Файл: Маркузе, Д. Оптические волноводы.pdf

Закон преобразования гауссовых пучков обладает инте­ ресным матричным свойством, которое ясно видно, если записать формулу (6.4.7) в следующем виде [67]:

Произведем матричные преобразования, которые также приведут к выражению (6.4.7). Это может быть осуще­ ствлено путем сохранения формы записи (6.4.8) для всех преобразований и введения матрицы

IА А \ _/1 di

(6.4.10)

кА / ~ \о 1

для преобразования (6.4.1), матрицы

для преобразования (6.4.5), вносимого линзой, и, наконец, матрицы

/А 3 Б 3\ _/1 d2

(6.4.12)

k А / ~~ \0 1

для преобразования (6.4.6). Нетрудно проверить, исполь­ зуя закон перемножения матриц, что матрица (6.4.9), описывающая преобразование (6.4.7) или (6.4.8), получена перемножением трех матриц:

312 Глава 6

можно получить матрицу, соответствующую полному преобразованию

путем перемножения матриц первичных преобразований:

(6.4.166)

Это легко проверяется подстановкой (6.4.15) в (6.4.14). Закон преобразования параметров q гауссовых пучков есть закоп A BCD Когелышка [49, 67], дающий очень удобный способ оппсаипя прохождения гауссовых пучков через сложные линзовые спстемы. Итак, было показано, что закон преобразования гауссова пучка (закон ABCD) справедлив при распространении гауссовых пучков в сво­ бодном пространстве п при прохождении через тонкие линзы. Кроме того, показано, что прохождение гауссовых пучков через ряд участков свободного пространства н лпнзы описывается с помощью произведений соот­ ветствующих матрпц. Таким образом, можно утверждать, что закон ABCD справедлив для любой оптической систе­ мы, которая может быть представлена рядом тонких линз н участками свободного пространства. Это открывает широкие возможности применения данного закона. Боль­ шая часть оптических устройств состоит из набора линз. Поскольку закон ABCD справедлив для гауссова пучка, проходящего через любой элемент системы, а матрица пучка, проходящего через комбинацию этих элементов, получается путем перемножения отдельных матриц, то видно, что закоп ABCD справедлив для всей оптической системы. Линзовые волноводы представляют собой набор тонких линз и промежутков между ними, поэтому закон ABCD справедлив и для них. Даже сплошная среда с квадратичным законом изменения показателя пре­ ломления (квадратичная среда) может рассматриваться как последовательность бесконечно близко расположенных линз. В этом случае закон ABCD можно также применить, считая спачала, что чпсло линз конечно, а затем устремляя число линз к бесконечности. Таким образом, мы видим, что закон ABCD справедлив и для квадратичной среды-

При этом важно помнить, что закон A BCD не справедлив для гауссова пучка, проходящего через среду с произволь­ ным (неквадратичным) закоиодг изменения показателя преломления, и для пучка, проходящего через линзы, обладающие аберрациями. Его применимость ограничена лишь системами, которые могут быть аппроксимированы комбинацией идеальных (квадратичных) тонких линз. Системы более общего характера меняют форму пучка (см. разд. 5.8), вследствие чего пучок, выходящий из такой системы, не является больше гауссовым и, следовательно, не может быть описан только двумя параметрами: полу­ шириной и кривизной фазового фронта.

Существует интересная связь между лучевой оптикой и оптикой гауссовых пучков. Световые лучи также харак­

луча от одной точки пространства к другой или его про­ хождение через линзу или любое другое оптическое устройство может быть описано следующим матричным уравнением:

(6.4.17)

Здесь мы рассматриваем лучи, находящиеся в плоскости, проходящей через оптическую ось системы. Двух пара­ метров — отклонения луча от оптической оси г и тангенса угла наклона луча г' — достаточно для полного описания поведения луча. В осесимметричных оптических системах, рассматриваемых здесь, всегда имеют место лучевые траектории, целиком лежащие в плоскости. Для пучка в свободном пространстве соотношение между его накло­ ном и положением в двух различных точках на расстоя­ нии d вдоль оптической оси может быть выражено в парак­ сиальном приближении как

rz=ri-\-r[d: (6.4.18)

и

(6.4.19)

Видно, что матрица, соответствующая этому преобразо­ ванию, та же самая, что и матрица (6.4.10) преобразования гауссова пучка между двумя точками пространства.

