Файл: Маркузе, Д. Оптические волноводы.pdf

8 8 Г.кию 2

зависят от глубины модуляции t. Для I 1 приближение (2.5.23) справедливо при т — +1.

Читатель, вероятно, заметил очень тесную связь меж­ ду угловой характеристикой дифракционной решетки н частотным спектром модулированных радиоволн. Случай простой синусоидальной амплитудной модуляции соот­ ветствует случаю решетки с синусоидальной функцией пропускания. Случай фазовой решетки соответствует синусоидальной фазовой (пли частотной) модуляции в радиотехнике. Наконец, простая щелевая решетка соот­ ветствует импульсной амплитудной модуляции несущей высокой частоты. Это соответствие угла отклонения час­ тотному спектру в процессах, зависящих от времени, не ограничивается дифракционными решетками. Оно на­ ходит еще более полезное применение при рассмотрении свойств преобразования в линзах, которые будут рассмат­ риваться в одной из последующих глав. Соответствие угла отклонения частотному спектру в процессах, зависящих от времени, обусловлено тем фактом, что в условиях диф­ ракции Фраунгофера дифракционный интеграл принимает форму интеграла Фурье, как ото легко можно видеть из соотношения (2.5.19) пли (2.5.22). Свойства преобразо­ ваний Фурье для дифракционных процессов, в частности прп установке линз на пути светового пучка, будут рас­ смотрены в главе о линзах.

2 .6 . Д И Ф Р А К Ц И Я Б Р О Г Г Л . Т Е О Р И Я В О З М У Щ Е Н И И

В предыдущем разделе рассматривались двумерные дифракционные решетки нулевой толщины. В этом раз­ деле будут исследованы толстые фазовые решетки.

Пусть показатель преломления плоской пластины ди­ электрического вещества меняется по закону

в пространстве. Области постоянного показателя прелом­ ления лежат в плоскостях, перпендикулярных вектору р. Расстояние D между двумя последовательными максиму­ мами п (или любыми другими фиксированными значениями)

Течрия дифракции

дается формулой

где Р — модуль вектора р.

Распределение (2.6.1) может быть реализовано с по­ мощью звуковых воли в диэлектрической среде. Сжа­ тия и разрежения, возникающие в звуковом поле, вызы­ вают такого рода изменения п. Изменения показателя преломления в звуковой волне проходили бы через веще­ ство со скоростью звука. Это движение волн не нашло отражения в формуле (2.6.1).

Можно рассматривать это выражение как моменталь­ ный снимок трехмерного звукового поля. Однако распре­ деление показателя преломления обсуждаемого здесь типа может быть получено путем фотографирования трехмерной интерференционной картины па фотоэмульсию. После того как эмульсия будет проявлена и атомы серебра обесцве­ чены, в желатине останется распределение показателя преломления, подобное (2.6.1). Такое распределение, конечно, стационарно и не перемещается в веществе. Оно хорошо соответствует пашен математической модели.

Распределение показателя п (2.6.1) соответствует трех­ мерной фазовой решетке в диэлектрических материалах. Эта решетка обладает свойствами, подобными свойствам двумерной фазовой решетки, рассмотренной в предыду­ щем разделе. Действительно, еслн слой вещества, из которого состоит решетка, имеет не слишком большую толщину и если падающая волна входит в вещество пер­ пендикулярно, а вектор р направлен параллельно поверх­ ности вещества, можно в хорошел! приближении говорить, что решетка двумерная.

Геометрия общей задачи представлена па фиг. 2.6.1, где, кроме вектора падающей плоской волны кг и вектора рассеянной плоской волны ks, приведен также вектор р. Линии постоянного показателя преломления показаны наклонной штриховкой.

Решим эту задачу рассеяния методом теории возмуще­

и запишем выражение для квадрата показателя прелом­ ления

п2 7?.2-}-2r]HoCOs (Р - г—j- ср)= ]—Де. (2.6.4)

Приведенное волновое уравнение (2.2.2) имеет вид J)

Коэффициент к0 — постоянная распространения свобод­ ного пространства

с синусоидально модулированным показателем преломле-

Ф и г. 2.6.1. Схема дифракции Брэгга.

