Файл: Маркузе, Д. Оптические волноводы.pdf

аналогия приводит нас к квантовой теории световых лучей. Приведенное волновое уравнение получается из эквива­ лента релятивистского уравнения Клейна — Гордона [22] волновой механики, тогда как геометрооптический экви­ валент обычного нерелятивистского уравнения Шредингера следует из параксиального приближения. Эйхман [66] сумел сделать еще один шаг. Он построил теорию луче­ вой оптики в духе Дирака и показал, что уравнение Дира­ ка для световых лучей эквивалентно уравнениям Максвел­ ла, не зависящим от времени.

Квантование в физической теории осуществляется путем замены физических величии операторами. Б волно­ вой механике координаты по-прежнему остаются числами, но канонически сопряженные переменные — импульсы — становятся дифференциальными операторами [5, 10]:

Мы воздержались от обозначения постоянной в уравнени­ ях (3.6.1) и (3.6.2) обычным символом к , так как наша кван­ товая теория несколько отличается от обычной квантовой механики дискретных частиц. Временная координата механики заменяется на координату z. Поэтому временная координата в постоянной Планка также должна быть заменена координатой длины, и Ь уже нельзя считать имеющей размерность энергии, умноженной на время. Вместо этого постоянная к, введенная вместо к, должна иметь размерность гамильтониана, умноженного на длину. Гамильтониан (3.5.13) является безразмерным, поэтому к имеет размерность длины.

В классической квантовой механике энергия оператора Гамильтона выражается с помощью производной по време­

опять используя соответствие между переменными «время» и «длина».

В релятивистской квантовой механике принято возво­ дить в квадрат соотношение (3.6.3), т. е. не использовать для операторов выражения через квадратные корни. Поэ­ тому запишем

Применение этого операторного соотношения к волновой функции дает геометрооптический эквивалент релятивист­ ского волнового уравнения. Это уравнение называют уравнением Клейна — Гордона [22], чтобы отличить его от обычного нерелятивистского уравнения Шредипгера. Используя формулы (3.5.13), (3.6.1) и (3.6.2) и применяя (3.6.4) к волновой функции, получаем уравнение Клейна— Гордона квантовой теории лучевой оптики:

Перегруппировка членов уравнения дает/

Очевидно, что это волновое уравнение квантовой теории геометрической оптики идентично приведенному волново­ му уравнению (3.2.1), которое для данного, интересующего нас случая запишем в виде

с тем, чтобы использовать понятие длины волны в свобод­ ном пространстве А,0. Сравнение двух уравнений позво­ ляет определить постоянную х:

Это более чем удовлетворительный результат. Постоянная х эквивалентна квантовомеханической постоянной h. Для квантовой теории характерно, что ее результаты совпадают с результатами классической механики при h -> 0. Можно ожидать, что результаты квантовой теории лучевой оптики совпадают с результатами геометрической оптики при х — 0. Однако, как видим теперь, этот предел эквивален­ тен пределу А,0 —>- 0. Из предыдущего вывода уравнений

m Глава 3

лучевой оптики из волновой оптики известно, что уравне­

Очень удобно, что постоянная Планка квантовой теории лучевой оптики оказывается длиной волны света в вакууме.

Можно непосредственно использовать все хорошо известные результаты квантовой механики и применить их к квантовой теории лучевой оптики, которая, как мы показали, идентична скалярной волновой теории света или любого другого явления, описываемого волновым урав­ нением. На практике установление эквивалентности волно­ вой оптики и квантовой теории лучей приносит больше пользы лучевой оптике, чем волновой. Волновая оптика является сама по себе полной теорией. Однако граница применимости лучевой оптики — вопрос открытый, так как лучевая оптика является всего лишь приближенной теорией. Поскольку лучевая оптика — это «классическая механика» волновой оптики, то можно использовать наши знания классической н волновой механики в качестве руководства для оценки справедливости п применимости лучевой оптики. Квантовая механика не заменяет класси­ ческую механику. Последняя используется в тех областях, где она считается применимой. Известно, например, что движение электронов в электрическом и магнитном полях с большой точностью описывается законами классической механики. Только в случае очень сплыгых полей, напри­ мер вблизи ядер, мы вынуждены использовать квантовую механику для правильного описания движения электро­ нов. В этом случае классическая механика бессильна. Известно также, что классическая механика неприменима, когда электрон проявляет свою волновую природу. Эти аналогии могут быть использованы в качестве руковод­ ства при выборе лучевой или волновой оптики для конкрет­ ной оптической задачи, а теорема Эренфеста [22] помогает установить пределы классической механики. Позднее в этом разделе будут рассмотрены эти вопросы и сделаны соответствующие выводы о применимости лучевой оптики.

Первым промежуточным результатом развитой здесь квантовой теории лучевой оптики является параксиальное приближение для приведенного волнового уравнения. Мы неоднократно указывали, что параксиальное прибли­ жение соответствует нерелятивистской механике. Подста­

новка параксиального гамильтониана (3.5.17) в оператор­ ное уравнение (3.6.3) позволяет получить геометроопти­ ческий эквивалент нерелятивистского уравнения Шредингера. Это уравнение также является параксиальным приближением приведенного волнового уравнения. Оно имеет вид

Перегруппировав члены, получим параксиальное волновое уравнение

Уравнение (3.6.9) имеет вид нерелятивистского уравнения Шредиигера.

