Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 114

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

и выбрать

отображение

%r: 2 ‘ (В,.і 0 )

А р+и

представляющее

класс

хг 6 Н р (В т; Л), то

композиция

отображений

 

 

 

 

(ТВт) —> 2* {ВГІ0 ) f\Ar —^ Ар+і/\Ат

Ар+І+Г

 

представляет некоторый

класс

в

группе Н р+Г (ТВт;

А).

Таким

образом определяется гомоморфизм Тома в когомологиях

 

 

 

 

 

Фи: Н*(ВТ; А ) - *

Л р+Г(ТВГ; Л).

 

 

 

Из

конструкции

отображения

ср

следует,

что

Фи (хг) —

= TL* (хг) vj

Uг, где

я г: /* (уг)

 

Яг—проекция

расслоений

и

и отображение UT : TBr-*- А г рассматривается как класс

когомо­

логий

UтÇ Н г {ТВг\ Л).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В частности, для элемента х Ç Н р {В; А) существует последо­

вательность

элементов

хт= g* Ç Нѵ (Вг; Л),

переходящих

при

гомоморфизме

Тома

в

элементы

 

{xr) \j

UTÇ /?р+г [ТВт\

А).

Пусіь Мп—замкнутое {В, /)-многообразие, класс кобордиз-

мов

ко іорого

представлен

отображением

ц>м: Sn+r -> ТВГ;

тогда X [М] = <р*м (:nf (хт) U Ur) 6 Я р+Г {Sn+r- Л) = Н р~п (pt; Л). [Непосредственно видно, что такая когомологическая интерпрета­ ция характеристических чисел совпадает с описанной выше гомо­ логической интерпретацией. Все интерпретации фактически осно­ вываются на функториальности отображения ср.]

О п р е д е л е н и е . Класс Тома U: Т В А называется А-ориенпшцией, если для каждой отмеченной точки Ьг 6 В г суще­ ствует оснащение в слое ôr над ней, такое, что элементы группы

Hr(Sr; А),

определенные отображениями

UroTbT и ссг: S r Аг,

совпадают.

 

 

 

 

З а м е ч а н и я .

1. Из определения следует, что все расслое­

ния /* (у')

(единообразно) Л-ориентированы в смысле Дольда [5].

2. Если

класс

отображения ос: S

А

как элемент группы

П° (5°; Л) не имеет порядок 2, то Л-ориентация выделяет опреде­ ленную ориентацию слоя б1'. Если же этот класс имеет порядок 2, то все элементы групп Л-когомологий также имеют порядок 2,

ив этом случае в слое бг нет выделенной ориентации.

Пр е д л о ж е н и е . Пустъ U: Т В ->- А — некоторая А-ори- ентация, £— векторное r-мерное расслоение над конечным ком­

плексом X с поднятием £: X ВТ, задающим {В, /)-структуру на расслоении Е. Тогда гомоморфизм Тома

Фи: НР{Х\ А) —> ПР+Г{П; А)

является изоморфизмом.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Композиция

отображений

UroT\\ Т \-* -А тзадает, по определению, A-ориентацию расслое­ ния £. Над каждой клеткой Dnкомплекса X расслоение | тривиаль­ но, и так как клетка Dn является линейно связным и односвязным

пространством, то класс UroT% задает ориентацию расслоения І над Dn. Пространство Тома ограничения расслоения | на Dn представляет собой пространство (Dn X S n)/Dn X *, и в этом случае гомоморфизм Тома совпадает с изоморфизмом надстройки.

Таким образом, гомоморфизм Тома определяет гомоморфизм спек­ тральной последовательности Атья — Хирцебруха для А-кого­ мологий комплекса X в спектральную последовательность Атья — Хирцебруха для приведенных А-когомологий пространства Тома TI, который является изоморфизмом в члене Е 2 и, следовательно, в члене Ех . я

С л е д с т в и е . Пустъ

М п — некоторое (В, /)-многообразие

и U :T B -+ -A — некоторая А-ориент ация,- тогда гомоморфизмы

Тома Фи

 

НР(М; А) -> H p+r(TN; А),

' Нр (дМ; А )

-»• H p+r(TN1; А),

НР{М, дМ; А )

H p+r(TN, TN'; А)

являются изоморфизмами.

