ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 134
Скачиваний: 0
1/2 6 S.
Д о к а з а т е л ь с т в о . UKJU = ( — 1) dim ü U \jU . в
Л е м м a. Если ориентированное расслоение | является веще ственной формой комплексного п-мерного векторного расслоения а, то е {I) = сп (со).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим, что проективное пространство СР (У) имеет правильные целочисленные когомоло гии (это будет проверено позднее, см. стр. 107). Тогда классы ориентаций, построенные отдельно для ориентированных расслое ний и комплексных расслоений; совпадают ввиду их единствен ности, и, следовательно, образы этих классов при гомоморфизме, определяемом нулевым сечением, также совпадают, в
Произведение классов ориентаций ориентированных расслое ний является классом ориентаций суммы Уитии этих расслоений. Используя опять единственность класса ориентации расслоения, получаем следующее утверждение:
Л е м м а . Эйлеров класс суммы Уитни ориентированных рас слоений является произведением эйлеровых классов этих расслоений.
С л е д с т в и е . Если t — ориентированное ïn -мерное вектор ное расслоение, то е (£)2 = (рп (£).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть е1: . . ., <?2 п —упорядочен ный базис слоя над точкой Ъ, определяющий ориентацию; тогда слой расслоения £ 0 Е имеет каноническую ориентацию, заданную базисом (еь 0), . . ., (е2 П, 0), (0, ej), . . ., (0, е%п), а слой рассло ения £ ® С имеет каноническую ориентацию, заданную базпсом
(elt |
0), (0, |
е1), . . ., (егп7 0), (0, ег«). Таким образом, имеет место |
|||||
изоморфизм |
Ê <g>С |
(—1)” (I |
0 |
£) ориентированных |
расслое |
||
ний |
(где |
коэффициент |
(—1)п |
объясняется сделанной |
п (2п — 1) |
||
раз переменой знака). Поэтому |
|
|
|
||||
|
Ш = |
( - l ) ncan(Ê ® С) = |
(— 1)” е (g ®С) = а (£ © ё) = |
||||
= е (ё)2. В
О п р е д е л е н и е . Многообразием Gn, г называется многооб разие Грассмана ориентированных «-мерных плоскостей в В п+Г, т. е. многообразие пар, состоящих из «-мерных плоскостей в і?п+г и ориентаций этих плоскостей. (Эквивалентно, многообразием
Gn,r называется расслоение сфер детерминанта расслоения у?.)
Предельное пространство BSOn = limGn,T- представляет собой
Г —ю с
классифицирующее пространство для ориентированных «-мерных векторных расслоений. Пространство BSOn совпадает с расслое нием сфер детерминанта расслоения у11 над ВОп. При проекции
BSOn -V ВОп расслоение у11 индуцирует над BSOn универсальное ориентированное расслоение уп.
П р е д л о ж е н и е . Пустъ |
S — коммутативное кольцо, |
||||
содержащее 1/2. Тогда H* (BSOn; |
S) является кольцом полиномов |
||||
над S от образующих |
|
|
|
|
|
|
|
|
для |
п = 2к + і, |
|
Wi, . • -, iipfc-i, |
е (уп) |
|
для |
п = 2 к\ |
|
в последнем случае <^h = e(yn)2, где |
$>,- — классы |
Понтрягина |
|||
Чрі (уп) расслоения уп. |
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть |
h: BU[nß] |
BSOn — отоб |
||
ражение, полученное путем забывания комплексной структуры. Характеристические классы, описанные в формулировке предло жения, при гомоморфизме h* отображаются в алгебраически неза висимые элементы кольца H* (BU[n/2у, S ), и, следовательно, кольцо H* (BSOn; S) содержит требуемое полиномиальное под кольцо. Оставшуюся пасть доказательства проведем с помощью индукции по п.
Для п — 1 пространство BSOi является двулистным накры тием пространства R.P (оо), т. е. является бесконечномерной сфе рой, и поэтому оно стягиваемо.
Для п = 2 ориентированное /г-мерное векторное расслоение имеет структуру комплексного линейного расслоения. Действи тельно, если V — ориентированная 2-мерная плоскость с ориента цией о и V Ç V, то существует единственный вектор w 6 V, \ w \ —
= I V I, ортогональный |
к вектору ѵ, такой, что ѵ [\ w = ко, |
||||
где к ;> 0 (к = |
\ ѵ |2). |
— |
Положим w — іѵ. |
Так как |
w Д ѵ = |
— — V Д w, то |
і2 = |
1. Очевидно, что |
ориентация, |
заданная |
|
комплексной структурой, определяет исходную комплексную
структуру. |
Таким |
образом, B S 0 2 — BU\ и Н* (B S 0 2; S) = |
— S [е (у2)] = |
S [cj. |
шага индукции рассмотрим корасслоение |
Для проведения |
||
S(yn) ^ D ( r ) - + T ~ n’
Точка пространства S (уп) представляет собой ненулевой вектор в ориентированной n-мерной плоскости, ортогональным дополне нием к которому является (п — 1)-мерная ориентированная плос
кость. Это определяет расслоение S (уп) -v BSOn_i со слоем бес конечномерная сфера. Расслоение над S (у71), индуцированное рас слоением уп, имеет сечение, с учетом которого его можно предста вить в виде у71-1 © 1. Проекция и нулевое сечение расслоения D (у") -*• BSOn являются гомотопическими эквивалентностями
