Файл: Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 113

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ряда ф (х) = X + У]агжг+1, можно однозначно восстановить муль­ типликативную операцию ф: G* ( ) ff* ( ; JL). После этих замечаний легко доказать следующую теорему:

Т е о р е м а 3.2. Формальная группа ІД (х , у)

над кольцом

H* (pt; JL) сильно изоморфна формальной группе

tf [F] (x , у)

тогда и только тогда, когда существует мультипликативное пре­

образование

ф: G* ( ) — Н* ( ; JL),

такое, что ф* [X] (х, у) =

=

Я

(®, У)'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Допустим,

что

группы

ІД (х , у)

tf

[X] (х,

у)

сильно

 

изоморфны

и cp (X) 6 H* (pt;

JL) [Іа:]] —

такой ряд,

что

ср (Fj (х, у)) = tf

[F] (ср (а:),

ср (у)).

Обозначим

через

ф (х)

=

X

-|- 2 а^х' +1 ряд ср-1 (а:) и рассмотрим мультиплика­

тивное преобразованиеф: G* ( ) —у ff* (

; А), такое, что фсті (I) =

=

of

(I) +

2

ata f (l)i+1. Тогда

 

 

 

 

 

 

фоі (І)

=

ojl (î)

+

2

aiOf (Ôi+1 =

Ф {tf

[F] (x, y)),

Ф ( 2

“ i . J a 1

 

 

( ? 2 ) 0

=

2

' P * ( “ i . Д

(Ф < Т і ( i l ) ) * (ф О Г і i h ) Y =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

ф* ІЯ (ф (я), Ф (ÿ))-

Следовательно,

г|) (Д:1 [F] (.т,

y)) = ф* [F] (ф (x), ф (г/)),

и поэтому

Ф* ІЯ (ж, ?/) = cp-1 {tf ІЯ (ср (а:), ср (г/))) = ІД (а:, у).

После приведенных выкладок обратное утверждение теоремы очевидно, в

§4. Геометрические конструкции

Вэтом параграфе мы, следуя работе Дика [1*], излагаем гео­ метрические конструкции, необходимые для построения степеней Стинрода.

Рассмотрим в комплексном пространстве Сп+1 единичную сфе­

ру 52п+1 = {z Ç Cn+1, I z 1j = 1} и обозначим через £ДП+1 несвяз­ ное объединение сферы S'2n+1 и изолированной точки *. Точку * мы будем считать отмеченной в пространстве £'Д+1.

Пусть р — простое число. Зафиксируем на Sln+1 действие

группы Zp с неподвижной точкой *, которое на S2n+1 задается

2лі

умножением на е р . Для каждого пунктированного клеточного комплекса X на пространстве X /\ . . . /\Х зафиксируем действие

рс о м н о ж и т е л е й

группы Z р , которое задается циклической перестановкой сомно­ жителей. Так как отмеченная точка пространства Х Д . . . ДХ является неподвижной, то указанные действия группы Z p на про­ странствах îS+l+1 и Х Д . . .Д Х определяют действие этой группы

на

пространстве

Е (X,

гг) = S2n+1 Д X Д . . . Д X. Положим

(X, ?г) = £

(X, п)ІІ.р. Пунктированное отображение f: X -*■ Y

определяет

пунктированное отображение Ер (X ,

гг) -4- Хр (У, гг),

которое будем обозначать через Еѵ (/, гг).

 

X.

Рассмотрим

Пусть

I

X — векторное расслоение над

пространство

g (X, гг) =

iS2,l+1 X X X . . .

X

X,

проекцию

 

 

 

 

 

^ --, --- ^

 

 

л: §

X

X

. . .

 

р сомножителей

X . . . X |).

X X и расслоение g (£, гг) =

я* (£

Как н на Е (X, гг), на пространстве g (X, гг) определено действие

группы

Zp.

Это

действие является

свободным и

индуцирует

свободное

действие

группы

Zp

на

пространстве

расслоения

g (Е, гг).

g

Таким

образом,

определено

векторное

расслоение

Ір (гг) =

(5,

гг)/Жр

с базой

g (X, n)/Zp.

 

Л е м м а

4.1. Имеет место

гомеоморфизм

 

 

 

 

 

 

Еѵ (Г£,

гг)

Д р

(гг),

 

естественный относительно отображений векторных расслоений.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Напомним сначала

построение

известного гомеоморфизма /:

T (£ X ц) — ТЕ Д Гт|,

где £, X

и т) — Y —векторные расслоения.

