ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 234
Скачиваний: 0
318 |
Глава 6 |
(6.4.36) |
видно, что ширина гауссова пучка внутри линзо |
вого волповода колеблется с периодом А/2. Таким обра зом, колебание ширины пучка происходит вдвое быстрее, чем колебание луча.
Соотношение (6.4.36) может быть записано в форме, которая более явно показывает зависимость от параметров
колебаний: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w l = |
U 2 с о р (2п - |
1) 0 + F 3 sin (2и- |
1) 0 + IT3, |
(6.4,39) |
|||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и--. |
|
|
a |
|
KL . |
iiif |
^ / |
KL \ 2 |
cos О |
|
|||
2 r.ns2 — |
1 |
|
Я V wl |
0 |
\ ЛШ0 / |
. . „ 0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
4sm2-=- |
J |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.4.40) |
|
V-- |
|
|
|
7T— |
\ V - 4 - - 1 - 4 - - ^ г ’| |
(6.4.41) |
|||||||
|
2 cos2 -у sin |
0 |
я |
[. У |
|
|
2 |
jiwq |
j |
' |
1 |
||
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
IT3: |
0 |
Г a |
|
KL / |
w\ |
|
, , / KL \ 2 |
1 |
0 |
|
|||
\ U 1 |
n |
V |
leg |
|
\ |
яиц ) |
/ . |
9 |
|
||||
2 cos2— |
L |
|
|
|
|
|
|
|
4sin2T |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.4.42) |
|
Гауссов пучок является модой линзового волновода, если его ширина остается пепзмеииой на каждой линзе. Гауссов пучок, введенный в линзовый волновод, харак теризуется полушириной w0 в наиболее узкой части пучка и полушириной Wi на первой линзе. Эти два параметра можно варьировать как угодно. Нормальная мода имеет место при условии С/2 = V2 — 0, при этом wn — = W. Требование У2 = 0 приводит к условию
KL
2лш() (6.4.43)
Требование W = с учетом (6.4.43) дает
Щ |
KL |
(6.4.44) |
|
ЛШо |
|||
|
|
Легко показать подстановкой (6.4.43) и (6.4.44) в (6.4.40), что U2 = 0. Именно таким способом можно решить
Гауссовы пучки |
319 |
совместно три уравнения с двумя переменными. Подста новка выражения (6.4.44) в (6.4.43) позволяет определить
„2 _ |
1 |
хь |
(6.4.45) |
|
U1 |
sinl) |
л |
||
|
||||
и |
XL , |
0 |
|
|
. |
(6.4.46) |
|||
’° '= !S rctS T - |
||||
|
||||
Таким образом можно решить задачу о нахождении мод линзового волновода общего вида с большой апертурой. В разд. 5.6 было получено решение интегрального урав нения только для частного случая конфокального линзо вого волновода. Теория преобразования гауссовых мод Когельника [67] дает возможность решить общую задачу простым и изящным путем. Моды линзового волновода описываются выражением (6.3.20), где w0 и w определя ются формулами (6.4.46) и (6.2.7), a R определяется выра жением (6.2.13). Применяя эти формулы, нужно помнить, что начало координаты длины z находится в наиболее узкой части пучка. Вследствие симметрии системы ока зывается, что наиболее узкая часть пучка расположена
посередине |
между линзами. |
|
|
|
Чтобы выразить параметр ширины пучка через размеры |
||||
волновода |
и |
фокусные расстояния линз, исключим 0 |
||
из (6.4.45) |
и |
(6.4.46) с учетом |
(5.2.6): |
|
|
|
2А./ |
1/2 |
(6.4.47) |
|
|
И>1 = |
|
|
|
|
71 }//r~z |
1 |
|
Здесь и?! — половина ширины пучка на линзе. Полуши рина пучка в середине промежутка между двумя линзами равна
(6.4.48)
В частном случае конфокального линзового волновода
при L = 2/ имеем |
|
|
w°= |/ |
I T |
(6.4.49) |
|
||
и |
|
|
wl= y r2 w0. |
(6.4.50) |
|
Формула (6.4.50) согласуется |
с (5.6.21). |
|
320 Глава в
Поскольку существует взаимосвязь между линзовым волноводом и лазерным резонатором, полученное решение задачи о модах произвольного линзового волновода при менимо также к модам лазерных резонаторов с зеркалами произвольной кривизны. И конечно, это позволяет решить задачу о модах в линзовом волноводе с чередующимися линзами, имеющими разные фокусные расстояния (см. разд. 5.2). Однако мы не будем рассматривать здесь этот вопрос. Связь между модами лазерных резонаторов и линзовых волноводов будет рассматриваться более под робно в разд. 6.6.
Задача о модах может быть также решена другим спо собом. Используя фиг. 6.4.1, можно определить матрицу преобразования лучей пли параметров пучка для одного элемента периодической системы. За начало отсчета возь
мем плоскость непосредственно слева от |
первой линзы |
и будем перемещаться по направлению |
к плоскости |
слева от следующей линзы. Матрица для элементов волновода получается перемножением (6.4.10) и (6.4.11):
Условие образования моды находится из требования, чтобы преобразованный комплексный параметр иа второй линзе соответствовал этому же параметру иа первой линзе. Условие образования моды может быть, следова тельно, выражено формулой
A q - \ B |
(6.4.52) |
9 C . q \D |
Решение этой задачи приводит к тем же результатам, которые были получены выше. Сам расчет предлагается в качестве упражнения для читателя.
