Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

I (H)—пространство,

состоящее из

пар

(о, е),

где ст — одно­

мерное подпространство слоя и е—точка в этом под­

пространстве.

В , переводящее одномерное подпростран­

Отображение я: Р (£)

ство слоя р ~1

(b)

в точке

b в эту точку

Ь,

является проекцией

локально

тривиального

расслоения

со

слоем

« (п —^-мер­

ное» проективное

пространство

Р (п — 1)

над К.

Отображение

X: I (£) -»- P (|), переводящее пару (о, е) в о, является проекцией

одномерного /^-векторного расслоения

над

P (Е),

ограничение

которого

на

Рь(и —1) с

P (Е)

есть

в

точности

каноническое

р

лв

у

Ъ

в ■

В

и

У

У

1

b ----- >

В

* в

dim V — i

! dim V

r\\

. . ., а у

(ccy

= 0), причем:

ральных

последовательностей. Следовательно,

отображение

71— 1

Н* {В\ Л)-*-Н* {Р (Е)\ А), определенное той

же формулой,

0

і=0

также является изоморфизмом.

Требуемое соотношение получается из разложения элемента с11

по

базису

1, с, . .. ,

с71-1,

в

З а м е ч а н и я .

1.

Структура H* (Р (Е)\ А)

как алгебры

2. Класс

о (?) =

1

+ а, (?) +

■■■ +

ап (?) 6 Н* (В- А)

яв­

ляется

полным

«характеристическим»

классом

расслоения

В

разных случаях он

имеет

следующие

специальные

названия

и

обозначения:

Штифеля — Уитни

w (£).

a) К = ІЯ —класс

b) К = С— класс

Чжэня

с(?).

Понтрягина <^s (£).

c) К = Ц-1—симплектический класс

Т е о р е м а .

Полный

характеристический

класс о (?) 6

£ Н* (5;

*4)

обладает

следующими

свойствами:

1) Оі

(I) = 0,

если

і > dim

а 0 (?)

=

1;

е. если /: В' ->• В —

2) о (?) является функториалъным.,

т.

отображение

комплексов, то

а (/*?)

=

/*а

(?);

3) (формула для суммы Уитни). Если ? и

г) — два векторных

расслоения над пространством В , то о (? 0

ц) = а (?) и а (ц);

4) если I — каноническое линейное

расслоение

над

Р (У),

то

ai (I) =

аѵ.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Утверждение

1) вытекает

непосред­

ственно из определения. Для

доказательства

утверждения 2) рас­

смотрим коммутативную диаграмму

Р { Е ) ----- > Р (Ѵ х В )

N

/,

л

\

\ р ( Ѵ )

7Т

Р (!*Е)----- > PÇVX B Y

п

__

так что с'

=

/* (с) и, следовательно, 0 =

У, ( — 1)г с"г_7*л;*(огі(^))==

n

ï=Ô

~

Так

как

элементы

(с')1, і = 0, . . .

У, ( — I)7с,п-*п'* (f*Oi (I)).

і=0

образуют

свободный

базис,

то

мы

получаем,

что

. . ., n — 1,

о* (/*£) =

f*Q. (g). Для

доказательства утверждения 3) напомним

сначала,

что

£ (? © ц)

определяется

как

пространство {{х,

у) 6

6 Е (?) X

Е (т|) I Рі(х) = рц(у)}: и

поэтому

в нем существуют

сматривать пространства Р (Е)

и Р (р) как подпространства про­

странства Р (Е © р),

причем расслоение I (Е 0 р), ограниченное

на Р (Е),

совпадает с расслоением I (Е),

а ограниченное на Р (р) —

с расслоением I (р). Рассмотрим в jP (|

ф р) открытые подмноже­

ства

U — Р

0

р) — P (I)

и

V — Р (Е 0 р) — Р (р).

Тогда

Р (р) является деформационным ретрактом множества H, а Р (|)

—

деформационным ретрактом множества

V и Р (Е ф р) =

U ф

V.

