точным и рассматривать (7.1.1) как некоторое приближение. Такой подход имеет то преимущество, что п2, а ие п являет ся в данном случае основной величиной. Попытаемся решить приведенное волновое уравнение с помощью пробной функции
Ф = / (я) g (}/) e~ipz- |
(7.3.4) |
Здесь не известны не только функции / и g, но также постоянная распространения (3. Решение вида (7.3.4) есть мода квадратичной среды. Подставляя выражения
(7.3.3) и (7.3.4) в (7.3.1), получаем
( у - - S r + < К - Ра - Ц щ Щх 2 ) !
- | - ( y - | - - W ) - 0 . |
(7.3.5) |
Это уравнение должно быть справедливым для всех значений х и у, что возможно лишь тогда, когда зависимая от х и зависимая от у части порознь равны константе. Сумма этих двух постоянных должна равняться нулю. Таким образом, получаем два уравнения
+ (КК — к2 — Р'2 — к;п0щх2) / = 0 |
(7.3.6) |
и |
|
- g - + (x2- / ^ , z / 2)ir==0. |
(7.3.7) |
Чтобы преобразовать эти два уравнения к хорошо изве стной стандартной форме, введем следующие новые пере менные и параметры:
\ = V h ( n 0n{)Uk X, |
(7.3.8) |
г1=1А*о (п0щ)и!,у, |
(7.3.9) |
|
___ |
(7.3.10) |
|
k0 У п0щ |
|
|
|
__ к2 |
(7.3.11) |
|
ко ~Vnoni |
|
|
Дифференциальные уравнения запишем теперь в виде
^ + ( a - l 2) f = 0 |
(7.3.12) |
Распространение света в квадратичных средах |
347 |
И |
|
^ r + (p - r)2)g = 0. |
(7.3.13) |
Дифференциальные уравнения (7.3.12) и (7.3.13) хорошо исследованы в теории гармонического осциллятора в квантовой механике [22]. Они определяют энергетическую собственную функцию и собственные значения, которые допустимы для гармонического осциллятора. В нашей теории, так же как и в теории гармонического осциллятора в квантовой механике, необходимо потребовать выполне ния граничных условий. Моды в квадратичной среде долж ны распространяться вблизи оси структуры. Это значит, что нужно потребовать, чтобы функции стремились к нулю при х оо и у оо. Такие же требования накладываются иа волновую функцию гармонического осциллятора. Они играют роль граничных условий. В работах по квантовой механике показано, что ограниченные решения такого типа могут существовать только при следующих условиях:
а = |
2р + |
1, |
где |
р = 0, |
1, |
2, |
3, . . ., |
(7.3.14) |
о = |
2q + |
1, |
где |
q = 0, |
1, |
2, |
3, . . .. |
(7.3.15) |
Эти условия вместе с (7.3.10) и (7.3.11) определяют воз можные значения постоянной распространения [5. Они, следовательно, являются собственными значениями урав нений мод квадратичной среды. Мы еще вернемся к этому важному понятию. Решения дифференциальных уравне ний (7.3.12) и (7.3.13) представляют собой хорошо изве стные функции Эрмита — Гаусса, которые уже встре чались нам неоднократно. Чтобы показать это, положим
и |
/ = # ,( £ ) e-was* |
|
(7.3.16) |
g = H q(r])e-W№. |
|
(7.3.17) |
|
|
Подстановка в (7.3.12) и (7.3.13) дает |
|
|
(PHг |
|
ш |
|
(7.3.18) |
dl2 |
■2£ |
d\Р + 2 рНр (|) = |
0 |
и |
■2г) |
9 '■2?Я,(т,) = |
0. |
(7.3.19) |
<РНП |
|
|
d,H |
|
|
dip |
|
dr) |
|
|
Эти уравнения идентичны дифференциальному уравнению (6.3.13) для полиномов Эрмита. Таким образом, показано, что модовымн решениями для волн в квадратичной среде опять-таки являются функции Эрмита — Гаусса. Этот результат едва ли является неожиданным, так как мы видели, что квадратичная среда аналогична линзовому волноводу, моды которого описываются функциями Эрми та — Гаусса. Общее решение для мод в квадратичной среде есть, следовательно,
l / 2 /я
Фру (я, У, 2):
~|/2Р+Чр\ q\ w
X e-№+v2Mw2e
с полушириной модового пучка
к0 V п0щ '
Модовая функция (7.3.20) здесь надлежащим образом нормирована.