Закончим этот раздел доказательством того, что опре делитель матрицы ABCD всегда равен 1. Доказательство основано иа теореме Лиувилля.
Поскольку матрица АВСД гауссова пучка определяет также характер поведения световых лучей, можно исполь зовать наши знания лучевой оптики для изучения свойств матрицы.
Гауссовы пучки |
321 |
Запишем (6.4.17) в виде
rz=zAr^-\-Bri, (6.4.53)
r'2=Cri-\-Dr\. (6.4.54)
В интересующем нас случае ири наличии двух измерений можно записать определитель (3.7.30) в форме, справедли вой для параксиального приближения:
дг2 |
дг2 |
|
дП |
dri |
(6.4.55) |
дг2 |
дг2 |
|
дг{ |
дг[ |
|
Здесь ?■' — тангенс угла наклона луча. Используя соот ношения (6.4.53) и (6.4.54) для определения производ ных в (6.4.55), получаем
дг2 |
дг2 |
А С |
А В |
dry |
dri |
||
дг2 |
дг2’ |
В D |
С D |
дг[ |
дг[ |
|
|
Таким образом, мы установили факт, оказавшийся не случайным, что определители матриц, встречавшихся
вэтом разделе, равны единице.
6.5.СОГЛАСОВАНИЕ МОД
В предыдущем разделе мы видели, что гауссов пучок может быть введен в линзовый волновод. Если пучок ие является модой волновода, то его поперечное сечение по мере распространения через волновод периодически меняется. Установлено, что период колебаний ширины пучка в 2 раза меньше периода колебания внеосевого луча. Если гауссов пучок выбран так, что его полуширина
внаиболее узкой части определяется формулой (6.4.48),
аполуширина на первой линзе дается формулой (6.4.47), то он распространяется через линзовый волновод без изменения параметров. Полуширина пучка на всех линзах
вволноводе имеет то же значение, что и на первой линзе.
Пучок такого вида согласован с линзовым волноводом и является его модой.
21-087
322 |
Глава в |
В большинстве реальных ситуаций экспериментатор имеет в своем распоряжении гауссов пучок, который образуется на выходе лазера. Мода линзового волновода или резонатора, которую мы желаем возбудить с помощью лазерного луча, к сожалению, чаще всего не совпадает с пучком, генерируемым лазером. Лазер и линзовый волновод (или другое устройство), таким образом, ока зываются несогласованными. Однако всегда имеется воз можность преобразовать с помощью линзы гауссов пучок
Линза, согласующая моды
Ф и г. 6.5.1. Согласование гауссовых пучков с помощью линзы.
любого лазера. Мы видели, что гауссов пучок произволь ной моды характеризуется двумя параметрами. Для данного рассмотрения выберем минимальную ширину пучка и расстояние от наиболее узкой части до выбранной точки отсчета. Эти два параметра однозначно характери зуют пучок. Соответствующая схема изображена на фиг. 6.5.1. Поскольку точка, от которой отсчитывается расстояние до наиболее узкого места пучка, выбрана, то можно выбрать и положение линзы, согласующей
пучок. Минимальные значения |
параметров пучка wol |
и w02 определяются характером |
задачи. Пусть мы имеем |
в распоряжении определенную линзу с фокусным расстоя нием /. Проблема согласования мод заключается в опре делении расстояний dt и d2, где dt — расстояние от линзы до наиболее узкого места падающего пучка, a d2 — рас стояние от линзы до наиболее узкого места требуемого пучка.
Гауссовы пучки |
32.3 |
|
Комплексный параметр |
пучка q принимает |
значение |
[см. (6.2.21)] |
|
|
до1 = ! у |
u,h = ibi |
(6.5.1) |
в точке Pi и |
|
|
q o 2 = ij - wM — ib2 |
(6.5.2) |
|
в точке Р 2 (см. фиг. 6.5.1). Цель задачи состоит в опреде лении такого преобразования, для которого справедливо следующее выражение:
М<И+-® |
(6.5.3) |
|
? 0 2 _ Cq0l + D |
||
|
Требуемая матрица ABCD уже была составлена в разд. 6.4 [см. формулу (6.4.9)]. Элементы матрицы являются веще ственными величинами, тогда как параметры д01 и q02 мнимые. Используя обозначения (6.5.1) и (6.5.2), можно разделить (6.5.3) па вещественную и мнимую части:
B-\-blb2C= 0 |
(6.5.4) |
и |
(6.5.5) |
b,A — b2D = 0. |
|
Подстановка элементов матрицы из |
(6.4.9) и выделение |
dy и d2 из полученных уравнений приводят к следующим выражениям:
7 |
= / + |
~U1 У f1 |
П |
(6.5.6) |
И |
|
Ц>02 |
|
|
|
|
|
|
|
< |
k = |
l ± ^ v r ‘ - f „ |
(6.5.7) |
|
где |
|
|
|
|
|
/о= |
"jjj" WoiWoz- |
|
(6.5.8) |
Знаки правых частей должны быть или положительными, или оба отрицательными. При этом можно удовлетворить условию согласования мод двумя различными способами. Фокусное расстояние согласующей линзы произвольно. Необходимо только, чтобы
7 > /„• |
(6.5,9) |
21*