ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 143
Скачиваний: 0
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Согласно |
теореме |
By, т* (Sqb + |
||
+ vb) IM] |
= 0, так что условие cp (Sqb -|- vb) = |
0 |
необходимо. |
||
Докажем |
его достаточность. |
Пусть |
%: ВО ->• ВО |
— отображе |
|
ние, классифицирующее расслоение, обратное к универсаль ному расслоению (для любого многообразия М отображение %°т является классифицирующим для нормального расслоения).
Рассмотрим гомоморфизм р = ф°%*°Ф-1: Н п (Т В О ; Z2) Z2, где Ф — гомоморфизм Тома. Из вычисления кольца следует, что гомоморфизм ер определен касательными характеристическими числами некоторого многообразия тогда и только тогда, когда
р (.Д2Н* (ТВО; Z2))= 0 или когда для всех у£Н * (ВО; Z2) имеет место равенство р [Sq (yU) + у U] = 0. Но в этом случае имеем
p[Sq(yU) + yU]=p[(Sqy) (SqU) + yU] =
= Р ](Sqy)wU + yU] =
^p i i S q i y - S q - ^ U + yü] =
=4>X* [Sq(y-Sq~1 w) + y] =
=4>{Sg(x*y-Sq-1x*w)+ x*y]=
=4>{_Sq(%*y-Sq- 1 (-^-)) +X*ÿ] =
=ф [Sqx + x-Sq'hv] =
—ф [Sg X+ yx] =
= 0
(где x = x * y S r 1 ( - ^ ) ^ % * y ( s ^ r ) ) • ■
Это завершает исследование кольца кобордизмов неориенти рованных многообразий.
В оставшихся параграфах этой главы мы изучим связи с дру гими теориями кобордизмов и структуру ассоциированной с неори ентированными кобордизмами теории бордизмов клеточных ком плексов. Такому плану изложения мы будем следовать далее в конце каждой главы.
Связь с оснащенными кобордизмами. Инвариант Хопфа
Напомним, что оснащенным многообразием называется мно гообразие вместе с классом эквивалентности тривиализаций ста бильного нормального расслоения. Кобордизмы оснащенных мно гообразий — это (В, /)-кобордизмы, где В т— точка, и их группа
кобордизмов йп изоморфна группе lim nn+r (Sr, оо) (Понтря-
Г-ѵсо
гин [2]).
Функтор F забывания оснащения в нормальном расслоении
определяет гомоморфизм групп кобордизмов Е*: £2* 91* и отно сительную полугруппу кобордизмов £2n (F) (получаемую объеди нением многообразий вдоль общих границ). Тогда, как и для каждой пары (В, /)-теорий кобордизмов, имеет место точная после довательность
Qfr . F*.. > W
\ S
QAF)
которая соответствует гомотопической точной последовательности
lim я*+,- (Sr, |
■F* |
lim jt*+r (TBOr, oo) |
oo)----- > |
||
r~> CO |
|
Г— У00 |
lim л^+г(ТВОТ, S r, oo)
r —yoo
где F* — гомоморфизм, индуцированный вложением сферы, рас сматриваемой как пространство Тома слоя над отмеченной точ кой пространства В 0 Т.
Используя вычисление кольца 91*, можно исследовать связь между группами кобордизмов £2*г, 91* и £2* (F). Имеет место
П р е д л о ж е н и е . Любое оснащенное многообразие положи тельной размерности является границей неориентированного мно
гообразия, т. е. гомоморфизм F*: £2^г —»- 91n |
является нулевым для |
||
п |
0. Гомоморфизм Fp. |
Q^r = Z — 9to = |
является эпимор |
физмом. |
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Если М п — оснащенное многообра |
|
зие, то его стабильное нормальное расслоение тривиально, и по этому w{v) = 1. Таким образом, для п > 0 все числа Штифеля — Уитни многообразия М п равны нулю, и поэтому оно является гра ничным. В размерности 0 многообразие М есть объединение точек
(ориентации |
которых |
задаются знаками), |
и |
поэтому |
число |
w0 (ѵ) [М] равно числу |
точек многообразия |
М, |
приведенному |
||
по модулю 2. |
■ |
|
|
|
точная |
Из этого |
утверждения следует, что гомотопическая |
||||
