ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 127
Скачиваний: 0
класс сті для канонического линейного расслоения, можно опреде лить класс а (!), где § — любое линейное расслоение. Используя функториальность, формулу для суммы Уитни и лемму о расщеп
лении, легко показать, что класс а (!) определен |
для всех |, |
если он известен для линейных расслоений. |
расслоений, |
2. Если ! = Іі ® . . . ф Іп— сумма линейных |
п
то сг (?) = Г] (1 -г Ü1 (іі)), поэтому класс oj (!) является ;'-й эле- І—1
ментарной симметрической функцией от к-мерных когомологиче ских классов сті (Іі). Лемма о расщеплении позволяет рассматри вать классы Oj (!) как /-е элементарные симметрические функции от (формальных) классов размерности к, когда ! — произвольное векторное расслоение.
Пространства Тома |
|
|
Пусть ! = (В, Е, р, + , |
•) — векторное расслоение с рима- |
|
новой метрикой, индуцированной метрикой в пространстве |
F; |
|
обозначим через D (!) расслоение со слоем диск {е £ Е | || е || ^ |
1} |
|
и через S (!)— расслоение |
со слоем сфера (е в Е I ||е || = |
1}. |
Рассмотрим отображение cp: D (!)-»- Р (! ® 1), переводящее век тор ех в одномерное подпространство пространства (Е X К)х,
порожденное вектором ех — [1 —1| ||2]1/2 • 1 ж, где, как и прежде, мы рассматриваем пространства расслоений ! и 1 как подпростран
ства |
пространства расслоения ! ® 1. Отображение ср |
устанавли |
|
вает |
гомеоморфизм подпространства D (!) — S ( ! ) с |
D (!) |
с под |
пространством Р (! ф 1) — Р (!) с: Р(!®1) и отображает |
S (!) |
||
на Р (!) обычной проекцией. Таким образом, отображение ф определяет гомеоморфизм пространства Тома расслоения ! с про странством Р (! ® 1)/Р (!).
Т е о р е м а. В когомологиях с A -коэффициентами существует точная последовательность
О<-Н*(Р (!); Л)-£-Н* (Р (! © 1); А)<2-Ё*(П \ Л )< -0 , где образом гомоморфизма ß является идеал, порожденный классом
ü = j \ ( - l)n-j |
(оJ (!)) 6 н т (P (! ® 1); Л ). |
і=о |
Имеет место точная последователь |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
ность |
|
Я* (Р (!); А ) |
— Я* (Р (! © 1); А) |
\ |
|
Я* (Р (! ф 1), Р (!); А)
? іі
я * ІП; А )
и так как ограничение расслоения I (£ © 1) |
на Р (£) совпадает |
с I (I), то гомоморфизм а является эпиморфизмом, что превращает |
|
точную последовательность пары (Р ( | © 1), |
Р (£)) в требуемую |
короткую точную последовательность. Класс U, очевидно, при надлежит ядру гомоморфизма а (так как он отображается в опре деляющее соотношение кольца Н* (Р (£); Л)). [Соотношение
cl7 = 0 является определяющим соотношением в кольце
H* (Р 0 1); Л)-] Легко проверить также, что элемент U поро ждает ker а как II* (В; Л)-модуль.ш
Обозначим через U класс ß-1 (U) g ІПП{Т^\ Л.). Класс U, очевидно, функториален относительно отображений расслоений, и его ограничение на слой расслоения | является образующим і
H* (pt; Л)-модуля |
H* (S Kn; Л). |
[Это |
ограничение дает |
класс |
|
U = |
(— 1)"а" 6 Нкп (Р (Кп+*); А ), который отображается |
в эле |
|||
мент |
I 6 Н*п (5м1; |
JL).] |
|
|
|
Следует также отметить, что класс U мультипликативен в том |
|||||
смысле, что U (£ ® ц) = U (£) u |
U (ц), |
где формула имеет смысл, |
|||
так как пространство Тома Т (£ © ц) гомеоморфно пространству Т (£) Д Т (ц). Это непосредственно следует из формулы для суммы Уитни.
