Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

ГЛАВА II

МНОГООБРАЗИЯ СО СТРУКТУРОЙ.

ТЕОРЕМА ПОНТРЯГИНА - ТОМА

Стандартные теории кобордизмов основаны на многообразиях с дополнительной структурой в касательном или нормальном расслоении. В этой главе мы следуем в основном работе Лашофа [1].

Расслоение уг является универсальным 7-мерным векторным рас­ слоением.

О п р е д е л е н и е . Пусть /„: Вп ВОп — некоторое рас­ слоение и £ — некоторое ?г-мерное векторное расслоение над про­

индуцированного касательным расслоением к Rn+r, по подрасслое-

Прим, перев.

нию т (М) cz і*т (R1l+r). Задав в пространстве т (R n+r) = Rn+r X X Rn+r риманову метрику, определяемую обычным скалярным произведением в евклидовом пространстве, мы получаем, что пространство N нормального расслоения может быть отождествле­

может быть отождествлен с подпространством пространства Rn+r X

два вложения іь г2 многообразия М п в Rn+r регулярно гомотопны и каждые две такие регулярные гомотопии гомотопны в классе

гомотопными в классе гомотопий, оставляющих неподвижными конечные точки. Таким образом, существует вполне опре­ деленная эквивалентность двух нормальных расслоений. Приме­ няя теперь теорему о накрывающей гомотопии для расслоения /г: RT ВОг, легко получить требуемое взаимно однозначное соот­

называется класс эквивалентности последовательностей (В Т, /г)- структур на нормальных расслоениях {|г} многообразия М"; две такие последовательности называются эквивалентными, если

Рассмотрим многообразие Ww и подмногообразие М"1, лежащее в W, с тривиальным нормальным расслоением. Вложим М в В т+Г, где г—большое число, и продолжим, используя тривиализацию нормального расслоения М а W, это вложение до такого вложе­ ния окрестности многообразия М в W в пространство Rw+r = _ п т+г X Rw~m, что эта окрестность пересекается с R m+r вдоль М ортогонально. Тогда вложение окрестности можно продолжить до вложения многообразия W в Rw+r, причем нормальные плоско­ сти вложения М в R m+r в этом случае совпадают с ограничением на М нормальных плоскостей вложения W в Rw+r.

Если v: W ВТ— поднятие нормального отображения W -*■

-*■ ВОГ, то отображение ѵ|дг является поднятием нормального отображения многообразия М. Таким образом, (В, /)-структура на многообразии W индуцирует вполне определенную (В, /)- структуру на многообразии М.

З а м е ч а н и я . 1. Индуцированная (В, /)-структура зависит только от класса эквивалентности тривиализаций, а не от конкрет­ ного выбора тривиализации.

2. Если /: М W — изоморфизм многообразий, то нормаль­ ное расслоение отображения / является тривиальным, так как оно нульмерно. Если і: М W — вложение границы, то существуют две тривиализации в зависимости от выбора внутренней или внеш­ ней нормали. Если j: М W — вложение на прямое слагаемое, то нормальное расслоение опять нульмерно и поэтому тривиально.

О п р е д е л е н и е . Категорией кобордизма (В, /)-многообра­ зий называется категория, объектами которой являются компакт­ ные гладкие многообразия с (В, /)-структурой и морфизмами в ко­ торой являются такие гладкие вложения с тривиальными нормаль­ ными расслоениями, которые переводят границы в границы и инду­ цируют (В, /)-структуры, совпадающие с данными (В , ^-структура­ ми на подмногообразиях.

Функтор д переводит (В, ^-многообразие W в многообразие dW с {В, /)-структурой, индуцированной тривиализацией, определен­

ной внутренней нормалью, а морфизм i: W j —> \Ѵг переводит в мор­ физм і |а : dW{ dW2. Естественное преобразование і опреде­ ляется вложением границы с тривиализацией, определенной внут­ ренней нормалью.

Полугруппа кобордизмов этой категории будет обозначаться через Q (В, /). Подполугруппу, образованную классами эквива­ лентности ?г-мерных замкнутых многообразий, будем обозначать через Qn (В , /). Ясно, что группа Q (В, /) является прямой сум­ мой групп Qn (В, /).

Нормальное отображение для многообразия М X I представ­ ляет собой композицию проекции на М ~ М X 0 н нормального отображения для М. Следовательно, поднятие нормального ото­ бражения для М определяет (В, /)-структуру на М X I, которая индуцирует на подмногообразии М X 0 исходную структуру на М. Выбор внутренней нормали вдоль М X 1 определяет индуциро­

Рассматривая ВОг как пространство r-мерпых плоскостей, каждая из которых содержится в некотором конечномерном под­ пространстве R* пространства R со, и взяв обычное скалярное про­ изведение на подпространстве пространства R °°, состоящем из век­ торов с конечным числом ненулевых координат, мы получаем риманову метрику на универсальном расслоении уг.

Если £ —векторное г-мерное расслоение над пространством X, классифицируемое отображением ç: X —>- ВОг, то оно имеет рима­ нову метрику, индуцированную метрикой расслоения уг. (3 а м е- ч а н и е. Для нормального расслоения многообразия эта метрика совпадает с метрикой на нем, определенной ранее.)

Пространством Тома ТЕ, расслоения Е называется простран­ ство, полученное из пространства расслоения ç стягиванием в точ­

вить с суммой Уитни расслоения уг и тривиального одномерного

Туг и Tff (уг).

Основной' теоремой этой главы является обобщенная теорема Понтрягина —Тома :

Т е о р е м а . Группа кобордизмов п-мерных (В, /)-многообра­ зий Qn (В, /) изоморфна группе lim яп+г (ТВГ, оо).

г — уоо

ние на М — М X Осz N совпадает с вложением і. Для некоторого

ру Sn+r в виде пространства Rn+T [J 00 и рассмотрим отображение

странства расслоения N на М, является послойным отображением