последовательность расщепляется в короткие точные последова тельности, с помощью которых можно образовать следующие диаграммы:
О |
----- > 91п --------- |
- Qn{ F ) --------- |
> Q n - i----- > О |
|
?Пj, |
гп I |
5п I |
н п (8 -, S-г) |
Нп (ТВО; l 2)-+ H n(T B O , |
S; £„)-»-tfn_t (£; Z2) |
|
Il |
|
|
II |
О |
|
|
О |
ДЛЯ П —1 > 0 И
О= Эіі-----VQ,(F) -------- Vßjr -------- »-«о о
î i j n,j Soj înj
H^S; г гу ^ Н А Т В О ; 1 г)-^НАТВ( ) , S; Zz) ^ H 0(S-, L2)-+H0(T BO ; Z 2y + 0
Il |
II |
II |
o |
z2 |
z2 |
в которых вертикальные отображения |
являются |
гомоморфизмом |
Гуревича (т. е. Н„ (S; Z2)~ lim IIn+r (£"', оо; Z2) и т. д.). Так как
91,і и Н п (ТВО ; |
|
Г-ѴОО |
|
Z2 и qh — |
Z2) — векторные |
пространства над |
|||
мономорфизм, |
то |
существуют |
расщепляющий |
гомоморфизм |
ип : f f n {ТВО; Z2) ->- |
и гомоморфизм |
|
||
Qn(F)— TU S n(TBO, S; Z2) |
* Н п (Т В О ; Z2) — ^ |
|||
определяющий расщепление короткой точной последовательности
для п > 1 . Это |
определяет в свою очередь гомоморфизм |
ѵп: |
|
Q„ (F), также расщепляющий |
эту последовательность |
||
(для п > 1 ). |
|
|
|
З а м е ч а н и |
е. • Расщепление можно |
построить, выбрав |
для |
каждого оснащенного многообразия Л/п_1 многообразие Ѵп, такое, что дѴ = М и .Sи (v) IV, дѴ\ — 0 для всех недиадических разбие
ний (а. Это соответствует представлению пространства Т ІіО |
в виде |
произведения Т В О = [] К (Z2, п (со)) для недиадических |
разбие |
ний ю. Предположим, что расщепление уже выбрано этим спо
собом.
Рассмотрим оснащенное многообразие Л/”-1, такое, что М п~ 1 = = дѴп и Sa (ѵ) [F, дѴ\ — 0 для недиадических разбиений <в. Вложение пары (F, М) в некоторое пространство f f n+r определяет отображение v: (F, M) ->• (BOT, *) (оснащение на М можно рас сматривать как фиксированный класс эквивалентности деформа ций отображения М в отмеченную точку). Конструкция Понтря гина— Тома определяет отображение (И п+Г, і?п+г_1) (ТВОг, Т*), которое мы будем рассматривать как отображение /: (Dn+r, iS'n+r_1)
(TBOr, S'), представляющее гомотопический класс, соответ ствующий классу кобордизмов пары (F, М).
Обозначим через X двуклеточный комплекс, полученный при
клеиванием |
диска Dn+r к сфере S r при помощи отображения |
||
/: £ п+г~1 |
S r. Тогда имеет место диаграмма корасслоений |
||
|
Sr a l- + |
Х — -+ |
X/Sr = Z),,+r/,Sn+r- 1 |
|
1 { |
g \ |
7 \ |
|
S ■' |
TBOr |
TBOr/Sr |
вкоторой отображения / и g индуцированы отображением /. Напомним, что H* (X ; / 2) является векторным пространством
над Z2 с базисом 1 Ç Н° (X; Z2), а 6 H r (X ; Z2) и 6 6 # п+'' (X; Z2) (1, а и б — ненулевые элементы этих групп), таким, что j* (а) =
= |
I е я 1' (S r; Z2) |
и Ь = л* (О, |
где і/ 6 # n+r (П,,+г, 5"+г-1; Z2). |
|||||
и |
Используя |
связь |
между |
конструкцией Понтрягина — Тома |
||||
определением |
характеристических |
чисел, |
получаем, что |
|||||
7* (waU) = |
(V) [F, |
M).i- |
или |
g* (wJ J ) = (ma (ѵ) [V, М]) -b. |
||||
Представляя |
|
пространство |
ТВОТ |
как |
произведение |
|||
[]/f (Z2, г + п (со)), |
где со — недиадическое разбиение, соответ |
|||||||
ствующее образующей ^-м одуля SaU, получаем, что g* (S J J ) = = 0, если п (со) > 0 (по размерностным соображениям, если п (со) ф п, и по выбору нары (У, М) для п (со) = п); таким обра
зом, единственно |
возможные |
ненулевые числа имеют вид |
g* (SqtU). Если I = |
(іі, . . ., ir), |
г > 1, то g* (Sq^U) —0. Таким |
образом, единственное ненулевое характеристическое число долж но быть равно
g* (SqnU) = g* (wnU) = wn (v) [F, M] -b.