Выражение для постоянной распространения $р<1 полу чается из формул (7.3.10), (7.3.11), (7.3.14) и (7.3.15):
Pp3 = K A " - * o /» o n 1[(2p+l)-l-(2g + l)]}1/2. (7.3.22)
Для сравнения с модами линзового волновода положим в формулах (6.4.47) и (6.4.48) L 0 и / ->- оо. Используя выражение (7.3.4), действительно получим полуширину мод квадратичной среды (7.3.21). При сравнении необхо димо помнить, что показатель преломления квадратичной среды на оси есть п0. Это означает, что в формулах (6.4.47) и (6.4.48) нужно использовать X — 2я/п0к0. Сравнение формул (7.3.20) и (6.3.20) показывает, что моды квадра тичной среды действительно тождественны модам линзового волновода c L - > 0 . Для полноты сравнения.покажем, что фазовый множитель в (6.3.20) переходит в (7.3.22) при отсутствии деления среды па линзы. Прежде всего по указанной выше причине необходимо в (6.3.20) к заме
нить на и0к. Положим также |
m = p i z n |
= q n B пределе |
при L —>■0 (z < L) получим |
из (6.3.20) |
с учетом (7.3.21) |
рь=тг0/с0- 1 ] / l ± ( 2 p + i + 2q+l). (7.3.23)
Распространение света в квадратичных средах |
349 |
Согласно формуле (6.6.10), радиус фазового фронта при d-i = L 0 становится бесконечным. Две постоянные распространения (7.3.22) иг (7.3.23), очевидно, совпадают только в первом приближении. Величину (7.3.23) можно получить из (7.3.22), если разложить в ряд квадратный корень и сохранить только первые два члена разложения. Из выражения (7.3.23) видно, что в первом приближении и при пренебрежении дисперсией среды моды квадратичной среды имеют замечательное свойство — их групповая скорость (др/<9со)-1 не зависит от порядка моды.
Таким образом, мы получили интересный результат: моды квадратичной среды совпадают с модами линзового волновода с точностью до фазового множителя в пределе при уменьшении до нуля расстояний между линзами. Фазовые множители совпадают только в первом прибли жении. Этот результат обусловлен тем, что моды квадра тичной среды (7.3.20) — (7.3.22) являются точными реше ниями волнового уравнения (7.3.1) с показателем прелом ления (7.3.3) . Ранее же мы отмечали, что моды Эрмита — Гаусса (6.3.20) являются только приближенным реше нием волнового уравнения. Приближение вносится тогда, когда вторая производная от и по z в (6.3.3) не учитывается. Таким образом, решение не является строгим, если оно получается путем перехода к пределу при стремлении расстояний между линзами к нулю. Однако в большинстве практических случаев величина
(?= |
J A ot4 |
(7.3.24) |
4 |
"5*0 |
|
обычно очень мала, так что величины (7.3.22) и (7.3.23) находятся в хорошем согласии, по крайней мере для малых модовых чисел. По и настоящая теория оказывается несправедливой, когда величина Q (7.3.24) достигает единицы. Скалярное волновое уравнение можно исполь зовать только в том случае, когда показатель преломле ния изменяется очень мало на расстоянии порядка длины волны. Это требование также приводит к Q 1. Чтобы убедиться в этом, образуем в соответствии с формулой (1.3.28) и с учетом (7.3.3) выражение
j q __пб п~“ ___ 1 nQiijX- |
g 25^ |
