336 |
|
Глава 6 |
|
|
Исключение wQ из этих |
уравнений |
дает |
|
Л1— di |
d2 |
(6.6.12) |
|
-ftо—dо |
d\ |
|
|
Используя |
равенство |
|
|
|
сразу же |
d\-\-d2=-L, |
(6.6.13) |
получим |
L ( R 2 —L) |
|
|
j |
(6.6.14) |
|
1 |
Ri + R z— 2L |
|
|
И
|
L ^ - L ) |
(6.6.15) |
|
R l + Ro — 2L ‘ |
|
|
Подстановка выражений (6.6.14) и (6.6.15) в (6.6.10) или (6.6.11) дает возможность получить полуширину пучка в наиболее узком его месте:
...4__/ X. \ 2 L ( R i — L) (Л2—£) (ДН Дг—Ц |
/л п .л , |
(/?! -\-R2— 2L)2 |
• |
В частном случае при R { = R 2 = 2/ выражение (6.6.16) становится идентичным выражению (6.4.48). Подстановка выражений (6.6.14) и (6.6.16) в (6.2.19) (где z = — dt) дает
|
..а |
/ |
\ 2 _____ L {Rz— L)______ |
(6.6.17) |
|
1 |
\ л |
I |
+ |
|
|
Аналогично используя выражение (6.6.15) или просто меняя индексы 1 и 2 местами, получим
|
и |
( ХЛ2 \ 2 |
L(Ri-L) |
(6.6.18) |
|
\ л ) (Д2 —L) (Д Н -Л 8- / / ) |
|
|
|
Формулы (6.6.14) — (6.6.18) дают возможность выразить параметры гауссова пучка через параметры резонатора.
Эти выражения могут быть использованы для полу чения условия резонанса (6.6.9) в форме, включающей в явном виде параметры резонатора. Используем теорему сложения арктангенсов
arctga-l-arctg R = |
arccos [ |
---------\ |
(6.6.19) |
” |
^ |
V |
У1 + сс2 + |32+ а2Р2 I |
V |
' |
где |
|
___ -j /~ |
L ( Д о — L) |
|
|
|
___ X |
( 6. 6. 20) |
|
|
|
( / ? i — L) {Rt \-R2— L) |
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
_ А. |
С?2 |
1 / |
Г |
(6.6.21) |
|
л |
wf, |
V |
((Ло2—L£)(/?! ! Л2—Ь) |
|
|
После алгебраических преобразований запишем соотно шение (6.6.19) в следующем виде:
” rts ( i ^ ) + |
MCls ( - | - ! r ) = |
|
|
|
|
|
|
|
= |
arccos / |
( |
‘ - л т Н |
' - ж ) - |
( 6. 6. 22) |
Условие |
резонанса |
(6.6.19) примет |
вид |
|
|
|
2L |
т + |
п+ 1 arccos / |
г~ |
|
|
|
|
|
(*-£)(* |
Яг ) = * - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.6.23) |
Резонансная |
частота, |
следовательно, равна |
[49, |
72] |
V - T ! 7 {У-f ^ |
i + |
L a rc c o s ]/(l |
|
( l ~ |
) |
} • |
Дляконфокального |
резонатора |
с |
|
|
(6.6.24) |
|
|
|
|
|
|
|
|
R, = |
R z = L |
|
|
(6.6.25) |
выражение (6.6.24) |
преобразуется к |
виду |
|
|
|
|
V = |
[ ^ + 4 - ( т + / г + 1 ) ] . |
|
(6.6.26) |
Целое число N определяет число полуволн, которое |
укладывается между зеркалами. |
Число N является, таким |
образом, |
порядком |
продольных |
мод |
резонатора. |
Целые |
числа / г и т а определяют порядок поперечной вариа ции распределения поля эрмита — гауссовой моды. При /г — та = 0 получается чисто гауссова мода.