Для вычислений, связанных с пространствами Тома, полезно
иметь следующее |
|
|
|
|
П р е д л о ж е н и е , |
a) U u U = п* (сг„ (Q)uU = |
Фи (сгп (£)), |
||
где Фи — изоморфизм |
Тома, |
определенный классом |
U. |
|
Ь) Если і: В |
T (I) — отображение, задаваемое нулевым сече |
|||
нием расслоения \, то i*U = |
ап (ё). |
|
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Для доказательства утверждения а) |
|||
заметим, ч т о \ J |
U — 2 (— T)n~j сп~Ы* (oj (|)) U, |
no cÜ = 0, |
||
поэтому UVJU = it* (an (£)) U U. Для доказательства утвержде ния b) рассмотрим коммутативную диаграмму
JP (|© |
1)----- > P ( V X K ) X B |
А |
/ |
ЯS
• |
Y |
В -------------------- |
>В |
+ Р { Ѵ х К )
А
S Я
Y ■» pt
из |
которой следует s*j*aVxK = s*c = 0 для сечения, |
определен |
||
ного |
для |
точки pt как отображение в точку, Р (К) с |
Р (У X К) |
|
и |
<хк |
= |
ajc = 0. Таким образом, i*U = s*U = s*rc* (ап (|)) = |
|
=стп (!)• и
Пр е д л о ж е н и е . Пустъ V — векторное пространство над К и I P (F) — каноническое линейное расслоение. Тогда простран
ство |
Тома расслоения I можно отождествитъ с пространством |
|
P (V |
X К), і)іак что вложение нулевого сечения P (F) |
P (У X К) |
будет совпадать со стандартным отображением, заданным вложе
нием векторных пространств V |
V X К. При этом класс Тома |
||||||||||||
U отождествляется с классом а. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Рассмотрим проекцию л: P (I ф 1)->- |
||||||||||||
—*- Р (У). Расслоение |
I (I ® 1) является подрасслоением расслое |
||||||||||||
ния л* (I ф |
1) = л* (Г) ® 1. |
Обозначим ортогональное дополне |
|||||||||||
ние к расслоению I (I © 1) через о. Точка р Ç P |
(I ф 1) представ |
||||||||||||
ляет собой одномерное подпространство в У X К, лежащее в про |
|||||||||||||
странстве л (р) X К, и ортогональное дополнение р і- к подпростра |
|||||||||||||
нству |
р |
в |
л (р) X К |
является одномерным |
подпространством |
||||||||
в У X К. |
Соответствие |
р — р-1- |
определяет |
отображение |
/: |
||||||||
P {I Ѳ 1) -*■ Р (УХ К), при котором каноническое расслоение инду |
|||||||||||||
цирует расслоение о. Если р Ç P (I) с |
P (I ф 1), то p-L является |
||||||||||||
одномерным |
подпространством К, |
и |
поэтому |
все пространство |
|||||||||
P (I) отображается в точку Р (К). |
Таким |
образом, отображе |
|||||||||||
ние |
/ |
индуцирует |
отображение |
/: Т (Г) -+■ Р (У X К). |
Пусть |
||||||||
|Л Ç (Р (У X К) — Р (/!)) |
и q — точка в Р(1 © 1), заданная |
одно |
|||||||||||
мерным |
подпространством, |
ортогональным |
подпространству |
р |
|||||||||
в пространстве р + |
К\ тогда / (q) = |
р. Таким образом, отображе |
|||||||||||
ние/ является гомеоморфизмом. Если х £ Р (У), то ф (0Х) является одномерным подпространством, порожденным подпространством
К в X X К, поэтому ср (0К)^= X . Следовательно, ограничение ото
бражения / на |
нулевое сечение |
|
в |
Р (У X К). |
Наконец, |
совпадает с вложением Р (У) /* (а) ==Оі (а) и oj (а) =
= сгі (л* (I) © 1 — I (I © 1)) = л* (а) — с — U, и потому а = U. Я
Когомологии многообразий Грассмана
Пусть Gn, T — многообразие Грассмана тг-мерных плоскостей в К п+Г. Над многообразием Gn, r существуют расслоения у? (точ кой расслоения у? является пара: 7г-мерная плоскость и точка в ней)
иуг (точкой расслоения у" является пара: ?і-мерная плоскость
иточка, лежащая в ортогональной г-мерной плоскости), такие, что
расслоение у" 0 у? тривиально. Следовательно, определены клас
сы когомологий 0 7 = О; (у?) 6 |
(&п, г!_А) и Оі = Оі (у?) 6 |
6 Н кі (Gn, r; A), связанные равенством u u a = 1.
