Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

ского класса отображения Ѳ, так как все отображения вида е-1 °с гомотопны между собой. Замена ѵ на эквивалентное поднятие при­

водит к отображению, гомотопному отображению Т (п X (ѵ°іх)), и поэтому не изменяет гомотопического класса отображения 0.

пией, и для его нормального отображения существует накрываю­

щее отображение AT X I -> Вг, совпадающее с ѵ на AT X 0. Так как нормальное отображение постоянно по второй координате вблизи AT X 1, то поднятие можно изменить так, чтобы оно совпа­

дало с V на AT X 1. Так как (В , /)-структура на dW индуцирована (В, /)-структурой на W, то можно найти поднятие нормального

Взяв в качестве W пустое множество, мы получаем, что гомото­ пический класс отображения Ѳне зависит от вложения многообра­

~ Ѳ{M'), следовательно, гомотопический класс отображения Ѳ зависит только от класса кобордизмов многообразия М.

B) Отображение Ѳ является гомоморфизмом.

Пусть Мі и М 2 —представители некоторых двух элементов группы (В, /). Выберем вложения іа‘ Ма ->■ R"+r, а = 1, 2, такие, что последняя координата отображения ц положительна, а отображения г2 отрицательна. Если трубчатые окрестности вло­ женных многообразий выбрать достаточно малыми, так, чтобы они лежали в тех же полупространствах, что и многообразия, то пред­

C) Гомоморфизм Ѳ является эпиморфизмом.

Пусть Ѳ: (Sn+r, р) (ТВТ, оо), где г велико, —представи­ тель некоторого элемента группы lim я п+г (ТВГ, оо). Рассмотрим

= Тут = lim Tyl и сфера Sn+r компактна, то TfTо Ѳ(Sn+r) cz Tyl

S—Уоо

для некоторого s. Отображение Tfr»0 может быть прогомотопировано в отображение /г,-, такое, что

1) hr является гладким отображением на прообразе некоторого открытого множества пространства Туі, содержащего многообразие Грассмана 6>, s, и трансверсально регулярным на Gr,s.

З а м е ч а н и е . TyTs— оо является гладким многообразием.

2) hr является отображением расслоений на нормальной трубча­ той окрестности многообразия М п = /гД (Gr s), вложенного в

вBn+r = Sn*r —p.

3)hr совпадает с отображением Tfr°Ѳ на прообразе V некото­ рой замкнутой окрестности точки оо.

Так как отображение hr\M классифицирует нормальное рас­ слоение многообразия М, то можно предположить (используя дальнейшую гомотопию, если необходимо), что hr\Mесть нормаль­ ное отображение ѵ: М ->- G>, n ^ Gr,s и что hr на нормальной труб­ чатой окрестности многообразия М совпадает со стандартным ото­ бражением, определяемым переносом векторов в начало координат.

Далее, отображение Tfr: ТВт-*■ ТВОтвне точки оо является расслоением, атак как Tfr°Ѳ (Sn+r—(внутренность F)) не содер­

жит точку оо, то, применяя теорему о накрывающей гомотошш, можно гомотопшо отображения Tfr о 0 в отображение hr на S n+r—

—(внутренность V) накрыть гомотопией отображения Ѳна £ п+г—

—(внутренность F), которая является неподвижной на границе множества V. Взяв гомотопию постоянной на V, можно накрыть гомотопшо отображения Tfr °Ѳ в отображение h,, гомотопией ото­

при отображении hr, т. е. является многообразием М. Кроме того, отображение Ѳ]|ЛІесть поднятие нормального отображения hr\M.

многообразия М в пространство й п+|' с поднятием Ѳі|м, полу­ чаем, что класс Ѳ ([Л/]) определяется отображением Ѳ2, совпадаю­ щим с отображением 0j на окрестности N e многообразия М в R n+'\

Rn+r X I и пересекается с R71*1' X 0 ортогонально вдоль М. Мож­

нием, определяемым переносом векторов в начало координат. Применяя теперь теорему о накрывающей гомотопии, можно отображение L прогомотопировать в отображение 0: <S,n+r х I

ТВт, такое, что 0( = Ѳ0 для малых 2, Ѳі = Ѳ lsn+rxl, и отобра­

туру на многообразии М cz W. Таким образом, М -j- <90 aé 0 + + dW и класс кобордизмов [М] является нулем в группе Qn (В, /). В

Структуры в касательном расслоении

Часто бывает желательно определять (В, /)-структуры на мно­ гообразиях при помощи структур на стабильном касательном рас­ слоении.

Положим В = lim (5Г, gr), ВО — lim (ВОГ, /,.) и / = 1 іт /г: В —>ВОш Отображение Іп, N: Gn, N -> GN,n, сопоставляющее каж­ дой «-мерной плоскости ее іѴ-мерное ортогональное дополнение, индуцирует отображение 7: В О —>ВО, причем 72—тождественное

совпадает с пространством В. Отображения индуцированных рас­

велико. Отображения ѵ_ѵ: М п -> GN, п и T y : Мп -> Gn, N, опреде­ ляемые переносом нормальных и касательных векторов, связа­ ны соотношением т л- = 7 ѴіПѵЛг. Взяв композицию этих отображе­

(В, /)-структура на многообразии М в предыдущем определении представляет собой в точности послойный гомотопический класс поднятия отображения ѵ: М -> ВО до отображения М -> В. Отоб­ ражения Г и 7* устанавливают, очевидно, взаимно однозначное соответствие между такими классами поднятий отображения ѵ и послойными гомотопическими классами поднятий отображения т: І17 -V ВО до отображения М -> В*. Такой класс поднятий ото­ бражения т называется {В*, /*)-структурой на стабильном каса­

-> ВОг можно заменить гомотопически эквивалентными им рас­ слоениями. Получающиеся при этом отображения gr можно, последовательно используя теорему о накрывающей гомотопии,