Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

определяются ^-когомологиями (см. Коннер и Флойд [3]). Кого­ мологические операции в этой теории определили Лаидвебер 1.1],

(А , А) интенсивно изучалась Коннером и Флойдом [2], [4], кото­

изучались Ландвебером [4]. Существует интересное применение,

определяется своими целочисленными когомологическими харак­ теристическими числами. Связь групп (А) с комплексной /ѵ-те- орией пространства А изучалась Коннером и Флойдом [8]. Кого­ мологические операции в -теории исследовали Новиков [5], [6] и Лаидвебер [3].

Прим ер 7. Специальные унитарные кобордизмы:

Об ъ е к т ы . Многообразия с фиксированным классом экви­

валентности специальной унитарной структуры в пормалыюм

унитарной группы SU r u отображения / определяются, как и в слу­ чае комплексных коборднзмов.

левой группой, если п ф 1 или 2 (mod 8), а группа Qgk+i изоморф-

сГТ

на группе Qgk+ 2 и является Z-2 -векториым пространством размер­ ности, равной числу разбиений числа к в сумму положительных

ческие числа дают полный набор инвариантов класса коборднзмов (Андерсон, Браун, Петерсон [1]). С точностью до элементов конеч­ ного порядка класс коборднзмов определяется своими целочпслеи-

иыми когомологическими числами, все соотношения между кото­ рыми задаются подходящей теоремой Римана — Роха (Стонг [2]).

дается квадратами классов кобордизмов, имеющих представителя­ ми ориентированные многообразия, у которых все числа Понтря­

первый класс Чжэня Cj которых индуцирован отображением много­

когомологические характеристические числа полностью опреде­ ляют класс кобордпзмов.

С в я з ь с й^. Группа ІГѴМмономорфно отображается в Й^" на группу, порожденную классами кобордизмов, у которых все характеристические числа, делящиеся иа с2, равны нулю.

валентности Spin-структуры на нормальном расслоении. (Группа Spin,! определяется как односвязное накрытие группы SOn; см. Атья, Ботт, Шапиро [1] и Милнор [9].)

над пространством BSO,..

В ы ч и е л е H и я. Предварительные результаты были полу­ чены Новиковым [2]. Основное вычисление было проведено Андер­ соном, Брауном и Петерсоном [2], [3], которые показали, что груп­

па Tors Q*pm является 2 г-векторным пространством и состоит из элементов двух типов: элементы первого типа возникают при умножении классов кобордизмов на класс кобордизмов оснащен­ ной окружности S1 (как н в случае б’Н-кобордизмов), а элементы второго тппа мономорфио отображаются в группу неориентирован­

ных кобордизмов. Кольцо Q®pin/Tors является подкольцом кольца полиномов над Z от классов х,й (размерпостп 4і), порожденным всеми классами размерности, делящейся на 8, и двукратными классами, размерность которых не делится па 8.

Х а р а к т е р и с т и ч е с к и е ч и с л а . Классы кобордиз­ мов полностью определяются Z2-когомологическими и АО-харак- теристическпми числами. Все соотношения между целочисленны­ ми когомологическими характеристическими числами задаются теоремой Римана —Роха.

только в размерностях вида 8к + 1 и 8к -[- 2 и порождено осна­ щенными многообразиями.

С в я з ь с 91*. Образ Q*pin в 91* состоит из всех классов кобордизмов, у которых Ж2-когомологпческие характеристические числа, делящиеся на и ш2, равны нулю. Предварительная работа в этом направлении была сделана Милнором [11], П. Г. Андерсо­ ном [1] и Стонгом [3], показавшими, что класс кобордизмов квадрата ориентированного многообразия содержит некоторое спинорное многообразие.

В Spin0 получается из BSO превращением класса ша в целочислен­ ный, В Pin0 получается из ВО превращением класса и>2в целочис­ ленный и В Pin получается из ВО аннулированием класса и>2.)

Р е з у л ь т а т ы . Вычисления были проделаны Андерсоном, Брауном и Петерсоном (анонсировано в [3]) в связи с задачей изу­

чения Spin-кобордизмов. Кольцо Q fin /Tors рассматривалось в работе Стонга [2].

З а м е ч а и и е. Реззьльтаты о группах Й^т и Q*m еще не опубликованы. Известно, что эти грзшпы являются 2-прпиар­ ными и содержат элементы произвольно больпюго порядка. Обра­ зы этих групп в 91* состоят из классов кобордпзмов, у которых

в которой касательные и нормальные структуры имеют разный

касательного расслоения равен іѵ\ и, следовательно, касательное расслоение не обязательно имеет Ріп-стрз^ктзфз^.

П ример 11. Комплексные Spin-кобордизмы: Q ^s .

Об ъ е к т ы. Многообразия с фиксированным классом экви­ валентности одновременно комплексной и Spin-стрз'ктз'ры в его нормальном расслоении.

Оп р е д е л е н и е . (В, /)-кобордизмы, где В —расслоение

группы Q'r,u и свободной абелевой группы (Стонг [6]).

3 а м е ч а и и е. Теория Q^s полезна при исследовании связи между SU и Spin-кобордизмами.

валентности структуры кватернионного расслоения в нормальном расслоении.

О п р е д е л е н и е . (В, /)-кобордизмы, где B,lT = B i r + 1 = = В іг+2 = B,lT+з—классифицирующие пространства BSpr для симплектической группы Spr унитарных кватернионных (г X г)-

является кольцом полиномов от 4j-мерных образующих, и вычис­ лил группы й®р для малых п. Люлевичус [4] продолжил вычисле­ ние групп ßftp для малых п методом спектральной последователь­

кобордизмах 91* нулевой в размерностях меньших 24 (Стонг [8]). З а м е ч а н и е . Теорию iSp-бордизмов изучал Лаидвебер [6].

разлагается в сумму тензорных произведений кватернионных век­

торных расслоений. [Тензорное произведение кватерниониых рас­ слоений—это всего лишь вещественное расслоение.]

З а м е ч а н и е . Введенная Ландвебером [5], эта группа коборднзмов является подгруппой в 91*, состоящей из четвертых сте­ пеней всех элементов из 91*. Опа предназначена для заполнения

бреши, связанной с тем фактом, что образ группы Q*J' в 9t* лежит в группе, состоящей из четвертых степеней элементов из 91* , но не совпадает с пей (как казалось бы на первый взгляд). В частности, кватерниоппьте проективные пространства являются почти спмплектпческпмп, но не спмплектическнми (см. Хирцебрух [1], Конпер п Флойд [6] и Крейнес [I])1).

рых фиксирован класс эквивалентности действий алгебры Клиф-

О п р е д е л е н и е . (В , /)-кобордпзмы, где Вт— соответству­ ющее классифицирующее пространство. Их можно выразить через

гообразий, нормальное расслоение которых является комплексифпкацией вещественного расслоения;

Нестабильный вариант случая (f), который встречается в точной последовательности кобордизмов иммерсий (см. пример 20 ниже), изучался Р. Уэллсом.

ратором, задающим изоморфизм комплексной структуры в нор­ мальном расслоении со структурой, ей комплексно сопряженной.

О п р е д е л е н и е . (В, /)-кобордизмы, где В — Bsc —клас­ сифицирующее пространство для самосопряженной Ä-теорин, определенное Д. Андерсоном [1] и Грином [1].

х) См . прим е ча н и е переводчика ( ') в ко н ц е к н и г и .— П р и м , перво.