ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 182
Скачиваний: 0
126 |
Глава 3 |
Решение задачи (3.4.5) хорошо известно в вариацион ном исчислении и нет необходимости приводить ого здесь [20]. Оно дается уравнениями Эйлера для вариационной задачи
d |
0L |
0L |
=0, |
(3.4.7) |
|
dz |
дх' |
дх |
|
|
|
d |
дЬ |
дЬ |
: 0. |
(3.4.8) |
|
dz |
ду' |
ду |
|||
|
|
Подстановка выражения (3.4.6) приводит к
|
|
То |
дп |
(3.4.9) |
dz y i + |
*<34 . 1/'2 |
/ • l + ar'a+ j r |
дх |
|
d. |
ту' |
|
|
(3.4.10) |
У1- |
у |
|
|
|
|
|
|
С помощью формулы (3.4.3) эти уравнения можно записать в более сжатой форме:
£ ( » £ ) = ■ £ . |
(з л -щ |
Т ( » £ ) = £ ■ |
( 3 . 4 . 1 4 |
Сравнение формул (3.4.11) и (3.4.12) с (3.2.16) показывает их идентичность. В самом деле, из принципа Ферма следу ет, что двух уравнений (3.4.11) н (3.4.12) должно быть достаточно для определения траектории луча. Это свиде тельствует о том, что z-компонента уравнения луча являет ся лишней. Действительно, можно показать, что соот ветствующее уравнение для z можно получить из уравне ний для х и у. Для облегчения этого доказательства преоб разуем соотношение (3.4.3) к виду
yi+ x'* + y'* -- |
ds |
ds |
|
|
|
V(rfs)2 — dx2 — rfi/2 |
|
||
|
|
|
||
|
|
1 |
(3.4.13) |
|
|
|
2-г/2 |
||
Здесь |
|
|
||
|
|
|
||
|
dx |
dy |
(3.4.14) |
|
X ~~ ds ’ |
ds ' |
|||
|
||||
Геометрическая оптика |
127 |
Далее
(1 — х2 — yt) -J L .— n { x x + у у)
= ---------- л/.— ~.... ................. |
• |
(3-4.15) |
V l - * 2 _ j 2 |
|
|
Из формулы (3.4.11) путем умножения на х получаем
'“ ■■■ |
• дп ■, |
dn |
|
11ХХ = |
Х -Z----- X" -3—, |
||
|
дх |
ds |
’ |
н из (3.4.12) аналогично следует |
|
|
|
|
• дп |
dn |
|
™ j y = y j j — r |
w |
|
|
Используя эти уравнения, упростим (3.4.15):
d I dz \ |
dn |
■ дп |
■ дп |
ds |
Х дх |
У ду |
С помощью соотношения
d n |
дп |
dz |
, |
дп |
dx |
, |
дп |
dy |
ds |
dz |
ds |
' |
дх |
ds |
' |
dy |
ds |
и используя (3.4.13), получаем окончательно
* - ( » £ ) = £ • |
'(*■«■“ ) |
Таким образом, получена s-составляющая векторного уравнения луча (3.2.16) при условии, чго не все трп ком поненты этого уравнения являются независимыми. Урав нений (3.4.11) н (3.4.12) достаточно для описания траекто рий лучей.
3.5.ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА ЛУЧЕВОЙ ОПТИКИ
Аналогия между лучевой оптикой и механикой стано вится наиболее явной, если выразить уравнения лучевой оптики в гамильтоновой форме. Предполагается, что чита-
128 |
Глава 3 |
тель знаком с уравнениями движения Гамильтона [19]. Переход от уравнений Эйлера (в механике они обычно называются уравнениями Лагранжа) к уравнениям Гамиль тона достигается следующим образом. Начнем с введения обобщенных импульсов рх и ру, которые рассматриваются как переменные, канонически сопряженные с х и у. Обоб
щенные импульсы задаются уравнениями
__ |
0L |
(3.5.2) |
|
Р у ~ |
ду' ■ |
||
|
|||
Далее определим гамильтониан соотношением |
|
||
Щ х , У, Рх , Py) = |
P x X ' J r P , j l j ' — L . |
(3.5.3) |
|
Лагранжиан L дается формулой (3.4.6). Ключевым момен том в этом определении является выбор независимых пере менных для гамильтониана Л. Предполагается, что лаг ранжиан зависит от х, у, х' н у' , как это следует из (3.4.6). По определению независимыми переменными гамильто ниана являются х , у, рх и ру. Замена переменных дости гается, если заменить х’ и у' на рх и ру с помощью формул (3.5.1) н (3.5.2). Наличие различных независимых пере менных указывает на то, что рх, ру, х' и у' считаются здесь независимыми от х и у, тогда как х' и у' зависят от рх н ру. Воспользовавшись взаимной зависимостью этих перемен ных, получаем
д П |
. |
| „ |
дх' |
| ^ ду' |
dL |
дх' |
дЬ |
ду' |
дрх |
Х |
^ |
дрх |
Р у дрх |
дх' |
дрх |
ду' |
дрх |
Использование соотношений (3.5.1) и (3.5.2) с учетом фор мул (3.4.4) дает одно из уравнепий Гамильтона:
d x __ дН
(3.5.4)
dz д
С помощью аналогичного вычисления получаем также, что
dy |
dll |
(3.5.5) |
|
dz |
дру |
||
|
Остальные два уравнения находятся из (3.5.3).
дН |
дЬ |
(3.5.6) |
|
дх |
дх |
||
|
Геометрическая оптика |
129 |
Уравнения (3.4.7) и (3.5.1) позволяют записать
dpx дН
dz дх
(3.5.7)
Аналогично получаем последнее из уравнений Гамильтона
dPy __ |
дН |
(3.5.8) |
|
dz |
ду |
||
|
Чтобы завершить формулировку лучевой оптики в гамиль тоновой форме, необходимо записать гамильтониан через соответствующие переменные. Это достигается выражени ем х' и у' через рх и ру на основании формул (3.5.1) и (3.5.2). Из формулы (3.5.1) с учетом соотношения (3.4.6) имеем
Рх |
|
пх' |
(3.5.9) |
|
У 1+*'2+0'а |
||||
а из (3.5.2) находим, что |
|
|||
|
|
|
||
Р и = — |
по' |
(3.5.10) |
||
— . |
||||
‘ y i - Ь д г ' 2 + ^ ' 2
Эти уравнения можно решить относительно х' и у', что дает
(3.5.11)
1//12- ■ Р х - Р у
и
Ру
(3.5.12)
У ”2— Рх- •Ру
Используем эти соотношения, чтобы получить гамильто ниан в его обычном виде:
Н = — У п2 — р%— ру‘. |
(3.5.13) |
Влучевой оптике гамильтониан имеет некоторое сходство
срелятивистской энергией точечной частицы с массой покоя т0 [21]
Е = с У mlc2-\-pi-\--pl-j-pl |
(3.5.14) |
Однако сходство между гамильтонианом лучевой оптики и гамильтонианом точечной частицы наиболее ярко выра жено в «нерелятивистском» приближении. Аналогом меха нического нерелятивистского случая является паракси альное приближение, с которым мы уже встречались
fl-087