Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

как

сферу

= {и G К п+1 | | и | = 1 } ,

профакторизованную-

по

действию

сферы S K~i = {< GК | | t | =

1}. Отождествим про­

странство

касательного

расслоения

к

$ кп+к-і

с

пространством

{(и,

v) GІГ1+1 X Кп+1 II и I = 1 , Re

(и,

н) = 0}. Тогда пространство

расслоения

я*т,

индуцированного

касательным

расслоением

к KP (п) при проекции л: s t,n+ ti~ 1

/{р (п^

можно отождествить

с пространством

касательных

векторов

{и, ѵ),

ортогональных

к орбитам действия групп S K~ \

т. е. векторов (и, ѵ),

где {и, ѵ) = 0 .

На

этом

пространстве

действует

поле

К

по формуле s {и,

ѵ) =

= (и, su),

превращая

его в

пространство

Ä-векторного

рас­

слоения.

Факторпространство пространства расслоения я*т по действию

довательно,

Е (т) можно

представить

как

пространство пар

(и,

v) G Kn+1

X К п+1, где

I и I =

1, {и,

v) =

0, в котором пары

{и,

v) отождествлены с парами {tu,

tv) для всех t G SK~i. Так как

Пусть с: P { V ) P (V)—отображение, индуцированное

ком­

плексным сопряжением в V. Пространство расслоения с* {!.)

= £

можно отождествить с пространством пар {х, s) G K n+1 X К,

где

I X I =

1, в котором пара (х, s) считается равной паре {tx, ts)

для

всех i

G 5 Ь-1. [Пара (х, s) представляет собой точку расслоения

отображении с.] Пространство расслоения {п +

1) | можно отож­

дествить тогда с пространством пар {и, v) G K n+1

X К п+1, \ и | = 1 ,

в котором пара {и, ѵ) считается равной паре {tu, tv) для всех t G S

и в

котором

умножение на скаляр s GК задается формулой

s {и,

ѵ) = {и,

sv). Таким образом, касательное расслоение т можно

Л е м м а. а"

[KP (га)] =

( - 1)" 6 Я 0 (pt; Л).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Имеет место диаграмма

£Г+7іП

(г

а11AU

\

Тѵ — U

(KP (га)/0 ) А Тѵ

А

г

h.\l

1

1\

\

smд Тѵ

(-П’Чдп

А

1Ч\

/'(-1)'4.\L

<гв (т)[£Я(га)] =

( к -\- 1 \

/ га -f-1 \

^ ^

] . . . ^

и

jeiT°( Р И И ),

где

со

= (А, • • -,

іТ) — разбиение

числа

га

и ств = щ

. . . о

Кроме того, имеет место формула

S in) (а (т))

[KP (га)]

=

га

+

1.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

с:

KP (п)-*-КР (п) — отображе­

ние,

определенное

комплексным

сопряжением в Кп+1.

Имеем

с* (а) == —а + У] аіа 1

и а (т) = (1 -f е*а)"+1. Таким образом,

(т) =

і^2

/ га + 1 \

и і5(п) (а (т)) =

(га-)-1) с* (а)п. Так

как

( ^

I с* (а)"

а'1+1 —0,

то с* (а)™ =

(—а)п= ( — 1)п а"

и

{с* (ос))71 [KP (га)] =

1. Я

=

Если

га (со) >га,

то аш(т) ШР (7г)] = 0, так как {с* (а)}п+1 =

0.

Для га (со) <

га трудность вычисления

характеристических

чисел

заключается

в вычислении

значения класса ак на

фунда­

М с характеристическим классом

а (р) = 1 + 0, 0 £ Н к (Мп\ J ) .

Рассмотрим отображение /: М ->■ KP (N ) для некоторого N,

такое, что /* (|) =

р. Деформируя /, если это необходимо, можно

предположить, что

отображение

/ трансверсально регулярно

на подмногообразии KP (N — 1).

Тогда L = / -1 (KP (N — 1)) с:

расслоением подмногообразия KP (N — 1 )с

KP (N ) (т. е. рас­

слоением £ |л'р<х-і>)>

и,

следовательно,

нормальное расслоение

L в М совпадает с расслоением р | L.

L допу­

Стабильное нормальное расслоение vL многообразия

скает

(В, /)-структуру,

отождествляющую

его с расслоением

і* (р © V м), где

і — вложение многообразия L в М . Таким обра­

зом,

а (ѵь) — (1 + і*Ѳ) і*(а (ѵм)) или a(xL) =

і*ст(тм)/(1 + і*0).

Пусть X Ç II*

(L;

Н) — такой класс, что х

= і*у для некото­

рого

у б Н* (М;

А)

(например, ^-характеристический

класс).

Вычислим X [L] Ç H* (pt;

JL). Вложение

многообразия M

в R n+r

Sn+r— U. 7ѵл,

\

J

с' \ і/я

TvL

Число X [L] представляется композицией отображений

Вп+Г

> TVL “ » (L/0 ) /\Тѵьс —>(Ы 0 ) ДТр Д Д Гѵм \L.ІЛГ/^ Г->

- + ( М / 0 ) / \ П \ крік- і>Л

Тѵм yhU^u>A Д А д A ^ U A ,

но диаграмма

М — U

KP(N)

Яі V

IЛ-2