ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 165
Скачиваний: 0
76 |
Глава 2 |
ка опять определяется углом, при котором поле обращает ся в пуль. Первый нуль функции Бесселя .Д (z) имеет место при z = 3,832 [11], так что по аналогии с (2.3.28) получаем
Да = А р ^ -А = 1 ,22 — . |
(2.4.11) |
Эта формула очень похожа на формулу (2.3.28). Если счи тать, что отверстие диаметром 2а соответствует щели шириной d, то получим, что половина углового размера Да главного лепестка излучения дифракционного поля за круглым отверстием мало отличается от полуширины главного лепестка в случае щели.
2.5. ДИФРАКЦИОННАЯ РЕШЕТКА
Дифракционные задачи, рассмотренные в двух преды дущих разделах, дают ценную вводную информацию о физике дифракции света и помогают научиться опери ровать с полезными приближениями для нахождения дифракционных полей на больших расстояниях. Однако ни щель, ни круглая диафрагма сами по себе еще не явля ются устройствами, применяемыми на практике. Задача, рассматриваемая в этом разделе, гораздо важнее для прак тики.
Дифракционные решетки являются приборами, кото рые применяются для анализа частот, составляющих пемопохроматическпй свет. Простой пример дифракцион ной решетки приведен на фиг. 2.5.1. Непрозрачный экран имеет большое число щелей шириной d. Эти щели параллельны друг другу и расположены точно периоди чески на расстоянии а одна от другой. Полное число щелей N + 1 заполняет область экрана шириной D так, что имеет место соотношение
D = a { N + i). |
(2.5.1) |
Чтобы упростить последующие выкладки, предположим, что N12 — целое. Векторы к, показанные на фиг. 2.5.1, представляют собой векторы распространения. Предпо лагается, что вектор к г направлен перпендикулярно поверхности экрана. Вектор к0 соответствует части падаю
Теория дифракции |
77 |
щей волны, которая за экраном продолжает распростра няться в первоначальном направлении. Векторы к4 и к2 добавлены, чтобы изобразить рассеянный свет. Единствен ной (но существенной) разницей между этой задачей
kx Дифракционная
р еш ет к а
Ф и г. 2.5.1. Иллюстрация дифракционной решетки, состоящей из многих тонких щелей в непрозрачном экране.
и задачей о щели, разобранной в разд. 2.3, является число существующих щелей. Чтобы решить задачу о дифрак ционной решетке и получпть полное поле за решеткой, надо сложить рассеянный свет от каждой щели.
Используя формулу (2.3.31), заменим расстояние от центра каждой щели до точки х , z' выражением
_/ |
1 |
*п)- _ |
|
X хп |
К * " |
(2.5.2) |
|||
' 71 4 |
Г |
0,/ |
|
|
' 0 |
|
„/ |
||
|
1 |
Lz |
|
|
|
|
z |
1 2z' |
’ |
|
|
4> = |
z |
/ 1 -т'2 |
• |
|
|
(2.5.3) |
|
|
|
+ |
2z, |
|
|
||||
Решим задачу о дифракционной решетке в приближе нии Фраунгофера точно так же, как решались дифрак ционные задачи в предыдущих двух разделах. Имеется в виду, что мы пренебрежем членом Хп в выражении (2.5.2). Координата хп = па определяет центр п-й щели решетки.
78 |
Глава 2 |
Предполагается, что, хотя решетка содержит очень много щелей, ее полный размер мал по сравнению с расстоянием, на котором наблюдается дифракционное поле. Исходя пз выражений (2.3.32) и (2.5.2), запишем поле па больших расстояниях от дифракционной решетки в приближении Фраунгофера:
|
. |
nd |
N/2 |
|
|
|
-iftго |
—г Gt |
ihana |
(2.5.4) |
|
Z')= “ /Г |
'Фо |
|
2 |
||
k V i |
ти у Го |
|
« |
|
|
|
|
|
n ——N/2 |
|
|
Здесь было использовано соотношение (2.3.25), чтобы заменить отношение х' к z' углом а, под которым точка поля видна пз центра дифракционной решетки.
Сумму в формуле (2.5.4) легко можно оцепить, пред ставив в виде
•V/2
eiha(N+l) a _^
'V piha.ua g - iha(N/2)a
eihaa- l
n =- N /' 2
sin ka (TV-(-l) a
(2.5.5)
sin kaa
Используя соотношения к = выражение (2.5.4) к виду
Ух —iftro
ф (ж ', z'):
'h ‘a n ~ v г
2n/X н (2.5.1), преобразуем
nd |
a |
. |
D |
|
s*n - r - |
sin n — a |
|
||
A |
|
|
A |
(2.5.6) |
a |
|
sin л -- a |
||
|
|
|||
|
|
|
A |
|
Выражение для поля на больших расстояниях от дифрак ционной решетки содержит два существенных сомножи теля. Первый соответствует действию каждой отдельной щели, тогда как второй член описывает влияние собствен но решетки. Этот член имеет вид
D sin л - г - а
F ( a ) = ------- |
j r - ; |
(2-5.7) |
sin я -г- a
А
график этой функции приведен на фиг. 2.5.2. В тех ин тервалах, где величина синуса в знаменателе велика
Теория дифракции |
79 |
функция F (а) очень быстро осциллирует с частотой D/2X (по переменной а). Из формулы (2.5.5) видно, что всякий раз, когда синус в знаменателе обращается в нуль при
п-^-а = тп |
(2.5.8) |
(т — целое), синус в числителе выражения (2.5.7) также
Ф и г. 2.5.2. Графическое представление функции | F (а) |, зада ваемой формулой (2.5.7), которая определяет дифракционную картину дифракционной решетки.
