Й І І З О Т Р О П Н Ь Т Й Ф Ш ^ О М Л Г 'Н Р Л 'Н к

[ г я . 2

Подставляя теперь (2.1.36) и (2.1.38) в проекции уравнения (2.1.23) на оси х, у и z, мы убеждаемся, что три полученных урав­ нения удовлетворяются тождественно, если справедливы следую­ щие два уравнения:

50 dt

dtp ЭГ

где

G).

—ГЯФ+ - W H

 

 

- H Q

і- ..

G>J

 

 

. n Htp,

 

sin 0

1 M sin 0 ф ’

_L JUL

И

-

1

M

50 ’

ф

 

A /sin0

 

 

(2.1.39)

 

 

(2.1.40)

ди

•

(2.1.41)

öcp

 

Легко убедиться, что Н ъ и 7/ф — не просто обозначения, а дей­ ствительно представляют собой проекции эффективного поля на оси локальной системы координат, орты которой касательны к координатным линиям Ѳи ср (третья составляющая, параллельная

М , в уравнение (2.1.23),

а следовательно, и в уравнения (2.1.39)

и (2.1.40) не входит).

и з уравнения (2.1.22), для которого то­

Е с ли бы мы и сх о д и л и

же справедливо условие (2.1.37), то пришли бы к уравнениям, отличающимся от (2.1.39) и (2.1.40) только заменой (1.3.4). Ана­ логичным образом можно записать в сферической системе коор­ динат и уравнение (2.1.24), для которого М =f=const. В этом слу­ чае все величины будут зависеть от трех переменных 0, ср и М, и мы придем к трем уравнениям. Два из них совпадут с (2.1.39) и (2.1.40) при учете соотношения (1.3.12), а третье запишется сле­ дующим образом:

^ = <ог(ХоН м - М ) ,

(2.1.42)

где

(2.1.43)

Уравнения (2.1.39), (2.1.40) и (2.1.42) справедливы для произ­ вольных движений вектора намагниченности М. Теперь рассмот­ рим случай малых отклонений М от равновесной намагниченности М0, ориентация которой характеризуется углами Ѳ0 и ср0 (рис. 2.1.2). Уравнение (2.1.42) в этом случае будет содержать только малые величины второго порядка, и мы его не будем рассматри­ вать, а уравнения (2.1.39) и (2.1.40) линеаризуем — сохраним в них члены только первого порядка малости.

Предположим сначала, что переменное поле отсутствует, т. е.

рассмотрим малые

свободные колебания намагниченности. Раз­

ложим dUldQ и dUldtp в ряды по

малым величинам

ДѲ =

0 — Ѳ0

и Дф = ф — Фо и

ограничимся

первыми членами

этих

рядов.

§ 2.1] О Ё О Б Щ Е Н И Е У Р А В Н Е Н И Я Д В И Ж Е Н И Я Н А М А Г Н И Ч Е Н Н О С Т И 77

Учитывая, что в положении равновесия

 

f i q

/0=Ѳ о,ф=фо

= ( Ж )

= 0

\ 30

\ Эф / 0=0о,ф=сро

’

получим из (2.1.39) и (2.1.40) линеаризированные уравнения дви­ жения

Э(ДѲ)

dt W0luTWQU^ + J q Um 1Аѳ +

 

 

+

М0sin ѳ0

м г Uäv 1АФ 0»

д(Аф)

 

 

 

 

 

(2.1.44)

_ ( __

сл00

А/2 sin" 0о С/вср 1

д ѳ

-

dt

у Л/0 sin I

 

 

 

 

ЕЛь -

--

V Ü\ о) Дф = 0.

Здесь

обозначено

 

M0sinQ0 U0*

м Ы п *вп

 

 

д2Ц

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и 0Ф=

ЭѲ Эф /о= ѳ„,ф= ч>„ ’

аналогичный смысл имеют U0Qи £7W.

Предположим, что собственные колебания являются гармо­

ническими:

(ДѲ)! eim(, Дф = (Дф)х е*“г,

ДѲ =

где © — комплексная

собственная частота колебаний, которую

и нужно определить. Для комплексных амплитуд (ДѲ)! и (ДфД из (2.1.44) получается система алгебраических уравнений. Опре­ делитель ее

со2

І(0.(0 /

а

\

l q ~ [ Uaa + И ^ѳ 7

и ^ ) ~

 

 

-

-M4s| n2e

(Т2^о + ИЗ) (С/ѳ оС/фФ- £/§ф) = о . (2.1.45)

 

Без учета диссипации (cod = 0) отсюда следует важная форму­

ла [117, 118]

 

 

 

 

“ • =

(2.1.46)

При наличии диссипации, подставляя в (2.1.45) со = со' + ісо", можно найти со' и со". В частности, [120]

( 2 '1 4 7 )

В первом приближении (ad<^ уМ 0) частота со' совпадает с со0.