 

Рассмотрим многообразие М п, вложенное в Нп+Г так, что его граница дМ вложена в Б ’иг_1 описанньш ранее способом. Пусть V — нормальное расслоение многообразия М и ѵ' —нормальное расслоение многообразия дМ.

Те о р е м а . (Атья [3].) Пары комплексов

a)(МІдМ) и Тѵ или

B) (М /0) и (Тѵ/Тѵ')

являются двойственными в сфере S n+r+1.

[Комплексы Б и С, вложенные в сферу S k, называются двой­ ственными, если они не пересекаются и каждый из них является сильным деформационным ретрактом дополнения к другому.]

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

N — трубчатая

окрестность

многообразия М в Н п+'\ Отождествим сферу

Б’!+г+1

с простран­

ством

Н,и-Г X Б,

у

которого

подпространство

(Бп+Г_1 U °°) X

X Б

(J И ПгГ X {— оо,

оо} стянуто

в отмеченную точку оо.

Отождествим

пространство

Тѵ/Тѵ'

с

пространством

(А X

OU dN X [0,

oo)U оо) в 5,1+,'+1. Тогда дополнение к Тѵ/Тѵ' ,

являющееся

пространством

 

{БГП+Г X ( — оо,

0) U ( — А) X

X [0,

оо)} U

(внутренность (А))

X (0, оо), можно сильной дефор-

мационыой ретракцией стянуть на пространство pt у (М — дМ) X X 1, и, обратно, дополнение к топке, лежащей внутри простран­ ства H n+r X ( — оо, 0) U ( — -/V) X [0, оо), и к (М — дМ) X 1 мож­ но сильной деформационной ретракцией стянуть на пространство Тѵ/Тѵ’ (см. рис. 1).

Отождествляя М/дМ с пространством (М X 1) U 00 в сфере 5"+г+1, можно дополнение к М/дМ сильной деформационной

ретракцией стянуть на подмножество N X 0 (J дЛг X [0, 2] U с, где с —конус над dN X 2 с вершиной в некоторой топке, послед­ няя координата которой больше двух, и N = N — (N |~| Дп+Г_1).

РИС. 1

РИС. 2

Ясно, пто это подмножество можно отождествить с пространством Тѵ. Аналогннным способом можно показать, пто дополнение к Тѵ сильной деформационной ретракцией стягивается на М/дМ (рис. 2).

З а м е п а н и е . Все деформации, унаствующие в доказатель­ стве теоремы, полупаются как радиальные деформации по направ­ лению к искомым топкам или в результате умножения на скаляр слоев нормального расслоения к многообразию М. Ш

Пусть В в С, как и выше, — иепересекающиеся множества

в Sh. Фиксируем топку р 0 в S k — (В (J С).

При стереографине-

ской проекции с центром в р 0 множества В

в С отображаются

в иепересекающиеся подмножества в R h. Рассмотрим отображение

/: В X С S h~1, задаваемое формулой / (b, с) = ..-Ь ~ с Пусть

Il ü 0 II

Ъи с — отмененные топки множеств В в С соответственно. Так как

f(B X- с)

(J f (b X

С) является собственным подмножеством сфе­

ры S ’1^1,

то отображение / с томностью до гомотопии разлагается

в композицию проекции В X

С В Д С и некоторого отобра­

жения f: В Д С

5 й-1.

 

 

 

Теперь можно определить гомоморфизм двойственности групп

Нѵ (В ; А.)

и

(С;

А)

следующим образом. Пусть

а Ç

Ç f-fp (В , А)

и a: S p+l

В Д А г — некоторый представитель

а .

Тогда композиция отображений

5р+іЛС — '-U В /\А і /\С

Sk- '/\A t -----

> А м _ ѵ

определяет элемент в группе # h-i-p(C; JL), обозначаемый через Da.

Л е м м а. Пустъ b Ç Б с

R h, где В —вложенный

в R k диск.

Тогда. H* (R h- b , R h —B\

JL)

=

0.

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

По

аксиоме вырезания

имеет место

изоморфизм H* (R h — b, R h —B;

А) = H* (Sh — b,

S h —B-, А).

