Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 147

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

в формуле Адема можно не учитывать.] Имеем:

с xpS для і = О,

Ов остальных случаях,

если dim я = 2 (и если, кроме того, Sq*x = 0 для р — 2; этоусловие выполняется для всех рассматриваемых нами x it так как хі = Ci (£) для некоторого линейного расслоения Г). Поэтому дока­ зательство мономорфности отображения ѵ проводится точно так же,

как при изучении группы Н* (Т В О ; Z2).

С л е д с т в и е . Группа H* (T B U ; Zp)

является свободным

^-модулем.

 

Имеет место также следующая

 

Л е м м а. Пустъ X — стабильный спектр, такой, что группа

H* (X; Z) не имеет р-кручения и H* (X; Жр)

является свободным

■Jtp/(Qo)-модулем. Тогда гомотопические группы спектра X не име­ ют р-кручения.

З а м е ч а н и е . Это впервые было доказано Милнором [6] при помощи спектральной последовательности Адамса. Другое доказательство было дано Брауном и Петерсоном [3] при помощи построения спектра, Zp-когомологии которого являются свобод­ ным J-j,/ (<2о)-модулем с одной образующей. Результат, приводи­ мый здесь, слабее, чем результат Брауна и Петерсона, но он допу­ скает приемлемо элементарное доказательство, не связанное с рассмотрением инвариантов Постникова.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначим через Еѵ двуклеточный комплекс, полученный приклеиванием двумерной клетки е2 к окружности S 1 отображением степени р, и рассмотрим корас­ слоение

Взяв приведенное произведение спектра X с этим корасслоением, получаем в гомотопических группах точную последовательность

Л л*(Х) 4- я*(Х А Е р ) .

Так как X — стабильный спектр, то гомоморфизм Гуревича

я , (X) {X; Z) является изоморфизмом по модулю класса конечных групп и гомоморфизм р отображает группу

(я* (X)/Tors) (g) Zp £=; Я* (Z; Z) <g> Zp *)

мономорфно на Zp-век-

торное пространство P* cz я* ( X /\Е Р).

 

Д Ер), т. е.

Если утверждение леммы верно, то іД = я* (X

р является эпиморфизмом и я %(X /\Е Р)

является

Zp-векторным

пространством. С другой стороны, если непосредственно показать, что Р ' = я* (X /\ Е Р), то из этого будет вытекать эпиморфность гомоморфизма р и, следовательно, мономорфность умножения на р в группе я* (X), т. е. отсутствие р-кручения в группе я* (X). Оставшаяся часть доказательства будет посвящена установле­

нию изоморфизма P t

я* (X Д Ер).

 

 

Нам потребуется следующее описание алгебры Стинрода, дан­

ное впервые Милнором [3].

последовательностей

целых

чисел

Пусть .йЛ

— множество

(гь 7*2 , . . .),

таких, что Г; ^

0 и Г; = 0, за исключением конеч­

ного числа і. Если U,

V Ç .Л и кг ^ щ для всех і,

то определена

последовательность (U — У) Ç .Л, равная (ты — щ, и%— ѵ2,

. . .).

Через А;- 6 М обозначим последовательность, у которой на /-м месте стоит 1, а на остальных местах нуль.

 

Существуют элементы Ç; и &R

в

алгебре Стинрода

Л р,

где і = 0,

1, 2,

.. . и

 

такие,

что:

 

 

 

 

 

 

1) dim

Qi = 2p1 — i, dim cPR= dim R = 2

2щ (pl — 1), где

R =

 

r2,

• •

 

 

 

 

 

подалгебру

Л о ^ Л р ,

 

2) элементы {Ç;} порождают внешнюю

т. е. QiQi = 0 и

QiQj-\-Q,-Qi = 0 для

іф ] \

 

 

элементами

 

3)

Л р

имеет

Zp-базис,

 

заданный

 

...

Çf» ...

# R},

где

Б; = 0

или

1

и

&RQb— Qk&R=

=

і=і

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У т в е р ж д е н и е .

Группа H* (X Д Ер\ Zp) изоморфна группе

Я* (X;

Zp) ® Zp {и, Q0u}, где { } обозначает

«векторное прост­

ранство,

натянутое

на»,

dim it =

1,

и

является

свободным

Л р/3 *-модулем,

где

— двусторонний

идеал,

порожденный

эле­

ментами Qi, і > 0 . Если {ха}— базисЛР/№о)-модуллН*(Х; Zp), то {ха (g) и) является базисом Л РІ<У-модуля Я* (X Д Ер; Zp).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Заметим, что Н* (Е р; Zp) ^

Zp {1, и, Q0u},

и поэтому, по теореме Кюннета,

группа

Я* (X X Ер, X X *; Zp)

изоморфна

требуемой

группе.

Тогда

формулы

Ç0 (я ® и) —

-- a: (g) Ç0it

и cPR (х <® it) = ePR;r ®

и задают

действие алгебры'

х) Изоморфизм (я* (X)/Tors) <gj Z p ^ Я* (X; Z) ®

Zp. вообще говоря,

не индуцируется гомоморфизмом Гуревича, а устанавливается сравнением рангов Zp-векторных пространств.— Прим, перев.

