Файл: Маркузе, Д. Оптические волноводы.pdf

Потребовав, чтобы Ф (0) -- 0, получим с учетом выраже­ ния (6.2.7) решение дифференциального уравнения (6.3.18):

Суммируя результаты, получим следующее приближенное решение приведенного волнового уравнения (6.3.1):

+ (х, 9, г) = л Л Я > ( | / 2 Х ) / / т ( | / 2 - £ - ) х

- (’" + » -г 1) -TCls ( ) - I -Jx j }

(6.3.20)

Это решение приводит к важному результату, что параметр ширины пучка w (6.2.7) и кривизна фазового фронта R (6.2.13) одинаковы для всех мод пучка Эрмита — Гаусса. Фаза же волны зависит от модовых чисел п и т. Пре­ образование мод Эрмита — Гаусса в процессе их распро­ странения может быть проведено независимо от значения модового числа, поскольку все моды имеют одни и тот же параметр ширины пучка н одну и ту же кривизну фазового фронта. Исследование преобразования гауссо­ вых пучков может быть таким образом ограничено рас­ смотрением моды низшего порядка. Общее решение (6.3.20) будет представлять интерес при изучении полей лазерных резонаторов.

Моды пучка Эрмита — Гаусса образуют полную систе­ му ортогональных функций. Поэтому любое волновое поле можно представить как разложение в ряд по этим модам. Следует, однако, напомнить, что поле, записанное в виде (6.3.20) , есть лишь приближенное решение волнового уравнения. Степень приближения ухудшается с увели­ чением числа т + п, и решение перестает быть верным, если вклад члена с сомножителем т + п + 1 в экспопенте становится сравнимым со значением kz. Полное поле, пред­ ставленное в виде разложения в ряд по модам (6.3.20), является, следовательно, не строгим, а приближенным решением волнового уравнения. Если члены высокого

порядка дают заметный вклад в разложение, то, чтобы ряд в целом был решением волнового уравнения, необхо­ димо ввести дополнительные коэффициенты к членам ряда, причем эти члены в отдельности уже пе будут удовлетворять волновому уравнению.

6. 4. П Р Е О Б Р А З О В А Н И Е Г А У С С О В Ы Х П У Ч К О В

Часто бывает желательно ввести гауссов пучок света в оптическую систему таким образом, чтобы в ней возбу­ дилась только одна мода. Примерами таких систем являют­ ся линзовые волноводы и оптические резонаторы. Такое согласование моды требует в общем случае преобразования гауссова пучка. Пусть, например, необходимо поле на выходе лазера преобразовать в гауссов пучок, который дает моду линзовой линии. В предыдущем разделе мы убедились, что параметры гауссова пучка (ширина пучка и кривизна фазового фронта) одинаковы для всех мод. Поэтому преобразование пучка, которое будет рассмот­ рено в данном разделе, справедливо одновременно для всех мод пучка Эрмита — Гаусса.

Начнем рассмотрение с преобразования гауссовых пучков от одной точки к другой вдоль оптической оси системы. Преобразование пучка по мере распространения его в свободном пространстве выражается формулами (6.2.7) и (6.2.13). Оба параметра пучка уже вошли в ком­ плексный параметр q [см. формулу (6.2.16) или (6.2.21)]. Для любого данного комплексного значения q полуширина пучка w и кривизпа фазового фронта R определены одно­ значно. Обозначая комплексный параметр па оптической оси пучка в точке Z] через щ, а в точке z2 — через q2. можно записать преобразование пучка в свободном про­

где fZj -■=z2 — zj.

Далее необходимо установить, как изменяется ком­ плексный параметр пучка при его прохождении через

310 Глава 6

Параметр ширины пучка w, таким образом, остается неизменным, тогда как кривизна фазового фронта изме­ няется. Если выражение (6.2.15) представляет собой поле слева от линзы, то поле справа от линзы получим путем

Несущественный постоянный фазовый сдвиг здесь опущен. Произведение (6.2.15) на (6.4.2) снова должно дать гауссов пучок с другим радиусом кривизны R 3 (R2 — радиус кривизны фронта слева от линзы). Таким образом, полу­ чаем

_1___1___i_

(6.4.3)

■Кз Кг f '

Уравнение (6.4.3) при w3 = w2 дает закон преобразования гауссова пучка, проходящего через идеальную линзу. Предполагается, что ось гауссова пучка совпадает с осью линзы и пучок падает перпендикулярно к поверхности линзы.

Зная комплексный параметр пучка (6.2.16), можно записать закон преобразования пучка линзой следующим образом:

dj слева от линзы иа расстояние d2 справа от линзы еще раз нужно применить закон преобразования. Параметр пучка на расстоянии d2 за линзой обозначим через д4. Тогда имеем