Пусть dim £ = гг и dim ц = ггг.

Рассмотрим над пространством

 

X

X Y

расслоение

D (| X ц)

со слоем диск Dn+m — {(гц, ѵ2),

6 D n, u2 6 Dm, Іи, |2 +

| y« |2 =SE

^ 1} и расслоение

D (|)

X Ö (ц) со слоем Dn X ö m. Обозначим

через /: Z) (Е X ц)

D (|)

X D (ц)

послойное отображение, кото­

рое на базе X X У

тождественно,

а на слое Dn+m задается фор­

мулой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

если I

ѵ{ I

=

I

ѵг I = 0,

 

/ (vu ѵг) =

У I рііЧ - Ь

I2

(і'ІТг)-

 

 

 

 

max ( Hi I, I v2 I )

 

 

 

Легко видеть, что отображение / является гомеоморфизмом и пере­ водит пространство S (£ X ц) = SD (| X ц) в пространство S (Е) X Z? (ц) U-О (£) X 5 (ц) = д (D (|) X Ö (ц)). Следовательно,

/

индуцирует

гомеоморфизм

/: Tt = D (£ х г|)'5(^ X ц) ->-

ТЕДТц =

5 ( 9 X 0

(г])/<? (Ö (Е) X D (ц)).

 

Перейдем к доказательству леммы. Используя гомеоморфизм

/,

получаем

гомеоморфизм

X: T (g (g, гг)) —=>■52п+1 ДТ£Д . . .

. . .

ДТЕ =

Е (Г |, гг),

так

как

пространство 6’;г1+1 можно отож­

дествить с пространством Тома нульмерного расслоения над S2"+1.

Действие группы

Zp на пространстве расслоения g (£, гг) задает

действие этой группы на пространстве Тома Tß (Е, гг). Используя явный вид отображения /, получаем, что гомеоморфизм F являет-

ся Zp-эквивариантиым и, следовательно, индуцирует гомеомор­

физм

Т1Р (п) =

ТЩ(I,

 

 

Ер (ТІ,

п).

ш

 

 

 

 

 

 

Для дальнейшего изложения существенным является

следую­

щий факт:

группы

Zp на

пространстве

расслоения

 

% (£,

п)

Действие

 

согласовано

 

с

I),

//-структурой

расслоения

 

Щ(I,

п)

=

= я* (£ X . . .

X

так что расслоение

1Р (п) имеет структуру

//-векторного расслоения, однозначно определяемую по //-струк­

туре расслоения Е. В частности, для расслоения Ір (п) определен

класс

Тома

и (Ір (п)) в GKqp (Т1Р (п)).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 5. Степени Стннрода в кобордизмах

 

 

 

 

 

 

 

 

О п р е д е л е н и е .

Внешней

степенью

Стннрода

в

теории

кобордизмов G* ( ) называется совокупность Ре =

{Peqn,

Ч и

п —

целые числа, п ^

0} естественных

преобразований

 

 

 

 

 

 

 

 

P*qn. GKq(Z)

GKqp (Ер (Z, и)),

 

 

 

 

 

 

удовлетворяющая следующим условиям:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

j*Peqn+i (а) =

Peqn (а), где /: Е р (X ,

п) <z Ev (X,

п +

1)—

вложение, индуцированное

вложением С г+1 с: Сп+3;

 

 

 

 

 

2)

і*Р%п (а) =

а ® . . .

®

а £ GKqp (X

 

Д . . .

Д X),

 

где

і: X

Л

/\ X

 

 

Ер (X,

п) — вложение,

такое,

что

і (xL,

,О71+1,

■ ■

Æj») — (^oi

 

* * *Î

З'р)-) e0 —

(1,

0, .

 

, 0)

£

?2П+1

 

 

 

5-

 

 

 

 

3)

P’%+1) {ab)j=

T* (P’;qn {a)-Ptn m

6

GK(q+l)p (Ep (X Д Y)),

a 6 GKq (X),

b 6 GKl (Y), ab £ G4q+l) (X Д Y), где Г:

(Z Д Y) -+

Ep (Z) Д Ep (Y)

— отображение,

такое,

что T (e,

xlt

уг, . . .