Другим важным уравнением квантовой механики является уравнение собственных значений энергии

которое можно переписать в виде, более удобном для реля­ тивистского гамильтониана:

Из формул (3.5.17) и (3.6.11) получаем уравнение соб­ ственных значений энергии для параксиального случая

Используя волновую функцию вида [знак показателя экспоненты сравните с (3.6.27)]

с постоянной распространения р и сравнивая уравнение (3.6.9) с уравнением собственных значений энергии (3.6.13), находим, что собственное значение Е пропорционально постоянной распространения

Тот же результат можно получить из равенства (3.6.12). Выражение (3.6.15) является эквивалентом квантовоме­

Можно также записать волновое уравнение в простран­ стве импульсов [10]. Для этого преобразования нужно знать собственные функции и собственные значения импульсов. Уравнение собственных значений для опера­ тора импульса рх, определяемого формулой (3.6.1), имеет вид

Решением этого уравнения является собственная функция импульса, соответствующая к собственному значению импульса рх:

Множитель (2я)-1/2 необходим для правильной нормиров­ ки собственной функции импульса; фазовая функция ф произвольна. Поскольку спектр собственных значений собственной функции непрерывен, эта функция должна быть нормирована на дельта-функцию:

— оо — оо

Чтобы можно было дать физическую интерпретацию соб­ ственной функции импульса, нужно выбрать ее фазу ф та­ кой, что фр,; также становится решением уравнения Клей­ на — Гордона (3.6.5). Пробное решение

является решением релятивистского уравнения Шредингера (3.6.5), если имеет место следующее соотношение:

где показатель преломления есть постоянная (п = п0). Это означает, что собственная функция импульса может быть физическим состоянием, т. е. удовлетворять уравне­ нию Шредингера, только в том случае, когда показатель преломления п постоянен в пространстве. Если это требо­ вание удовлетворено, собственное состояние импульса существует и представляет собой плоскую волну, распро-

стреляющуюся в направлении вектора

{ех и ez — единичные векторы в направлении осей i h z ). Этот результат согласуется с пашей физической интер­ претацией лучевой оптики. Собственное состояние импуль­ са может существовать как физическое состояние только тогда, когда каждое измерение (проведенное для опреде­ ления величины «импульса» лучей) дает один и тот же точный результат. В соответствии с формулой (3.5.38) «импульс» лучей определяет пх наклон. Световой луч может иметь определенный наклон в рассматриваемой системе координат, если он соответствует плоской волне. Лучи являются траекториями, ортогональными фазовым фронтам сопровождающей волны. Если фазовые фронты изогнуты, наклоны лучей — пх «импульсы» — различны в разных частях пространства. Поэтому собственное «им­ пульсное» состояние должно быть плоской волной. При выбранных нами постоянных выражение (3.6.23) описы­ вает плоскую волну, распространяющуюся в отрицатель­ ном направлении вектора р, если используем для него вре­ менную зависимость в виде множителя

еш . (3.6.26)

Волновая функция, являющаяся одновременно собствен­ ной функцией операторов рх и ру, представляет собой плос­ кую волну более общего вида

Эта волна является решением релятивистского уравнения Шредннгера (3.6.5) в случае постоянного п = п0, если выполняется условие

Если бы мы потребовали, чтобы собственная функция импульса была решением нерелятивистского уравнения Шредннгера (3.6.9), то получили бы соотношение

которое, конечно, соответствует параксиальному прибли­ жению уравнения (3.6.28) при p z та щ, т. е. своему парак­ сиальному значению.

Теперь можно выполнить преобразование произволь­ ной волновой функции ф в пространство импульсов. Это преобразование имеет вид

п о СЮ

ф ( Рх , Ру, Z)= 2^ ]' ] г1’ (ж>У’ z) е~<гШрхх+руу) dx dy. (3.6.30)

—00—00

Вероятность нахождения луча с составляющими «импуль­ са» рх, ру в интервале dpx dpv дается формулой

Обратное преобразование (3.6.30) представляет трудную задачу, так как диапазон физически возможных значений рх и ру заключен между —п и п. Однако если к — очень малая величина, так что диапазон значений рх/к заключен между — 2яп/\0 и + 2яп/Х0, то при очень малых значени­ ях А,„ интервал интегрирования весьма широк. Можно предположить, что функция ф(рт, ру) становится исчезаю­ ще малой вблизи границ интервала интегрирования, так как вероятность прохождения лучей перпендикулярно оси в большинстве практических случаев должна быть очень близкой к нулю. Заметной ошибки не будет допущено, если положить ф = 0 вне физического интервала интегрирова­ ния и распространить этот интервал от — оо до + о о . В та­ ком случае преобразование (3.6.30) можно рассматривать как интегральное преобразование Фурье с обратным пре­ образованием

Трактовка волновой функции как амплитуды вероятности позволяет сразу же определить математическое ожида­ ние [10, 22] всех операторов, появляющихся в квантовой теории лучей. Для любого оператора А можно определить