пространств BSOn и D (уп). Таким образом, точная последователь ность пары (D (у’1), S (у11)) приводит к точной последовательности)
П |
ï |
Я* (S (у11)) ч- Я* (D (уп)) ч- Я* ( îÿ )
91 |
91 |
І ф |
H* (BSOn-j) J - |
H*{BSOn) ^ |
H*(BSOn) |
I____________-_____________ t
где Ф — изоморфизм Тома. Гомоморфизм а имеет степень п, и так
как пространство BSOn отождествляется с пространством D (у11) при помощи нулевого сечения, то а является умножением на эйле
ров класс. Гомоморфизм Ъ переводит f i (уп) в f ; (у”-1), так как
расслоение у 11 индуцирует расслоение у"-1 ® 1. Вычисления, необходимые для шага индукции, проводятся теперь непосред
ственно, |
давая |
точную последовательность (п |
= |
2к) |
|
|||||||||
|
О |
ч- |
£ [fi, • • •, fh-i] |
■<- S [f1; . . ., f fc_,, |
Хе |
|
||||||||
|
е] ч---- |
|
||||||||||||
|
|
|
|
-«— |
s [fl, |
...,fft- i,e ] ч- |
О, |
|
|
|||||
из которой равенство для H*(BSOn) |
доказывается индукцией, |
|||||||||||||
по размерности, |
и точную последовательность (п = 2 к-\-і) |
|||||||||||||
O ^ S |
[f ь |
. . ., fft] ч- |
S [f j, |
. .., |
|
|
e] 4- |
S [f4, • • •, ffc] 4- 0. |
||||||
Из того |
что |
е(у") = 0, |
следует, |
что |
« = 0, |
поэтому H*(BSOn) |
||||||||
является |
подкольцом кольца |
Я* (BSOn_і), |
содержащим |
кольцо |
||||||||||
S [fi, • ■■, f h], |
и |
равенство |
для |
H*(BSOn) |
вытекает |
из срав |
||||||||
нения рангов над S, так как |
S [fi, ...,f ? ;_j,e] |
является |
свобод |
|||||||||||
ным S [fi, . . ., f hj-модулем |
с образующими |
1 |
и |
е. ■ |
|
|||||||||
П р е д л о ж е н и е . |
Яустъ S — коммутативное кольцо, со |
|||||||||||||
держащее 1/2. |
Тогда Я* (ВОп; S) |
является кольцом полиномов над |
||||||||||||
S от классов Яонтрягина |
f b 1 ^ |
i ^ |
[ni2]. |
|
|
|
||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
BSOn является |
двулистным накры |
||||||||||||
тием пространства ВОп, поэтому H* (ВОп\ S) можно отождест вить с подкольцом кольца H* (BSOn\ S), состоящим из классов когомологий, неподвижных при гомоморфизме, индуцированном отображением х: BSOn BSOn, переставляющим листы накры тия. Доказательство предложения следует из того, что х* (f t) =
= f і (класс £рг является образом класса из Я* |
(ВОп; S )), тогда как |
|||
X * (е (уп)) = |
е (х* (у71)) = —е (у"), |
так как |
расслоение |
х* (у") |
есть в точности расслоение уп с обратной ориентацией. ■ |
слоем |
|||
З а м е ч а н и е . В расслоении |
я: ВОп_і^>-ВОп со |
|||
S"-1, где ВОп - 1 отождествлено с S (у"), фундаментальная группа |
||||
Яі (ВОп) = |
действует нетривиально на когомологиях слоя. |
|||
ГЛАВА VI
НЕОРИЕНТИРОВАННЫЕ
КОБОРДИЗМЫ
Во многих отношениях наиболее интересной теорией кобордизмов являются неориентированные кобордизмы, т. е. теория кобордизмов, связанная с категорией (3), д, і) всех компактных глад ких многообразий. Для нас эта теория представляет интерес еще и потому, что проведенное Томом [2] вычисление кольца кобордизмов неориентированных многообразий иллюстрирует в основном все методы, связанные с классификационными задачами теорий кобордизмов, не затемняя их чрезмерными техническими труд ностями.
Заметим сначала, что полугруппа кобордизмов Q (3), д, і) разлагается в прямую сумму полугрупп (3>, д, і), где п указы вает на размерность многообразий. Эти полугруппы обозначаются обычно через 9ІП, а прямая сумма их обозначается через 9Î*. Пер вой структурной теоремой является следующее
П р е д л о ж е н и е . 91„ есть абелева группа, в которой каж дый элемент имеет порядок 2; 91* является градуированным ком мутативным кольцом, умножение в котором индуцировано пря мым произведением многообразий, с единицей, заданной классом кобордизмов точки.
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Для |
любого |
замкнутого многообра |
|||
зия М имеет место равенство М |
М + д 0 |
^ 0 + д (М X /), где |
|||||
I = [0, 1], поэтому класс кобордизмов многообразия М является |
|||||||
обратным к самому себе. Если М, N\ и уѴ2 — замкнутые многооб |
|||||||
разия, Ni == N 2, скажем Ni + dû\ ^ |
N 2 |
+ dU2, то М |
X N і + |
||||
+ |
д (М X Ui) sz М X ІѴ2 + |
д (М X |
U2), |
поэтому М |
X N t == |
||
= |
М |
X N 2. Кроме того, М |
X (Ni + |
N 2) |
М X iVt + |
М X N 2 |
|
и М |
X N si N X М. Таким образом, прямое произведение мно |
||||||
гообразий индуцирует в группе |
9J* структуру градуированного |
||||||
коммутативного кольца. Если р — точка, т о М Х р ^ р Х Ж ^ ^ М , поэтому класс кобордизмов точки р является единицей кольца 9£*. ■
Следующий стандартный шаг — заменить задачу кобордизмов гомотопической задачей. Это можно сделать для неориентирован ных кобордизмов описанной выше конструкцией, так как каждое многообразие имеет единственную (ВО, 1)-структуру (1 обозна-