• • -I

Æpi Уp)

= (ei

ari,

■-

M a:p,

e, z/i,

. . .,

yp)',

 

 

 

 

 

 

4)

P'eïn {и (£)) =

u (lp (n)),

где

|

— некоторое

Z -векториое

расслоение над Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T é о p e м a

5.1 (Дик [1*]). В теории кобордизмов существуют

и единственны внешние степени Стинрода.

 

 

 

 

 

 

 

 

Для доказательства теоремы нам потребуются некоторые общие

свойства класса Тома и,

являющегося ТВ/?-ориентацией. Пусть

і: Y cz X — пара

клеточных комплексов и I есть //-векторное

расслоение

над

Z,

с1ітЛ- I

=

q. Положим

=

і*1. Вложение

t: Y <z X индуцирует вложение комплексов Тома

Ті: Tl' cz. Т\.

Рассмотрим

диаграмму

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G* (Z) -*■ G* (Y)

)

G* (X/Y)

(Ф

G* (Z)

G* (У)

(

. . .

 

Ф

 

 

( j

 

І

ФІ

 

 

J5

 

'(

ф)5

J

,

ф

£| ) '

 

V

 

 

I

 

 

 

Ч'

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

G* (П ) -»-G* (T l')^ G * {T t/T l')^ G * (TQ^-G* (Tl')-+ . ..

составленную из точных когомологических последовательностей пар (X , Y), (Tg, Tg') и изоморфизмов Тома Ф (g) и Ф (g'). Ввиду функториальности изоморфизмов Тома диаграмма коммутативна и определен гомоморфизм

Ф а , g'): G* (X /Y ) -V G* (Т И П ’), Ф (g, g') (а) = и (g)-а.

Из известной леммы о пяти изоморфизмах следует, что гомоморфизм

Ф(I, g') является изоморфизмом. Рассмотрим композицию отображений

А: T (g © л)/Т (Г ® î l ' ) ^ r a x il)/Т (g' X р') ~

= ( П А Щ / ( П '

п м т ^ /т ^ '),

где первое отображение индуцировано диагональным вложением X ->■ X X X, а последнее является канонической проекцией на факторкомплекс.

Определим гомоморфизм

 

Ф (g):

G* (Гр/Гр')

-J- G* (T (g ® p)/T (g'

0

p'))

 

по

формуле

ф (H) (я) — A* (u (g) -a).

Так

как

по

построению

и (g X p)

= и (g)w (р) 6 G* (T (g X

р)),

то

ф (I) Ф (р,

р') =

=

Ф (g © р, g' 0 р') и, следовательно, гомоморфизм ф (g) являет­

ся изоморфизмом.

 

а 6 G}‘ч {X)

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

некоторый элемент

представлен

отображе­

нием /:

 

TBG^i. Так

как

2кг X

=

ТИП',

где I — три­

виальное 2-мерное /і-расслоение над X u

V — его

ограничение

на отмеченную точку * комплекса

X, то Ep (Zhl X, п)

= Т1Р/Т1'Р,

где Гр — ограничение расслоения I,, на подкомплекс Y

с

Ер (X, п),

образованный точками (е, лр, . . ., хр), у

которых хотя бы одна

из координат лр есть отмеченная точка.

 

 

 

 

 

 

 

Так как Ер {X, п) = TOIТО' , то определено отображение

Ер (Бкі X,

п) —> тутгр Д

Г0Р Д (Т1Р/ТГР)

 

Д Ер {ZKl X, п),

индуцирующее изоморфизм

 

 

Д

(X,

/г)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф (lvy. G* (Ер (X, п)) -> G* (Ер (Ък1 X, п)),

Ф (Ір) (а)

= и (Ір) -а.

 

Д о к а з а т е л ь с т в о

т е о р е м ы .

Единственность. Допу­

стим, что существуют естественные преобразования

 

удовлет­

воряющие

условиям 1—4. Имеем:

f*uq+i =

и (Г)-а,

 

где

uq+i =

=

и (рq+i). Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р ? Х 1) (и (I) • а) = P ? X l)f * u q+i = Ер (/,

и)* и (рг+г, р)

 

 

 

 

II

 

 

 

 

 

 

 

 

 

' Т* (Рк;‘ пи (Г) ■Рке\а ) = и (Ір) • Р%п (а) = Ф(Ір) (Р%п (а)).

Смотрите также файлы