Стиирода в ней.

Так

как

Qk+i — oPpkQk— Qh&ph и

в

группе

H* (X Д Ер ; Zp) операции Q0 и

коммутируют, то опа явля­

ется г^р/о^-модулем. Базис в алгебре ApléP задается

элементами

Q%&R, 8 = 0, 1, и

очевидно,

что

элементы {<31l% œ®

 

образуют

Zp-базис в когомологиях.

 

R = (ry,

г2, . ..)

положим

l(R) =

Для

последовательности

= 2 ггОбозначим через Fs

Zp-векторное

пространство, натя­

нутое на

последовательности R ^ M ,

такие,

что l(R) = s, и поло­

жим M s = Л ѵ ® Fs. Рассмотрим .^p-гомоморфизм ds: M s —>■

степени + 1 , задаваемый формулой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

ds (1 ® R) =

2

Qi ® (R -

ДД,

 

 

 

 

 

 

 

 

7 =

1

 

 

 

 

 

и Jf p-гомоморфизм

d0: М 0 —>■А ѴПР,

задаваемый

формулой

do(l®(0,0, • ••)) = !■

Следуя

Брауну

и Петерсону

[3], докажем

такое

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У т в е р ж д е н и е . Последовательность

 

 

 

 

• .. — Ms------' M s-i —*• ■■■—*■MQ ----- >■--ApHF — 0

является точной.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Обозначим через В внешнюю

алгебру,

порожденную элементами

Qi,

і > 0 .

Последовательность

...

В ® V S —

В ® Fs-i

 

•••

 

В ® Ѵ0 —

Zp ->• 0

с гомоморфизмами, описанными выше, является стандартной резольвентой поля Zp над алгеброй В и поэтому точна. Так как алгебра Стинрода .Ji-V является свободным 5-модулем и Лр ® ®в Zp SS Apitf, то, взяв тензорное произведение над В точной последовательности с .Лѵ, мы получаем опять точную последова­ тельность.

Пусть теперь {а;а }, а £ / , — базис ^ Р/(<?о)-модуля H* (X; Жр) и Т — градуированное Zp-векторное пространство, порожденное элементами ха и. Используя построенную выше .^-резольвен­ ту для ЛрНР, можно построить обобщенную башню Постникова для пространства X [\ЕР из произведений пространств К ( £ р, п). В частности, в построении башни участвуют последовательности расслоений

У ж

индуцированные расслоением путей над К (Т Уо = X/\Ер, Н* (У); І ѵ) ^ Т 0 im (d{) ^ Т

0

0

У)), где кег (йг_0,

Н* (К (TtgiVf); Zp) = Т 0 Mi и гомоморфизм/* задается гомомор­ физмом 1 0 di. [Для сокращения записи естественные сдвиги раз­ мерностей не указываются.] Таким образом, гомотопические группы пространства X / \ Е Рвосстанавливаются из точной последователь­

ности Zp-векторных пространств T 0

Vt.

С другой стороны, Р* = © (Т 0

Fs) с я* (X ДЕ р). Из под-

S

счета рангов получаем теперь равенство я* (X ДЕр) = Р*, дока­ зывающее лемму.

З а м е ч а н и е . Приведенное доказательство можно рассма­ тривать как вычисление спектральной последовательности Адамса для пространства X Д Ер. Так как группа я* (X Д Е р) содержит векторное пространство Р*, изоморфное члену 2Д, то все диффе­ ренциалы и присоединеиности в этой спектральной последова­ тельности являются тривиальными.

Т е о р е м а . Группа Q„ для п = 2m + 1 является нулевой, а для п = 2 т является свободной абелевой группой ранга, равно­ го числу разбиений числа т. Более того, два квазикомплепсных многообразия кобордантны тогда и только тогда, когда они имеют одни и те же целочисленные когомологические характеристические числа.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как группа Н* (Т В 77; Z) не имеет кручения и для всех простых р группы Н {ТВ U; Zp) являются

свободными ^ р/((?о)-модулями, то гомотопические группы спектра T BTJ не имеют кручения. Так как ядро гомоморфизма

Гуревича Нп (TJBTJ', TL) является конечной группой, то оно равняется нулю, и, следовательно, класс квазикомплексных кобордизмов полностью определяется своими целочисленными харак­ теристическими числами.

Для продолжения исследования структуры квазикомплексных кобордизмов необходимо использовать комплексную Х-теорию, изложение которой можно найти в работах Атья и Хирцебруха [2], Ботта [1], Атья [4] и Хыозмоллера [1]. Дадим краткую сводку фактов.

Существует мультипликативная теория когомологий К*, гра­ дуированная целыми числами (положительными и отрицатель­ ными), такая, что К0 (X) является группой Гротендика классов изоморфизма комплексных векторных расслоений над X. Эта теория когомологий является периодической периода 2, изомор­ физм периодичности р: IC (X) - у К1-2 (X) задается умножением

на образующий р (1) 6 К ~2 (pt) = К0 (<Sa) ss IL,

S— 01024

Смотрите также файлы