78

АЙЙЗОТРОПНЫЙ ФЕРРОМАГНЕТИК

ІГЙ. 2

Заметим, что в формулы (2.1.44) — (2.1.47) входят множители (sin б,,)"1 и, таким образом, эти формулы, казалось бы, теряют смысл при Ѳ0 = 0. Практически, в этом случае обычно возникают неопределенности, которые могут быть устранены. Тем ие менее, если мы хотим «без раздумий» пользоваться методом Смита — Сула, то следует так выбирать полярную ось, чтобы Ѳ0 =/=0. Это всегда возможно, потому что, в отличие от метода эффективных размагничивающих факторов (где обязательно Ѳ0 = 0), в методе Смита — Сула никаких ограничений на выбор оси не наклады­ вается.

Величина U в формулах (2.1.46) и (2.1.47) может включать в себя все виды.плотности энергии ферромагнетика. Если же мы учтем в U только зеемановскую энергию и энергию размагни­ чивающих полей, то найдем собственную частоту и добротность малого эллипсоида, полученные другим методом в § 1.4.

Рассмотрим теперь вынужденные колебания намагниченности под воздействием заданного переменного поля h_Уравнения (2.1.39) и (2.1.40) будут в этом случае, конечно, справедливы, но входящая в них плотность энергии должна включать теперь дополнительно зеемановскую энергию в переменном поле

£7Л= — МІі_.

(2.1.48)

Обозначим суммарную плотность энергии через С7Х, а под U бу­ дем понимать ту же величину, что и раньше:

Uх = U + Uh.

(2.1.49)

Будем снова считать колебания малыми и разложим теперь уже dUJdQ и dUJdф в ряды вблизи положения равновесия:

ди1

ЭѲ

(Ж )о +

£7ѳѳДѲ +

t /офДф +

•

 

 

 

(2.1.50)

dUi

 

 

 

 

 

 

 

Зф

('ё ф ’)о

+

£7<р<|Аф +

•

В положении равновесия

Ф о .

Рассматривая малые колебания, можно ограничиться этими ну­ левыми членами разложения dUhIdQ и dUh/d(p.

Выражение (2.1.48) в полярных координатах запишется сле­ дующим образом:

Uh = — Mh~ [sin Ѳsin 0hcos (<p — cp(l) -(- cos Ѳcos 0h], (2.1.51)

где

Ѳд и ф,,— полярный и азимутальный углы вектора h_, а

—

его

длина. Для получения уравнений движения достаточно про-

§ 2.2] Ф Е Р Р О М А Г Н И Т Н Ы Й Р Е З О Н А Н С В М О Н О К Р И С Т А Л Л А Х 79

дифференцировать (2.1.51) по Ѳ и <р, заменить в производных Ѳ и Ф на их равновесные значения Ѳ0 и ф 0, подставить эти выражения в (2.1.50), а полученные выражения для dUJdQ и dU-Jdф подста­ вить вместо dU/dQ и dU/dcp в уравнения (2.1.39) и (2.1.40). По­

лучающиеся таким

образом уравнения

несколько

громоздки,

и мы запишем их

только

для

случая

отсутствия

диссипации

<Г""

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.1.52)

 

=

—

[ctg Ѳ0 sin Ѳд cos (фо — фд) —cos Ѳд].

Величины h^, Ѳд и фд являются заданными функциями времени; в частности, для переменного поля с линейной поляризацией углы Ѳд и фд постоянны. Углы же Ѳ0 и ф„ (входящие также в величины

Uв0)

и

U0ф) должны быть известны из решения задачи об

определении

равновесной намагниченности.

В заключение заметим, что выше было сделано существенное допущение. Предполагалось, что выражение для энергиих) U, которое первоначально записывалось как равновесное, сохраняет свой вид и для переменных намагниченностей и полей, и из этого выражения соответствующими дифференцированиями могут быть получены как постоянные, так и переменные составляющие эф­ фективных полей. Очевидно, что это справедливо, если харак­ терные времена тех процессов, которыми определяется анизот­ ропия, много меньше, чем период колебаний. В § 9.5 будет рас­ смотрен случай, когда это допущение не выполняется.

§ 2.2. Ферромагнитный резонанс в монокристаллах

Перейдем к исследованию конкретного вида анизотропии в ферромагнетике — кристаллографической магнитной анизотропии. Наиболее отчетливо ее влияние проявляется, конечно, в мо­ нокристаллах. Все процессы в них протекают в более чистом виде, чем в поликристаллических веществах, и поэтому монокристал­ лы широко применяются в различных физических исследованиях, в том числе и ферромагнитного резонанса. Монокристаллы ферримагнетиков применяются и в технике [И].

Источники кристаллографической магнитной анизотропии. Как уже отмечалось в § 1.1, причиной магнитного упорядочения является зависящее от спинов электростатическое взаимодейст­ вие электронов, которое может трактоваться как сильное обменное взаимодействие их спиновых моментов. Причиной же магнитной кристаллографической анизотропии являются значительно более2

2) См. примечание 1 на стр. 68.

Смотрите также файлы