ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 164
Скачиваний: 0
Теор ия с/ифракifии |
8S |
через экспоненты. В результате имеем
ЧЧ*'. z')
у а
N sin k a a —
х [ 2
ka
p \Z lf k ______ \/
VrT
|
|
N |
|
N |
sin (Aaa-j-2jt) |
2 |
sin (kaa— 2л) -у - . |
||
-1- i ------ |
2n |
|
2л |
]■ |
kaA- a |
|
ka — |
|
|
(2.5.20)
Действие такой синусоидальной решетки существенно отличается от действия щелевой решетки (2.5.6). В то время как щелевая решетка имеет бесконечно много лепе стков, дифракционная картина (2.5.20) имеет только три лепестка. Лепесток нулевого порядка соответствует перво му члепу в скобках. Этот член просто представляет диф ракционную картину щели, размер которой равен разме ру всей решетки. Этот лепесток очень узкий и имеет мак симум при а ~ 0. Каждый из других членов в скобках соответствует одному боковому лепестку. Существенной разницей между двумя решетками является появление множителя sin л (а/Х) а в знаменателе выражения для щелевой решетки. Этот мпожнтель отсутствует в выраже нии для синусоидальной решетки. Знаменатели в случае синусоидальной решетки обращаются в нуль только в од ной точке, в которой и возникает лепесток. Но они не обра щаются в нуль периодически, как в случае щелевой решет ки. Этот пример показывает, что можно сконструировать решетку, имеющую только по одному боковому лепестку с каждой стороны лепестка нулевого порядка.
Завершим рассмотрение дифракционных решеток ана лизом фазовых решеток. Две рассмотренные выше решетки модулировали амплитуду падающей волны по закону, заданному периодической функцией пропускания. Можно получить дифракционную решетку, модулируя не ампли туду, а фазу падающей плоской волны. Это можно сде лать, помещая на пути волны совершенно прозрачный предмет. Фаза прошедшей волны зависит от длины опти ческого пути света, проходящего через определенную часть прозрачного предмета. Изготовив стеклянную пластинку периодически меняющейся толщины, получим периодиче
6*
84 |
Глава Й |
скую фазовую модуляцию падающей плоской волны. Фазо вую решетку можно также осуществить с помощью зву ковых волн в жидкости. В комплексных обозначениях фазовую модуляцию можно представить просто, введя фазовый множитель для функции пропускания:
2' = е '[ 1-Н cos 2л(.-с/а)]_ |
(2 .5 .2 1 ) |
Подставив это выражение в соотношения (2.5.17) и (2.2.43), получим
! ' > Н |
т г е"‘,‘ |
w |
x |
|
Л/2 |
|
|
X |
j exp |
^l-(-if cos 2n-^-\-kax j j dx. (2.5.22) |
|
- Л / 2
Интеграл в этом выражении оцепить гораздо труднее, чем интегралы, вычисленные ранее. Чтобы получить представ ление о поведении фазовой решетки, начнем с прибли женного решения. Положим Ц 1 и пренебрежем члена ми второго и более высокого порядка по Л Это приближе ние позволяет получить следующее выражение:
|
- ihro |
|
Ф(я', =')- Ух |
е’ X |
|
У Г0 |
|
|
|
DIZ |
|
|
X | ^ 1 -\-U cos 2л |
j ei,iax clx. (2.5.23) |
|
-л/2 |
|
За исключением |
фазового множителя |
перед интегралом |
и того факта, что вместо t в выражении появилось t, умноженное на г, выражение (2.5.23) идентично форму ле (2.5.19) для синусоидальной амплитудной решетки. Выражение (2.5.20) дает сразу решение задачи о фазовой решетке после замены t на it и умножения всего выра жения на несущественный фазовый множитель е 1. Таким образом, видно, что при малых значениях t имеется толь ко три лепестка: лепесток нулевого порядка, соответствую щий щели шириной, равной полной ширине решетки, и два боковых лепестка первого порядка по обе стороны щели. Однако этот результат не точный. Если в выраже нии функции пропускания (2.5.21) сохранить члены более
Теория дифракции |
85 |
высокого порядка, то получим лепестки дополнительных дифракционных порядков. Согласно формуле (2.5.20), максимуму лепестка первого порядка соответствует равен ство
которое через длину волны выражается следующим ооразом:
a - j = ± l . |
(2.5.24) |
Главные максимумы произвольных порядков соответствуют
а |
(2.5.25) |
а — = т, |
где ш — любое положительное пли отрицательное целое число или нуль. Чтобы проверить это утверждение и полу чить выражение, которое позволит определить амплитуды максимумов в каждом порядке, а также ширипу лепестка, положили
|
|
|
|
a |
|
. |
(2.5.20) |
|
|
|
v = a ^ - = |
—m-{-e, |
|||
где m — целое, a |
|
e < |
1. |
|
(2.5.27) |
||
|
|
|
|
|
|||
Вводя новую переменную |
|
|
|
||||
|
|
|
|
2л -а= 0 ,’ |
|
(2.5.28) |
|
получим из |
формулы |
(2.5.22) |
|
|
|
||
\\А х' |
— а |
1|)0 |
е<"/4 |
e~iftr° |
gi |
>< |
|
1( x , z')) - a y i |
e |
y |
2„X |
|
|||
|
|
|
|
я (П/n) |
|
|
|
|
|
|
|
X |
[ |
ei(ve+i cos e) d 0 . |
(2 .5 .2 9 ) |
—лРо.'п)
Разделидг пределы интегрирования на участки длиной 2л.