обращается в нуль. В точках (2.5.8) функция принимает значения
Fma* = ^ - = N + 1 . |
(2.5.9) |
Величина пика, характеризующего действие дифрак ционной решетки, пропорциональна числу щелей в решет ке. Чтобы получить представление о полной картине дей ствия решетки как функции а, график на фиг. 2.5.2 надо мысленно представить умноженным на функцию, соответ ствующую одной щели, которая показана на фиг. 2.3.1. Угловая полуширина лепестка для решетки может быть определена, так же как и в случае одной щели, точкой, в которой функция F обращается в нуль первый раз после прохождения через максимум. Таким образом, угловая полуширина лепестка для решеткн равна
(2.5.10)
D N - Ь1 а '
80 |
Глава 2 |
Следовательно, полуширина лепестка для решетки обрат но пропорциональна числу щелей в решетке.
Лепесток с максимумом при а = 0 называется лепест ком нулевого порядка. Он соответствует нолю, которое по существу проходит через решетку, не дифрагируя. Лепесток т-то порядка, полученный из формулы (2.5.8), соответствует волне, выходящей пз решетки под углом
ат= т —. |
(2.5.11) |
Относительная полуширина лепестка m-vo порядка равна
Д а |
__ |
1 |
(2.5.12) |
|
а ,„ |
~ m { N -1 1) |
|||
|
||||
Иоле па больших расстояниях от дифракционной решет ки состоит нз ряда почти плоских волн, распространяю щихся в разных направлениях. Лепестки дифракционной картины различных порядков можно получить в виде линий на экране, сфокусировав на него картину дальнего ноля с помощью линзы. Из формулы (2.5.11) видно, что направление каждого лепестка зависит от длины волны излучения. Следовательно, линза фокусирует свет каж дой длины волны, содержащийся в падающей плоской волне, на свое место на экране (в свое пятно). Это свойство дифракционных решеток делает их очень полезными для спектрального анализа света. Спектральное разрешение дифракционной решетки может быть легко получено пз соотношений (2.5.10) и (2.5.11). Будем считать две спектральные лнннн еще различимыми, если пик одной нз них попадает на первый провал, ближайший к пику, другой линии. Это условие называется критерием Рэлея для разрешения оптических приборов. Выбранное прави ло означает, что изменение ат для определенного измене ния длины волны ДА, должно быть равно Да согласно (2.5.10). Такое требование сразу может быть выражено через относительное изменение длины волны, которое дифракционная решетка может разрешить,
ДА _ |
1 |
(2.5.13) |
|
X ~ |
mN |
||
|
В этом выражении мы пренебрегли единицей по сравнению с большим числом N. Очевидно, что разрешающая способ-
Теория дифракции |
81 |
иость решетки улучшается при увеличении не только числа щелей, ио и используемого порядка дифракции. Разре шающая способность прибора возрастает при работе в области более высоких порядков.
Соотношение (2.5.11) для угла, под которым появляет ся данный порядок, может быть понято с помощью очень
Ф и г. 2.5.3. Иллюстрация работы дифракционной решетки.
простых рассуждений. На фиг. 2.5.3 изображены две щели дифракционной решетки; показано направление распро странения двух плоских воли, исходящих из каждой щели. Концепция плоской волны в дифракционной картине заимствована из разложения по плоским волнам произ вольного поля [см. (1.3.23)1. Дифракционный лепесток может получиться только в том случае, если две волны, исходящие из соседних щелей, интерферируют, усилива ясь. Это означает, что точки В и С, показанные на фиг. 2.5.3, должны соответствовать одинаковым фазам. Это требование удовлетворяется, если отрезок АВ равен целому числу длин воли
АВ = 171К |
(2.5.14) |
или |
(2.5.15) |
a sin а — ink. |
В приближении малых углов, используемом при выводе, соотношения (2.5.11) и (2.5.15) совпадают.
G—087
82 |
Гласа 2 |
Дифракционную решетку, изображенную на фиг. 2.5.1, можно описать, введя функцию пропускания Т следующе го вида:
г 1 , х п—4 < х < я п + 4 ,
(2.5.16)
[ о , Х п — [ a — y ) < Х < Х П — Y
Соотношение (2.5.16) означает, что Т = 0 па непрозрач ной части решетки и Т -- 1 па щелях. Хотя мы п не сле довали этим путем, выражение (2.5.4) может быть получе но подстановкой
ф (х, Z) = Гф0 |
(2.5.17) |
вподынтегральное выражение интеграла (2.2.43). Дифракционную решетку можно получить, придав
функции пропускания не только форму, описываемую соотношением (2.5.16), но и в других случаях, когда функция пропускания периодична. Особый интерес для голографии имеет решетка, фуикция пропускания которой описывается синусоидальным законом
7” = 1 —/ cos 2л ~ . |
(2.5.18) |
Подставив выражения (2.3.29), (2.5.17) и (2.5.18) в (2.2.43),
получим
ф (х', |
2') |
фо |
e-ihro |
|
gin/4 X |
||||
ух |
||||
|
|
УцГ |
||
|
|
|
(N/2)a |
|
|
|
X |
^ ^ 1~Н cos 2я j е'ках dx. (2.5.19) |
|
|
|
|
-UV/2)а |
Можно сделать обычные приближения, применимые к слу чаю дифракции Фраунгофера, и использовать выраже ние (2.3.25) в показателе экспоненты под знаком интег рала. Легче всего вычислить интеграл, выразив косинус