Рассмотрим теперь класс когомологий из кольца Н* (Я(Е ф р); JL),

заданный

формулой

0 =

m-fn

2

n*(Gr(e)U0s(ll))==

2

( _

j=0

r-fs=j

n

m

=

{ S

( - 1 Y ^ n * (op(E))} ( S ( - ^ ^ " - ^ ( ^ ( р ) ) } .

j=0

ft=0

[Если

K = DI,

то

знаки не

имеют

значения, тогда как для

К ф К

размерность dim^A —четное число, и поэтому элементы сѵ

П

и, следовательно, в нуль группы Я* (У; А),

поэтому 0j является

образом некоторого элемента из Я * (Р (|ф

р), У; А). Аналогично

771

(— l)ft cm~kn* (Os (р)) является образом некоторого элемента

Ѳ2=

2

й—О

из Н* {Р (Е Ф р), U; Л), и, следовательно, Ѳ= Ѳ,Ѳ2 является образом

элемента изЯ* (Р (Е©р), U[)Ѵ; А)=Н*(Р (Е©р), Р (Ефр); Н )= 0 х).

Так

как

элемент 0 равен нулю,

то он дает соотношение в коль­

це Я*(Р(Е©р); А), и, следовательно, ор(£фр) =

2 оу (£) u as (p).

Докажем

утверждение

4). Пусть

| = (Я, Е,

р,

r + s = j

-f-, •)—некоторое

линейное

расслоение.

Так

как

Еь—одномерное пространство,

то существует

только

одно одномерное подпространство в каж­

дом

слое

и,

следовательно,

я :Р(Е)-*-В

является гомеомор­

физмом, а расслоение I (Е ) совпадает с Е. Соотношение в кольце

Я* (Р (Я); А) имееттогда вид с—я* (ор (£)) = 0,

где я —тождест­

венное

отображение и

ор (Е) = І* (аѵ), гДе

/ : В -+ Р (Ѵ )—класси­

фицирующее отображение расслоения Е.

в

П р е д л о ж е н и е .

Если

£ — тривиальное

расслоение, то

Оі (£) =

0 для і > 0. Следовательно, если £ и г| — стабильно экви­

валентные расслоения, 7по а (|)

=

а (ц).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так

как

каждое тривиальное рас­

слоение

индуцируется

отображением

в точку,

то

достаточно,

по функториальности, доказать, что о,

(£) = 0, і

> 0 ,

для триви­

H* (Р (Кп)-,

.Л), очевидно, имеет

место

соотношение а,”кП) = 0,

и, следовательно,

ог- (£) = 0,

если і > 0 .

© оре^

Если £иг| — стабильно эквивалентные расслоения, то |

SË ц ф <Р для некоторых тривиальных расслоений о р и о ч. Сле­

довательно,

а (?)

= а (|) T

=

а (Ê 0

°р) = а (г) 0

°ч) =

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Положим В 0 = В, Е 0 = Е и пред­

положим, что для і ^

к

определены пространства В ь отображе­

ния / г: В і

5 г_і и расслоения E t над B h

такие, что /* (Et_() ^

^ Еі <g li,

где

lt — линейное расслоение

и /*: Н* (B t_p,

А)

->■ Н* (Вр,

А)

— мономорфизм. Обозначим через B k+l простран­

ство P (Ей)

и

через

/й+1 — проекцию расслоения P (Eh)

Вк-

Расслоение / |+1 (Eh) имеет

риманову

метрику,

индуцированную

метрикой расслоения

Е,

и

I (Ек) а

f*,+i (Ек).

Обозначим

через

В' = Вп - 1

и / = /і° .

•

• °/п-і> т0 отображение /* в когомологиях,

очевидно,

является

мономорфизмом,

тогда как расслоение /* (Е)

расщепляется в сумму линейных расслоений Еп^\, I (Еп_2) —

=^Іп-і и ( / ,» ... °/„_

для 1 <

і < п —2. Н