ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 180
Скачиваний: 0
130 |
Глава 3 |
в разд. 3.2 [см. уравнения (3.2.18) и (3.2.19)1. Производные х' н у' описывают наклон луча по отношению к оси ъ. В параксиальном приближении принимается, что наклон луча очень мал и поэтому можно принять
* 4 1 . / « ! • |
(3-5.15) |
Соотношения (3.5.9) и (3.5.10) требуют, чтобы выполнялись следующие условия:
/Р х < п , |
(3.5.16) |
Это позволяет разложить |
квадратный корень в (3.5.13) |
и получить гамильтониан лучевой оптики в параксиальном приближении:
11 = |
2«о |
-гг. |
4(3.5.17) |
Необходимо также выразить |
показательпреломления |
||
в видесуммы постоянной части п0 и небольшой, |
изменяю |
||
щейся в пространстве части Д/г: |
|
||
гг = |
гг0 — Агг. |
(3.5.18) |
|
Это соотношение является необходимым для параксиаль ного приближения, так как еслн показатель преломления резко изменяется в пространстве, то, вероятно, встретим ся с лучами, имеющими большие наклоны. Условие
Дгг<^гг0 |
(3.5.19) |
вместе с (3.5.16) позволяет заменить гг на гг0 в зависящей от р части гамильтониана. Дифференциальные уравнения лучевой о п т и к и неприменимы при разрывах непрерывно сти диэлектрической проницаемости, когда Дгг не является малой. Однако разрывы непрерывности могут быть учтены путем сшивания решений для непрерывных участков с по мощью граничных условий.
Параксиальный гамильтониан геометрической оптики тесно связан с иерелятивистским гамильтонианом механи ки точечных частиц [19]:
Н = |
(3.5.20) |
Задачи лучевой оптики имеют на одно измерение меньше по сравнению с соответствующими задачами механики
Геометрическая опт ика |
131 |
точечных частиц. Потенциал частицы V заменяется на по казатель преломления оптической среды. Разница в зна ке двух потенциальных членов не является существенной. Действительно, можно использовать Ап из (3.5.18) в ка честве потенциала лучевой оптики и достичь полного соот ветствия даже в знаке потенциального члена. Аддитивная постоянная п0не имеет физического смысла, так как любой потенциал определяется с точностью до произвольной постоянной. Уравнение в частных производных Гамильто на — Якоби [19]
as_+ tf (*, IJ, 2 ,- g - dS |
dS \ __, |
(3.5.21) |
dt |
|
|
играет важную роль в гамильтоновой механике точечных частиц. Функция S введена как решение уравнения в част ных производных Гамильтона — Якоби (3.5.21). Произ водные S по координатам заменяют импульсы в функции Гамильтона. В соответствии с общей связью между меха никой и лучевой оптикой нужно заменить временную коор динату t пространственной переменной z и понизить раз мерность задачи на единицу. Таким образом получаем уравнение Гамильтона — Якоби для лучевой оптики
as _ |
dS_ |
dS \ |
‘ |
(3.5.22) |
|
dz |
дх |
ду ) |
|||
|
Возводя в квадрат обе части этого уравнения и учитывая точное выражение (3.5.13) для гамильтониана, получаем
/ OS \ |
2 |
/ |
0S |
\2 |
(3.5.23) |
V дх ) |
|
\ |
ду |
) |
|
|
|
Как видим, вновь пришли к уравнению эйконала (3.2.5)
(VS)2 = ?z2. |
(3.5.24) |
Таким образом, мы описали полный круг, получив уравнение эйконала, которое являлось исходным при выводе уравнения луча в разд. 3.2. Поэтому вывод уравне ний геометрической оптики из принципа Ферма полностго эквивалентен предыдущему выводу из приведенного волнового уравнения. Газличные выводы законов меха ники или лучевой оптики из вариационного принципа типичны для вариационных задач такого рода. Эта взаимо связь между вариационным принципом, уравнениями дви-
9*
132 |
Глава 3 |
жеиия в форме лагранжиана или гамильтониана и урав нением в частных производных Гамильтона — Якоби хорошо прослежена в классической книге Куранта [4].
Как увидим в следующем разделе, можно нойтн еще дальше и вывести волновое уравнение как уравнение Клейна — Гордона релятивистской механики для лучевой
оптики.
