Файл: Маркузе, Д. Оптические волноводы.pdf

[75, 118, 119]. Однако здесь мы ограничимся рассмотре­ нием только квадратичной среды и лучей в ней в пара­ ксиальном приближении.

7.2. ЛУЧЕВАЯ ОПТИКА КВАДРАТИЧНОЙ СРЕДЫ

Выведем траекторию луча в квадратичной среде, беря в качестве исходной траекторию луча в линзовом волно­ воде с бесконечно близко расположенными линзами. В уравнении (5.2.4) устремим L к нулю и запишем

Разностное уравнение (5.2.4) можно, таким образом, запи­ сать в виде

Этот предельный переход переводит разностное уравнение для траектории луча линзового волновода в параксиаль­ ное дифференциальное уравнение

для квадратичной среды. Дифференциальное уравнение (7.2.5), по-видимому, идентично параксиальному диффе­ ренциальному уравнению (3.5.36), в котором выражение (7.1.1) включено в правую часть. Таким образом, можно сделать вывод, что линзовый волновод становится квадра­ тичной средой в случае бесконечно близко расположенных линз. Решение для траектории луча линзового волновода может быть преобразовано подобным же образом к реше­ нию для случая квадратичной среды. Из формулы (5.2.6) получим cos 0 = 1 в пределе при L -у 0 и / -> оо, и,

Используя выражение (5.4.15) для линзового волно­ вода с искривленной осыо, получим для квадратичной среды с искривленной осью

Функция S (z) описывает отклонение оси квадратичной среды от прямой линии.

Эквивалентность двух решений (7.2.9) и (7.2.10) для траектории луча в квадратичной среде с изогнутой осью может быть легко продемонстрирована. Радиус кривизны изгиба оси квадратичной среды связан с линейным откло­ нением осп от идеальной прямой S (z) следующим при­ ближенным соотношением:

1 _ <г25

~Л (г) — _ ; dz2 •

Это приближение справедливо, если первая производная dS/dz много меньше единицы. Отрицательный знак в (7.2.11) соответствует положительному радиусу кри­ визны на фиг. 5.4.2. Подстановка (7.2.11) в (7.2.9) при­ водит после интегрирования по частям к результату

+ s < ° ) c o s / ^ + / l 4 4 f ) „ „ 5in / - £ г+

Отсюда видно, что выражение (7.2.12) идентично (7.2.10), что показывает эквивалентность этих двух решений.

Среднеквадратичное отклонение луча а, вызванное случайными отклонениями оси квадратичной среды, по­

лучим из формулы (5.5.36). Это выражение является аппроксимацией более общего выражения (5.5.35). Однако в большинстве практических случаев это приближение хорошо оправдывается и удобно для использования. В пределе для очень малых промежутков между линзами выражение (5.5.36) принимает вид

оо__

a' M = T l t Z J Дс(и)С0 8 ] / T ^ udu- (7 -2Л4)

— ОО

Функция корреляции смещения оптической оси S (г) определяется как среднее по ансамблю произведение

*S (2) и S (z — и)

Выражение (7.2.14) показывает, что варпанс отклонения пучка пропорционален расстоянию вдоль волновода, на котором пучок еще наблюдается. Кроме того, оп пропор­ ционален преобразованию Фурье корреляционной функ­ ции. Преобразование Фурье корреляционной функции содержит только члены с косинусами, так как Rc (и) — четная функция.

Поведение квадратичной среды во всех отношениях очень похоже на поведение липзового волновода. Поэтому нет необходимости в детальном рассмотрении траектории луча в квадратичной среде. Все результаты для квадра­ тичной среды могут быть получены из соответствующих результатов для линзового волновода.

7.3. МОДЫ КВАДРАТИЧНОЙ СРЕДЫ

Рассмотрим волноводные свойства квадратичной среды с точки зрения волновой оптики. Строго говоря, нужно найти решение уравнений Максвелла в среде с показателем преломления (7.1.1). Однако, как видно из разд. 1.3, скалярному волновому уравнению (1.3.6) должна удовле­ творять каждая составляющая электромагнитного поля. Для оптической среды с переменным показателем преломления волновое уравнение не является точным эквивален­ том уравнений Максвелла. Приближение, которое имеет место при использовании волнового уравнения вместо

уравнений Максвелла, является приемлемым, если пока­ затель преломления (или диэлектрическая проницаемость) меняется незначительно на расстоянии порядка длины оптической волны. Это требование означает, что величина R (1.3.28) должна быть много меньше единицы. Такое требование с физической точки зрения также естественно, как и параксиальное приближение, которое было исполь­ зовано при решении задачи о распространении луча в квадратичной среде. Если нас удовлетворяют решения, которые вытекают из параксиального приближения, то для определения свойств распространения волны в квад­ ратичной среде вместо уравнений Максвелла можно использовать волновое уравнение. Таким образом, нужно рассмотреть распространение скалярных волн в квадра­ тичной среде [68, 69]. Скалярная волновая задача является хорошим приближением к задаче об электромагнитном поле, пока не рассматриваются поляризационные эффекты. Известно, что каждая составляющая электромагнитного поля должна быть приближенным решением скалярного

к появлению направленных звуковых волн. В первом приближении можно допустить, что на некоторой глубине океан подобен квадратичной среде.

Предположив, что волны имеют гармонический во вре­ мени характер, можно использовать приведенное волновое

с постоянной распространения в свободном пространстве

и относительной диэлектрической проницаемостью (ква­ драт показателя преломления)

Если считать исходным показатель преломления (7.1.1), то (7.3.3) является приближенным соотношением. С дру­ гой стороны, можно также считать выражение (7-3.3)