Заштрихованная полоса показывает область с периодически меняющимся показателем преломления, к ^ п ks — векторы распространения падающей и рас­

сеянной волн, вектор В нормален плоскостям постоянных значений показателя преломления.

ния имеет среднее значение показателя преломления п0. Это позволяет избежать ненужных усложнений, возникаго-

Э Скалярная полповая теория, которая используется здесь, применима непосредственно к волновому нолю, которое удовлетво­ ряет условию E-fS = 0. Для других поляризаций скалярная теория не обязательно приведет к тому же результату, что и векторная теория.

щих из-за отражения и преломления волн па границе раздела двух сред. Эти явления на плоской границе раз­ дела диэлектриков уже были рассмотрены в разд. 1.6.

Кроме падающей волны, имеется рассеянная волна, которую представим в виде интеграла Фурье

Аргумент k4 функции В представляет в сокращенном виде ее зависимость от трех переменных ksx, ksy, ksz. Интеграл берется по всем трем переменным от — оо до + оо. Выра­ жение (2.6.8) отличается от решения волнового уравне­ ния (1.3.23) . Здесь мы считаем, что все три компоненты вектора к4 изменяются независимо во всей области интег­ рирования. Все ограничения, которые волновое уравнение накладывает на функцию, должны быть выражены с по­ мощью функциональной зависимости В.

Полное поле является суммой падающей и отраженной воли:

Падающая волна является решением невозмущенного волнового уравнения. Следовательно, первый член в урав­ нении (2.6.11) исключается. Пока уравнение (2.6.11) является точным. Однако мы хотпм решить эту задачу методом теории возмущений ц ограничиться приближением первого порядка. Поскольку Де и В являются величина­ ми, малыми в первом порядке, можно пренебречь их произведением и опустить последний член в уравнении (2.6.11). Умножим оставшиеся слагаемые на exp(ik(-r)

п проинтегрируем по всему пространству. Интеграл от экспоненциальной функции сводится в результате к б-функщш

j ei(k's-ks)-rd3Y==

куда подставлено выражение для Ае из (2.6.4). Поскольку Де обращается в нуль вне заштрихованного на фиг. 2.6.1 объема, то интегрирование в (2.6.13) распространяется только на область взаимодействия, имеющую объем V. Под знаком интеграла стоят осциллирующие функции, которые дают существенный вклад в интеграл, если их аргументы обращаются в нуль. Легко видеть, что это имеет место при

Это важное соотношение известно как условие Брэгга. Предполагается, что объем взаимодействия простирается до бесконечности в направлениях х и у. Следовательно, интегрирование по х и у приводит к 5-функциям, так что выражение (2.6.13) можно записать в виде

В (k,)= (*S, + P , - kix) б (А,„+ Р„ ~ h v) X

х sin (fe^ ~ 7,")d Л*+б {квх- р,-/с,-,) б (ksy- Ри- к 1в) х

Рассеянную волну можно получить нз выражений (2.6.8)

п (2.6.15)

что должны быть подставлены значения ks, соответствую­ щие знакам плюс и минус в выражении (2.6.14). Таким образом, компоненты х и у вектора ks определяются выра­ жением (2.6.14), тогда как его z-компонента произвольна.

Интегралы в (2.6.16) легко могут быть сведены к интег­ ралам по контуру. Путь интегрирования проходит вдоль реальной оси ksz от — оо до + оо. Каждый интеграл имеет два полюса, лежащие на пути интегрирования. Однако эти полюсы можно сместить с реальной оси на комплекс­ ную плоскость, используя физические аргументы. Мы все время предполагали, что показатель преломления — ве­ личина вещественная. Однако это идеализация. Все реальные материалы ослабляют электромагнитные волны, распространяющиеся в них. Можно не вводить предполо­ жения об идеальном диэлектрике без потерь. Пусть пло­ ская волна распространяется в идеальном диэлектрике

В диэлектрическом материале с потерями волна будет ослабляться. Можно описать затухающую волну, введя комплексную диэлектрическую проницаемость

Для положительных значений пГ и нг формула (2.6.17) описывает плоскую волну, распространяющуюся в поло-