П р е д л о ж е н и е . Кольцо H* (Gn, r; A) изоморфно факторкольцу кольца полиномов над H* (pt; JL) от образующих о;,
і п, по идеалу, порожденному элементами о7- для і > г.
[Элемент ст;- является полиномом степени / от элементов а,-, опре-
деляемым из соотношения 1 + У, аг =
Д о к а з а т е л ь с т в о , Очевидно, существует отображение описанного выше факторкольца в кольцо /f*(Gn, r; А). Доказа тельство того, что это отображение является изоморфизмом, про ведем индукцией по п. Если п = 1, то Gj. г — Р (Кг+1), и, следо вательно, кольцо //* (Gi, г; А) порождается элементом а — cri
с соотношением |
а '+1 = 0 , |
но |
а = 1—а -|-а 2 — . . . + (—1)га'--г |
-(- (—1)г+1а г+1 + |
. . ., и |
поэтому все соотношения можно пере |
|
писать в виде Oj = 0, где j > |
г. |
||
Допустим, что изоморфизм уже доказан для всех Gn, г с п <С s. Рассмотрим многообразие Gs,/. Точка в P (yf) является одномер ным подпространством а в s-мерной плоскости р. Ортогональным дополнением к а в р является (s— 1)-мерная плоскость а-Ц т. е. точка многообразия Gs_i, ,+1. Таким образом, построено отображе
ние Р (yf) |
Gs_i, /+і, при котором точки |
пространства |
P (yf), |
переходящие |
в данную точку v Ç Gs_b (+1, |
представляют |
собой |
в точности одномерные подпространства, ортогональные к плоско сти v. Таким образом, пространство Р (уf) можно отождествить
с пространством Р (уі+І), получив диаграмму
Положим I - Z(yt) = Дуі+І); тогда л* (yf) _= \ |
ф I и л* (yî+J) --= I ® г), |
||||
где | © 1 © ц—тривиальное |
расслоение. |
Замечая теперь, |
что |
||
с = аі (1 ) 1 |
получаем, что соотношение |
У]( — 1 )гсэ~гя* (Оі(у!)) = 0 |
|||
совпадает |
с соотношением |
ог5(^) = 0. |
Рассматривая Р (у®) |
как |
|
пространство расслоения над Gs_ll/+1, получаем, что кольцо Н*(Р(уі);А) порождается характеристическими классами рас слоений I, I и т], которые связаны только соотношениями, нало женными размерностями расслоений |, I и т) и тем, что их сумма тривиальна. Рассматривая Р( yf) опять как пространство рас слоения над Gs, t, получаем, что кольцо H*(Gs, t; Л) порождается характеристическими классами расслоения yf, которые связаны только соотношениями, наложенными размерностью расслое
ния yf. Это завершает шаг индукции, я
Используя Вп = Ііш Gn, т, В — lim Вп и обратный предел колец
когомологий (именно эти объекты связаны с характеристическим it числами), мы получаем