Используя |
выражение |
(2.5.1), |
получим |
|
л(D/a) |
|
|
|
|
1 = j |
e i(v0+(cos 0) ^ 0 __ |
|
|
|
-л (D/a) |
|
N / 2 |
(2п+1)я |
|
|
|
|||
|
= |
2 |
i |
e;(v0-!-t cosO) do. (2.5.30) |
n= -JV/2 (2 n - 1)л
8G Глава 2
Используя соотношения (2.Г).26) и (2.6.27), можно запи
сать приближенное |
равенство |
|
|
|
||||
|
|
|
Лг/ 2 |
(2п +1)я |
|
|
||
|
|
I — |
2 |
|
ei2njte |
j |
ei(-7n0+<cos0) f/0. (2.5.31) |
|
|
|
|
n = - N / 2 |
(271- 1)я |
|
|
||
Из-за |
малости |
величины е функция eie0 почти постоянна |
||||||
в пределах |
интегрирования |
и вынесена из-под |
знака |
|||||
интеграла. |
Оставшееся в (2.5.31) |
подынтегральное |
выра |
|||||
жение |
является |
периодической функцией с периодом |
||||||
2я. Пределы интегрирования пптеграла по полному периоду периодической функции могут быть сдвинуты без изменения величины интеграла. Фактически надо
только заменить 9 |
на 0' |
+ |
2шт, чтобы получить |
|
JV/2 |
|
я |
|
|
1 = ^ |
е '2ппг |
j |
gi(—m0'+( cos 0') ^0'_ |
(2.5 .32) |
n= -JV /2 |
|
- я |
|
|
Интеграл в этом выражении является функцией Бесселя. Одно из интегральных представлеипй функции Бесселя [111 имеет вид
Л |
|
/ п (з) = - ^ | ei(-n0+zsin0>do. |
(2.5.33) |
—ТС
Вводя
0= 0 '+ - ^
и сдвигая область интегрирования периодической функ ции, чтобы снова ее сделать симметричной, получим
- 1п (я /2 ) |
» |
(2.5.34) |
/ n(z) |
| ei(-n0+2 COS 0)^0. |
— Я
Выражение (2.5.34) позволяет переписать соотношение
(2.5.32) в виде
JV/2 |
|
(2.5.35) |
/= 2 я е ’т Ся/2>/т (г) 2 |
ei2nne' |
n = - N / 2
Теория дифракции |
87 |
Суммирование |
уже было проведено |
в (2.5.5), |
так |
что |
из соотношения (2.5.29) получаем |
|
|
|
|
4 (*', z') = a |
iftro |
/ т (г) х |
|
|
eUfm+l/2)^+l] |
|
|
||
|
sin яе СУ- И ) ^ |
|
5 |
|
|
|
яе |
х |
' |
Здесь sin (яе) заменен па яе.
Из соотношения |
(2.5.36) |
видно, что амплитуды рас |
||
сеянного |
излучения |
становятся большими |
только при |
|
е = 0. В |
этой точке |
|
|
|
|
Шп —п |
1) ■■==/У 1. |
(2.5.37) |
|
|
Е-0 |
Я8 |
|
|
Как было указано выше, главные дифракционные макси мумы приходятся на целые значения а (а/Х) в соответст вии с формулой (2.5.26). Фазовая решетка имеет беско нечно много максимумов, амплитуда которых спадает как функция Бесселя ??г-го порядка
J m (t). |
(2.5.38) |
В табл. 2.5.1 приведены некоторые зпачения J m (t).
Таблица 2.5.1
Выборочные значения функции Бесселя J m (t) для различных значений порядка т н аргумента t
t
771 |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
1,0 |
|
|||||
0 |
9,90-10-1 |
9,60-10-1 |
9,12-10-1 |
8,46-10-1 |
7,65-10-1 |
1 |
9,95-10-2 |
1,96-10-1 |
2,87-10-* |
3,69-10-1 |
4,40-10-1 |
2 |
4 ,98-Ю -з |
1,97-10-2 |
4,37-10-2 |
7,58-10-2 |
1,15-10-2 |
3 |
1,66-10-1 |
1 ,3 2 -1 0 -3 |
4 ,4 0 -1 0 -3 |
1,02-10-2 |
1,96-10-2 |
4 |
4,16-10-6 |
6,61IO- 5 |
3,31-10-1 |
1 ,03-10-з |
2,48-Ю -з |
5 |
8,32-Ю -з |
2,65-10-6 |
1,99-10-5 |
8,31-10-5 |
2,50-10-1 |
6 |
1,39-10-» |
8,84-10-8 |
1,00-10-6 |
5,56-10-6 |
2,09-10-5 |
Амплитуды дифракционных максимумов не только уменьшаются при возрастании порядка т, но они также