Имеем j*g* (U) — l*j* (U) |
= i, так что g* (U) = |
a. Следователь |
|||||||
но, Sqna = |
wn (v) [V, M] - b. |
|
|
|
|
|
|||
Следуя Стинроду [1], стр. 983, элемент H (f) £ Z2, такой, что |
|||||||||
Sqna — H (f) - b, называют |
инвариантом Хопфа отображения |
f. |
|||||||
З а м е ч а н и е . |
Для |
каждого |
оснащенного |
многообразия |
|||||
Мп~г и каждого такого W, что 3W = М, можно определить харак |
|||||||||
теристическое |
число |
wn (у) [W, М]. |
Существует |
замкнутое |
мно |
||||
гообразие |
Т, |
такое, |
что |
S w(v) [T] — Sa (v) [W, |
M] для |
всех |
|||
недиадических |
разбиений |
ш. Тогда |
многообразие V = T U |
W |
|||||
удовлетворяет указанным выше условиям. Так как wn (v) [Г] = |
0 |
||||||||
для каждого |
замкнутого |
многообразия Т, |
то wn (v) IW, M) = |
||||||
~ wn (v) [F, M] = H (f). |
Для получения |
последнего равенства |
|||||||
не требуется условие S a (v) [F, M] = |
0, так как достаточно пока |
||||||||
зать, что в такой ситуации возникает только единственное харак теристическое число.
Объединяя сказанное выше, получаем следующее утверждение:
|
Т е о р е м а . Если п > |
1, то Qn (F) QÉ %ln ® |
и £2i (F) SÉ |
^ |
Z = 2Qor. Если М п _ 1 |
— замкнутое оснащенное |
многообразие |
и |
М = дѴ, то характеристическое число юп (v) [F, |
М] совпадает |
|
с инвариантом Хопфа отображения /: 5П+Г_1 S r, представляю щего класс оснащенных кобордизмов многообразия М. Среди гомо
морфизмов Qn- j Z2, определяемых числами Штифеля —Уитни, нетривиальным может бытъ только гомоморфизм, определяемый числом wn (v) [F, М].
Из работы Адамса [1] о несуществовании отображений с инва
риантом Хопфа единица известно, что отображение /: <Sn+r_1 |
S r |
с И (/) Ф 0 существует тогда и только тогда, когда п = 1, 2, |
4 |
или 8.
Этот результат теперь может быть сформулирован в следую
щем виде: |
|
С л е д с т в и е . Для п ф 1, 2, 4 или 8 |
образ группы |
в Н п (Т 1 Ю; Z2) совпадает с образом группы Йп |
(F). Для п 1, 2, 4 |
или 8 образ группы 9tn имеет коразмерность |
1 в образе группы |
йп (F). Эквивалентно, гомоморфизм wn (v) I , ]: й„ {F)-*- Z2 нетри виален тогда и только тогда, когда п = 1, 2, 4 или 8.
Неориентированные бордпзмы. Представление Стинрода
Пусть ЗГ — категория топологических пространств и их непре рывных отображений. Рассмотрим функтор забывания F: 3 —> ЗГ, сопоставляющий каждому гладкому многообразию само это мно гообразие как топологическое пространство. Для каждого про
странства X можно образовать категорию кобордизма (З І Х , д, г), получаемую конструкцией I. Это приводит к полугруппе кобордизмов 9Д (X), впервые определенной Атья [2] и названной им
группой бордизмов пространства X.
Пусть (В, /) — последовательность пространств и отображе ний, где В Т — X X ВОг и / г: В т-у ВОг — проекции на второй сомножитель. Тогда (В, /)-структурой на многообразии является (ВО, 1)-структура вместе с гомотопическим классом отображений в X. Так как гомотопные отображения определяют один и тот же класс в 9Î* (X), то существует индуцированный гомоморфизм й* (В, {) - у 9Д (X), который, очевидно, является изоморфизмом.
Пусть А — подпространство в X; отображение вложения опре
деляет функтор |
(3/А , д, і) - у (ЗІХ , |
д, |
і) и отображение последо |
вательностей (А |
X ВО, я 2) -у (X X |
ВО, я 2), приводящие к груп |
|
пам относительных бордизмов -ft* (X, |
А). |
||
З а м е ч а н и е . Пусть /: (М, дМ) - у (X, А) — отображение пар. Тогда отображение /|дм разлагается в композицию с вло жением А -у X, что может рассматриваться как дополнительная структура на границе. Поэтому стандартное объединение вдоль общих границ позволяет определить относительные группы.
Применяя относительный вариант конструкции Понтрягина — Тома, получаем следующее утверждение:
Т.еорема. 9І„(Х, А) — lim я п+г (Т(ХхВОт), Т (А хВ О г), оо)= Г—изо
= Н т пп+Г((Х/А) Д ТВОт, оо) =
Г—>оо
= Н п (X, А; Т В О).