Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

2. Теорему можно доказать, как это сделал Том, показав, что элементы S aU для всех недиадических разбиений со образуют

базис ^-м од уля#* (ТВ О] Z 2) (см. также Уолл [1], стр. 301—302). Так как желательно иметь явные конструкции образующих, то здесь будет приведено не прямое доказательство, разбитое на ряд лемм. Фактически это и будет доказательством того, что указан­ ные элементы SaU образуют базис над

Л е м м а. Допустим, что существуют многообразия М г раз­ мерности і (і ф 2s — 1), такие, что S {i) (w (ѵ)) [М1] ф 0. Тогда кольцо 9Î* является кольцом полиномов от классов кобордизмов многообразий М г. Если многообразия N* (і ф 2s — 1) также дают

систему образующих, то S U) (w (v)) [N1] ф 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Полное упорядочение множества недиадических разбиений числа п относительно порядка •< согла­ суется с частичным упорядочением, согласно которому со<со',

разбиения со. Таким образом, матрица треугольная, и так как Sa (w (ѵ)) [МД ф 0, то все ее диагональные элементы равны еди­ нице (в Z2). Таким образом, многообразия М а линейно независи­ мы над Z2. Из сравнения размерностей '£2-векторных пространств следует, что эти многообразия для всех п образуют базис групп 3>п, который соответствует полиномиальной структуре кольца \)Д.

са [ЛЯ. Таким образом, класс [ЛЯ является гомотопическим инва­ риантом многообразия ЛЯ]

Когомологическая операция Sgh определяет гомоморфизм

сом By многообразия ЛЯ Полезно ввести полную операцию Стин-

иметь следующие несколько свойств полной операции Стинрода.

пенной ряд, начинающийся с 1, можно обратить ряд Sg, опреде­ лив операцию 5g"1. Из размерностных соображений следует, что Бдгх = 0, если і > 0 , и Sg°x = х для элемента х £ Я* (Я1; Z2), т. е. для X £ H* (Sn; Z2) имеет место формула Sgx — ,г. (В терми­ нологии Атья и Хирцебруха Sg есть когомологический автомор­ физм.)

Для установления связи класса By с характеристическими классами необходим следующий результат Тома [1]:

Т е о р е м а . Пустъ U £ Н г (ТВОТ; Z2) — класс Тома. Тогда

является і-й элементарной симметрической функцией от хр, умноженной на Х\ . . . х т. Следовательно, SglU = (я*wt) U U. в

Докажем теперь следующий результат By [1]:

В частности, характеристические классы Штифеля — Уитни являются гомотопическими инвариантами, а класс By является характеристическим классом. Если класс Штифеля — Уитни

Д о к а з а т е л ь с т в о . Положим w = Sqv. Пусть w (v) — нормальный класс Штифеля — Уитни многообразия М, U £

6 Н* (Tv; Z2)— класс Тома и с: Sn+r-*-Tv— каноническая проек­ ция, заданная вложением М а В п+г. Рассмотрим произвольный элемент у£Н*(М ; Z2) и обозначим через х£Н*(М ; Z2) элемент

Sq~hy, т. е. у = Sqx. Тогда,

у -w-ю (у) [М] = с* (я* (yww (v)) U) [iSn+r] =

=с* (Sq (xvU)) [5n+r] =

=Sqc* (xvU) [Sn+r] =

=c* (xvU) [S',+r] =

=(x Kj v) [M\ —

=(Sqx) [M] =

=y Ш].

Так как это равенство выполняется для всех у £ H * (М; Z2), то из двойственного спаривания следует, что w-w (ѵ) = 4. Посколь­

ку w (т) w (ѵ) = 1, это дает формулу w — w (т). Так как [М\ и Sq являются гомотопическими инвариантами, то и ID ( т ) = Sqv — также гомотопический инвариант. Наконец, класс v — Sq~hv задается универсальным классом Штифеля — Уитни w £ £ Н* (ВО; Z2) и поэтому является характеристическим классом. Формула для одномерных классов следует из того, что

со со

Уитни замкнутых п-мерных гладких многообразий задаются соотношениями By, т. е. если ср: Н п (ВО; Z2) Z2 — гомомор­ физм, то тогда и только тогда существует п-мерное замкнутое