Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

в виде А[] (В X С), где А и В — многообразия с границей и С— замкнутое многообразие (дА ^ д (В X С)); граница такого объек­ та — многообразие А с представлением границы в виде dB X С.

З а м е ч а й е. Введены Суллпваном [1] при исследовании нм Hauptvermutung. Представление границы было названо им «вве­ дением особенности типа Съ. Результат последовательного введе­ ния особенностей опять может быть представлен как объект кате­ гории. Основным результатом является точная последовательность, связывающая теории кобордизмов до и после введения особенно­ стей. Особый интерес представляет случай, когда С состоит из п точек (С = Z,,) па ориентированных многообразиях, так как при этом получаются обычные кобордизмы с коэффициентами в Zn (в смысле теории гомологий с коэффициентами).

Наконец, существует пример категории кобордизма, построен­ ный не на пространствах. Ои показывает, в частности, что кобордизм не является специфическим понятием теории многообразий.

Пример 27. Кобордизмы алгебр с двойственностью: 9i\,: (alg).

Об ъ е к т ы. Пусть — категория, объектами которой явля­ ются семерки (II, ІГ , II", і, /, б, ц), где II и II' — конечномерные

(как векторные пространства над / 2) градуированные нестабиль­ ные левые алгебры (коммутативные с единицей) над алгеброй Стпнрода Н" — градуированный нестабильный левый А 2- модуль (конечной размерности над ЪІ) и I I '—модуль, такой, что

к обозначает размерность) — гомоморфизм векторных пространств,

О п р е д е л е н и е . Эта категория кобордизма изучалась Брауном и Петерсоном [1]. Ее объекты моделируют когомологии пар, состоящих из многообразия и его границы. Фактически функ­

ным, так как морфизмы в с6 имеют противоположное обычному направление.] Согласно Адамсу [2], существует классифицирую­ щая алгебра для характеристических классов, определенных через алгебру Стинрода (эта алгебра изоморфна алгебре Н * (ВО; Z2)). Браун H Петерсон показали, что функтор Н* индуцирует изомор­ физм групп кобордизмов (4).

В некоторых случаях, хотя и нет соответствующей теории кобордизмов в смысле категории кобордизма, существуют анало­ гичные отношения эквивалентности, считающие два многообразия эквивалентными, если они (совместно) являются границей некото­ рого многообразия с дополнительной структурой. Приведем два примера таких случаев.

П с е в д о п р и м е р 1. h-кобордизмы.

Два компактных многообразия V и V называются /г-кобор- даитными, если существует компактное многообразие W, такое, что dW = V( j V и оба многообразия V я V' являются деформаци­ онными ретрактами многообразия W; см. подробности этой теории в статье Милнора [12].

П с е в д о п р и м е р 2. Кобордизмы с векторными полями.

Два (ориентированных) замкнутых многообразия V я V называются эквивалентными, если существуют компактное (ори­ ентированное) многообразие И7, такое, что dW = EU (—V ), и невырожденное касательное векторное поле на W, которое опре­ деляется внутренними нормалями в точках V и внешними норма­ лями в точках V . Эта эквивалентность изучалась Рейнхартом [1], который ввел эти кобордизмы для того, чтобы сделать эйлеров класс инвариантом «кобордизма». В случае неориентированных многообразий два многообразия «кобордантны» тогда н только тогда, когда у них совпадают числа Штифеля — Уитни и эйлерова характеристика. В случае ориентированных многообразий два многообразия Ѵп и Ѵ'п «кобордантны» тогда и только тогда, когда у них совпадают числа Штифеля — Уитни и числа Понтрягина и, кроме того,

имеет четную эйлерову характеристику. (Это условие зависит только от многообразий V и V и не зависит от выбора W.)

В заключение следует подчеркнуть, что в обоих этих примерах дополнительная структура на многообразиях с границей не насле­ дуется при переходе на границу.

П р е д л о ж е н и е . Пустъ ç — локально тривиальное вектор­ ное расслоение над компактным хаусдорфовым пространством В.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть Г = Г (Е) —векторное про­ странство сечений расслоения Е. Рассмотрим отображение е: Г X X В — Е\ (s, b) s (b). Так как расслоение Е является локально тривиальным, то отображение е эпнморфно и для каждой тонки b Ç В существуют открытая окрестность Ub тонки b и конечно­ мерное подпространство F^cz; Г (натянутое на п сечений), такие, что отображение е\ Ѵь X ІІь ->■ р~х (Ub) энпморфио. Так как про­ странство В компактно, то среди окрестностей Ub можно выбрать конечное число окрестностей, покрывающих все В. Обозначим через F подпространство в Г, натянутое на подпространства Ѵъ, соответствующие этим выбранным окрестностям Ub. Тогда про­ странство F конечномерно и отображение е: V X В Е —эпи­ морфизм.

Зададим в пространстве F некоторое скалярное произведение (над К) и обозначим через Е1- ортогональное дополнение ядра отображения е. Тогда отображение е\Е±: Е^~ —у Е является изо­ морфизмом, и можно определить отображение і = (e|£j_)-1:

E ^ V X В. в

С л е д с т в и е . Локально тривиальное векторное расслоение над компактным хаусдорфовым пространством обладает римановой метрикой.

С л е д с т в и е . Локально тривиальное векторное расслоение Е над компактным хаусдорфовым пространством имеет обратное расслоение, т. е. такое расслоение rj, послойная прямая сумма кото­

ветствие подпространство i ( E b)cz V н тем самым определить отображение B->-Gn (V) пространства В в грассманово многообра­ зие тг-мерных плоскостей пространства V. Каноническое 77-мерное векторное расслоение над Gn (F) индуцирует с помощью этого отображения расслоение Е над В, поэтому оно является классифи­ цирующим отображением для расслоения Е-

Пусть Е = (В, Е, р, + , •) — локально тривиальное 77-мер­ ное К-векторное расслоение над конечным клеточным' комплек­ сом В. Введем следующие обозначения:

Р (5)—пространство одномерных подпространств слоев рас­ слоения Е (проективизация расслоения Е)>