и формулой (4.2.4), которая опять-таки в параксиальном

В соответствии с обозначениями, используемыми в разд. 4.2, г' = — а. В матричных обозначениях это преобразование совпадает с преобразованием гауссова пучка лиизой (6.4.11). Многократное преобразование световых лучей, очевидно, описывается произведением матриц отдельных преобразований. Таким образом, преобразование гаус­ совых пучков, проходящих через оптические системы, представляющие собой комбинацию топких линз, может быть получено, если имеются решения соответствующих задач лучевой оптики.

Полученные результаты позволяют сразу же решить задачу об осевом распространении гауссовых пучков через линзовые волноводы. Матрица, описывающая рас­ пространение луча в идеальном линзовом волноводе, выводится из формулы (5.2.7). Вместо того чтобы выражать положение луча на п-й линзе через его положение на первых двух линзах, как это было сделано ранее, выразим

Эта формула получена с помощью (5.2.6). Формулы (6.4.22) и (6.4.23) могут быть использованы для долу­

Положение луча на n-й линзе, выраженное через положе­ ние и наклон луча на 1-й линзе, получается из (5.2.7):

Используя формулы суммы и разности синусов, получим матричное выражение для преобразования луча в сле­ дующем виде:

Такой же результат может быть получен путем построения матрицы одного элемента линзового волновода, которая описывает прохождение луча от положения слева от одной линзы в положение слева от следующей линзы. Матричпая запись положения луча на п-ж линзе, следовательно, получается возведением в (п—1)-ую степень матрицы для одного элемента линзового волновода. Этот расчет пред­ лагается читателю в качестве упражнения.

Знание матрицы А В CD линзового волновода дает возможность рассчитать изменение параметра ширины гауссова пучка цо мере распространения пучка но волцо-

316 Глава 6

воду. Волноводная мода имеет одно и то же значение ширины пучка на каждой линзе. Следует ожидать, что гауссов пучок, который не является модой для данной направляющей структуры, будет меняться по ширине от линзы к лиизе.

Параметр ширины пучка может быть получен из мнимой части выражения (6.2.16) для 1 /д. Из выражения (6.2.21) видно, что д является функцией расстояния z, отсчиты­ ваемого от наиболее узкой части пучка. Пусть гауссов

находится па расстоянии d левее первой липзы. Прежде чем рассчитать изменение параметра ширины пучка на каждой линзе, необходимо знать его связь с комплексным параметром пучка иа первой линзе. Эту связь можно иайтп путем подстановки z = d в (6.2.21). С учетом (6.2.7) запишем

Теперь можно вычислить \/дп на /г-й линзе с помощью матрицы (6.4.28). Из формулы (6.4.14) имеем

Мнимая часть выражения i/qn имеет вид

Выражение в числителе представляет собой отрицатель­ ное значение детерминанта матрицы ABCD. Непосред­ ственный расчет показывает, что его значение равно —1 (см. выкладки в конце этого раздела). Используя формулу (6.2.16), получим требуемое выражение для параметра ширины пучка на 7г-й лиизе:

Представим это выражение в более удобной форме. Выра­ жения (6.4.30) и (6.4.31) позволяют записать (6.4.34)

в виде

Матричные элементы А и В получаются из формулы (6.4.28) путем преобразования квадратов и произведений синусов и косинусов в функции двойного угла:

1

г J w\[COS {(2п —1) 0} +11 +

2 cos2-

Введем координату длины zn вдоль линзового волновода, определив ее как

Выражение (6.4.26) показывает, что световой луч колеб­ лется в линзовом волноводе с периодом Л. Однако из