Возвращаясь к дифференциальным уравнениям Гамиль тона (3.5.4), (3.5.5), (3.5.7) и (3.5.8), покажем, что они тоже эквивалентны уравнению луча. Используя формулы (3.5.4) и (3.5.5), из гамильтониана (3.5.13) получаем
и
ds dz
Эта формула
dx |
1 |
|
Px |
|
|
(3.5.25) |
|
dz |
< tc 1 25* 1 |
|
|
|
|||
' |
|
|
P'v |
|
|||
|
|
|
|
|
|||
dy |
|
|
Py |
|
|
(3.5.26) |
|
dz |
V « 2- P l — Ру |
|
|||||
|
|
||||||
|
|
3.5.12)]. |
|||||
уже были получены [см. (3. |
|||||||
i.7) и (3..5.8) имеем |
|
дп |
|
||||
d-Px |
|
|
n |
|
(3.5.27) |
||
V n z — Px — P'i■ |
дх ’ |
||||||
dz |
|
||||||
дру __ |
|
n |
|
дп |
(3.5.28) |
||
dz |
< |
7c |
1 *a 1 *53 |
и |
ду |
||
|
|||||||
(3.5.25) |
|
||||||
|
|
|
|
||||
и (3.5.26) находим |
|
||||||
= y i + * ' s+ |
|
j ' ;,= y = |
p |
(3.5.29) |
|||
позволяет |
упростить |
(3.5.27) |
и (3.5.28): |
||||
|
dpx __ дп |
|
|
(3.5.30) |
|||
|
ds |
дх ’ |
|
|
|||
|
|
|
|
||||
|
dPy |
дп |
|
|
(3.5.31) |
||
|
ds |
ду |
|
|
|||
|
|
|
|
||||
Используя еще раз формулу (3.5.29), из равенств(3.5.25) и (3.5.26) получаем обобщенные импульсы в простом виде:
рх= п%г |
(3.5.32) |
и
dy
P» = n w
(3.5.33)
Геометрическая оптика |
133 |
Подстановка выражепия (3.5.32) в равенство (3.5.30) дает составляющую х уравнения луча (3.2.16) или (3.4.11). Составляющая у вычисляется из двух других уравнений.
Параксиальное приближение лучевого уравнения полу чается сразу же, если воспользоваться параксиальным приближением гамильтониана в уравнениях Гамильтона.
Из формул (3.5.4) и (3.5.17) имеем
dx 1
(3.5.34)
dz п0 Р*'
Уравнения (3.5.7) и (3.5.17) приводят к соотношению
dpx |
дп |
(3.5.35) |
|
dz |
дх |
||
|
Объединение равенств (3.5.34) и (3.5.35) дает х-составляю- щую параксиального лучевого уравнения
dzx |
дп |
(3.5.36) |
|
П° dz2 |
дх |
||
|
Соответствующая ^-составляющая равна
dzy __ дп
(3.5.37)
dz2 ду
Эти уравнения имеют здесь более подходящий вид, чем форма (3.2.19), так как показатель преломления в левой части заменен его средним значением п0. Это необходимо в случае параксиального приближения, так как произве дения Ап из (3.5.18) и производных от х и у по z являются членами второго порядка малости, которыми следует пре небречь в случае последовательного приближения первого порядка.
На фиг. 3.5.1 и 3.5.2 показаны участок светового луча и углы, которые он образует с плоскостями х, z и у, z. Обобщенные моменты (3.5.32) и (3.5.33) можно выразить через углы ах и ау:
рх= п sines*, |
(3.5.38) |
p,/= 7 2 s in a !/. |
(3.5.39) |
Если считать плоскость х, у границей между двумя среда ми с различными диэлектрическими проницаемостями и расположить систему координат так, что луч, проходя щий через границу нз одной среды в другую, распростра
134 |
Глава 3 |
няется в плоскости у, z, то можно выразить закон Снеллиуса (3.3.6) через обобщенные импульсы следующим образом:
(P * )i = (P * )a = 0 , |
(3.5.40) |
|
( P y ) i - ( P u ) z - |
||
|
Обобщенные импульсы, таким образом, сохраняются при прохождении луча из одной среды в другую. Этот резуль-
Ф и г. 3.5.2. Определение угла а х.
Геометр ическая опт ика |
135 |
тат следует из соотношений (3.5.30) и (3.5.31), потому что при нашем выборе системы координат везде (включая гра ницу) дп!дх = 0, дп/ду — 0, и, следовательно, рх и ру долж ны быть постоянными.
Обобщенный импульс луча нельзя путать с импульсом фотона. Они ие имеют ничего общего. Импульс фотона это действительный механический импульс, которым обла дает фотон, тогда как обобщенный импульс светового луча был получен чисто формально из гамильтонова формализ ма лучевой оптики. Обобщенный импульс светового луча описывает его наклон по отношению к фиксированным ко ординатным осям.
3.6. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СВЕТОВЫХ ЛУЧЕЙ Й
Принцип Ферма позволил получить основные уравне ния геометрической оптики, ранее выведенные из приве денного волнового уравнения. Однако чисто алгебраиче ские выкладки ие могут привести к успеху при получении волнового уравнения из принципа Ферма, так как мы пре небрегли некоторыми членами при выводе уравнений луче вой оптики из волновой оптики. Эти отброшенные члены лишний раз напоминают о том, что геометрическая оптика является лишь приближением волновой оптики и ие может описывать оптические явления так же полно, как волновая оптика. В этом разделе покажем, что волновое уравнение все же может быть получено из лучевой оптики, но не про сто с помощью алгебраических преобразований, а скорее при использовании дополнительного условия — кванто вания. Применение правил квантовой механики к луче вой оптике приводит к квантовой теории световых лучей [42]. Оказывается, однако~что такая теория идентична скалярной волновой теории, использующей прнведенное волновое уравнение. £Г предыдущем разделе было ука зано, что точные (в рамках лучевой оптики) уравнения лучевой оптики эквивалентны уравнениям релятивистской механики и что уравнения параксиальной оптики экви валентны уравнениям нерелятивистской механики. Эта
Й Этот раздел не является существенным для понимания дальнейшего изложения. Читатели, пе знакомые с квантовой меха никой, могут его пропустить.