Так как пространства Sk— b и Sh—В стягиваемы, то H* (S h—b) —

= Н* (Sh— В) = 0. Результат леммы следует теперь из точно­ сти когомологической последовательности пары (іSh—b, S h—В). ■

С л е д с т в и е .

Если В — диск,

вложенный в R h, то гомомор­

физм двойственности

 

 

 

 

 

D: Hv (Rh, Rh- B

; А.)

H h~v

(В;

А)

 

является изоморфизмом.

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Имеет место

коммутативная диаг­

рамма

 

 

 

 

 

 

Н „ ( R u — b, R h — B ) - Н „ ( R h, R h - B ) - H v ( R h , R h - b ) -

(R h — b , R h — B )

1

л

 

1

 

1

 

H h~P ( B , b)

I f b - P ( B ) --------9-

I I h~v (b) -------->

H h - p + 1

ô)

в которой крайние гомоморфизмы являются изоморфизмами, так как они связывают нулевые группы; гомоморфизм D" также, оче­ видно, является изморфизмом. Применяя теперь лемму о пяти изоморфизмах, получаем доказательство следствия. В

Т е о р е м а . (Двойственность Александера.) Для любой поли­ эдральной пары (В, В') в пространстве R h гомоморфизм двойствен­ ности

 

D: Нѵ (R h- B ', R h- B ; J.)-»-

(В, В JL)

 

является

изоморфизмом.

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Ввиду функториальности

гомомор­

физма D достаточно рассмотреть только случай, когда

В' = 0 .

В этом

случае, применяя

рассуждения

Майера — Виеториса,

легко провести доказательство, используя индукцию по числу клеток комплекса В, результат следствия и лемму о пяти изомор­ физмах. ■

Т е о р е м а .

(Двойственность Спеньера — Уайтхеда.) Для

любой пары двойственных

комплексов В , С a

S h гомоморфизм

двойственности

 

 

 

D: Н р(В -,А )-> Н к-1~р{С;А)

 

является изоморфизмом.

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Гомоморфизм D можно разложить

в следующую композицию

изоморфизмов:

 

Н Р(В; А ) ^ Н Г (,Sh — C\ А ) 2 - H p+1(Sh— c, Sh—С\ .4) Д

^ H p+i(Rh- с, Rh— С; Л) Л

Йь-ѵ-ЦС; А). ■

З а м е ч а н и е .

См. Спеньер [1], стр. 376.

 

Т е о р е м а . (Чанг и Уолл [1].) Класс а Ç Н г(Тѵ:; А) является ориентацией расслоения ѵ в смысле Дольда тогда и только тогда,

когда

класс

Я -1 (а) 6 Нп (М,

дМ; А)

является

А-ориентацией

в смысле Уайтхеда, т. е. для каждой

точки q 6 М — дМ класс

когомологий

в группе Нп (М,

дМ ; S), определяемый канонической

проекцией

М/дМ — Я"/<9ЯП, где Dn— шаровая окрестность точки

q, имеет

кронекеровское произведение с классом гомологий Я -1 (а),

равное

классу когомологий,

определяющему единицу в кольце

Щ pt;

JL).

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Отображение Я71

М — дМ, отож­

дествляющее диск Яп с окрестностью точки q, для которой опреде­ лена проекция МІдМ —>- DnidDn, очевидно, является двойствен­ ным, по теореме Атья, вложению TDn в Тѵ, но пространство TDn гомотопически эквивалентно пространству Тома слоя над точ­ кой q. ■

З а м е ч а н и е . Аналогично проекция

Sn+r Тѵ/Тѵ'

является двойственной отображению многообразия М в точку.

С л е д с т в и е . Если класс Тома U: Т В ->- А является А-ори­ ентацией, то для любого (В, /)-многообразия М п фундаментальный класс [М , дМ] 6 Нп (М, дМ; А) является A -ориентацией в смысле Уайтхеда.

Те о р е м а . (Двойственность Пуанкаре — Лефшеца.) Пусть

U:TJB —>- А — некоторая A -ориентация. Для любого (В, /)-мно­ гообразия М п имеют место изоморфизмы

Н9(М; А) -> Я п_5 (М, дМ- А),

Н9(М, дМ; А) Н п-д(М ; А),

задаваемые г\-умножением на фундаментальный класс [М, дМ] :

Смотрите также файлы