Важно помнить, что эрмита-гауссовы моды могут быть использованы при рассмотрении резонаторов с боль шими зеркалами, для которых дифракционные потери незначительны. Если зеркала оказываются малыми, так что дифракционные потери должны быть учтены, то аппро ксимация поля моды эрмита-гауссовым колебанием в таком резонаторе будет несправедлива. Решение в этом случае
должно быть получено путем численного решения задачи о собственных значениях (5.6.5) (см. [48]).
Проблема стабильности колебаний лазерного резона тора обсуждалась в разд. 5.2. На фиг. 5.2.4 заштрихована область стабильности для колебаний лазерного резонатора. За пределами этой области потери моды становятся очень большими. Однако в особых случаях может быть исполь зован п режим работы резонаторов в нестабильной обла сти [117].
7
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА В СРЕДАХ С КВАДРАТИЧНЫМ
ЗАКОНОМ ИЗМЕНЕНИЯ
ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ
7.1.ВВЕДЕНИЕ
Вгл. 5 были рассмотрены свойства линзового волно вода, способного передавать электромагнитные волны оптического диапазона. Такой волновод, однако, не яв
ляется единственно возможным средством передачи све товых лучей. Если расстояние между линзами уменьшить до нуля, то получим непрерывную направляющую среду. Такая среда может быть описана с помощью переменного показателя преломления, который имеет максимальное значение на оси и уменьшается монотонно при удалении от оптической оси волновода. Среда с показателем прелом ления вида
п — п0----^-?г1(а:2+ 1/2) |
(7.1.1) |
называется квадратичной средой. Распространение электро магнитных волн оптического диапазона в квадратичной среде весьма сходно с распространением волн в линзовом волноводе [69, 76, 77, 78].
Оптические волноводы со средой, показатель преломле ния которой меняется по квадратичному закону, будут иметь важное практическое значение, когда появятся более совершенные методы их построения. Но уже и суще ствующие оптические волокна имеют показатель преломле ния, изменяющийся по закону, близкому к квадратичному [23, 112]. Целью настоящей главы является ознакомление читателя с вопросами распространения света в непрерыв ных диэлектрических средах с квадратичным изменением параметров.
340 |
Глава 7 |
Квадратичные среды обладают тем свойством, что |
эффективный центр |
мощности параксиальных пучков |
движется в них по законам оптических лучей (см. разд. 3.6). Геометрооптический метод исследования таких структур физически оправдан. Он дает основные представления о свойствах распространения световых пучков.
Модель среды с квадратичным законом вида (7.1.1) имеет один серьезный недостаток. Для достаточно боль ших х ж у показатель преломления становится меньше единицы и даже достигает отрицательных значений. Хотя существуют среды, показатель преломления которых может быть меньше единицы, например ионизированные газы, все же для большинства физических сред показатель преломления оказывается больше единицы. Поэтому необ ходимо учитывать, что распределение показателя пре ломления (7.1.1) может достигать нефизической области.
До тех |
пор |
пока световые |
лучи не достигают области |
с /г < 1 |
или пока поле внутри этой области мало, можно |
использовать |
квадратичный |
показатель преломления |
(7.1.1) как хорошее первое приближение. При этом сле дует ограничиваться рассмотрением параксиальных лучей. Параксиальные лучн распространяются по траекториям, которые всегда почти параллельны оптической оси. Эти лучи с меньшей вероятностью могут удаляться от опти ческой оси, чем лучи с большим углом наклона к оси.
Среда с квадратичным законом изменения показателя преломления (7.1.1) может рассматриваться как первое приближение для среды с симметричным законом распре деления показателя преломления. Если разложить произ вольное распределение показателя преломления в ряд Тейлора, то можно получить члены порядка выше второго. Но во многих практических случаях ряды Тейлора схо дятся быстро, так что первых двух членов достаточно для первого приближения. Можно еще считать, что коэффи циенты при х2 и г/2 разные. Однако поскольку такое обобщение не дает больших преимуществ, то можно огра ничиться распределением показателя преломления вида (7.1.1) . Как было показано, среда с законом изменения показателя преломления 1/cli х является идеальной фоку сирующей структурой даже для непараксиальных лучей
