Файл: Маркузе, Д. Оптические волноводы.pdf

Используя формулы (2.2.25) и (2.2.26), получаем из (2.2.21)

Поверхность S, по которой производится интегрирование, включает экран, показанный па фиг. 2.2.2, и бесконечную

Ф н г. 2.2.2. Дифракция плоской волны на щели в бесконечном непрозрачном экране.

полусферу, ограничивающую пространство справа от экра­ на. Мы рассматриваем падающую волну как часть очепь длинного, но конечного цуга воли. Конечный цуг волн не может достичь бесконечной полусферы за конечное время, так что интеграл по поверхности этой полусферы обращается в нуль. По-видимому, выражение (2.2.27) столь же точно, как и (2.2.21), из которого оно получено. Однако мы заменили область интегрирования S на А, т. е. интегрирование проводится теперь только по аперту­ ре отверстия А в экране. При переходе от (2.2.21) к (2.2.27; подразумевается, что поле ф и его производная дтр/дп

58 Глава 2

обращаются в нуль иа непрозрачном экране. С первого взгляда это предположение может показаться логичным. Однако можно проверить, что решение волнового уравнения обращается в нуль везде, если оно и его первая производ­ ная одновременно обращаются в нуль на любом конечном интервале [4]. Это означает, что, строго говоря, наше предположение, состоящее в том, что поле н его первая производная обращаются в нуль на непрозрачном экране, противоречит условию, что функцияф должна быть реше­ нием волнового уравнения. Другими словами, это пред­ положение несовместимо с тем фактом, что формула (2.2.19) получена как решение волнового уравнения. Действитель­ но, если мы вычислим значенияф из (2.2.19), предполагая, что функция ф ц ее пормальная производная равны нулю на непрозрачном экране, то придем к противоречию, не получив ф, обращающуюся в нуль вместе с производ­ ной на экране. Это обстоятельство представляет серьезную математическую проблему. Чтобы можно было использо­ вать дифракционный интеграл, необходимо зпать значе­ ния ф и ее пормальной производпой не только на отвер­ стии, но н на экране. Итак, чтобы получить желаемое решение, необходимо знать функцию в области, где мы ее не можем знать. К счастью, несмотря на эту математи­ ческую дилемму, соотношение (2.2.27) приводит к резуль­ тату, хорошо совпадающему с экспериментальными дан­ ными. Нарушение математических принципов, по-видимо­ му, не настолько серьезно, чтобы быть преградой при получении полезпых результатов. Значеиияфп ее пормаль­ ной производной очень малы па экране и могут быть изме­ рены только в непосредственной близости от отверстия. Малая ошибка, которая возппкла пз-за предположения о равенстве функции нулю, не столь существенна, чтобы привести к заметным неприятностям. Дифракционный интеграл в виде (2.2.27) широко и успешно используется при решении задач оптической дифракции и при расчетах СВЧ-антенн. Строго говоря, несправедливо и другое пред­ положение, которое подразумевается в (2.2.27), о том, что поле в отверстии такое же, как и поле падающей вол­ ны при отсутствии экрана. Однако это возражение той же природы, что и касающееся равенства ф нулю на экра­ не,

нпя волнового уравнения. Наш вывод показывает, что принцип Гюйгенса является лишь аппроксимацией. Точная форма дифракционного интеграла (2.2.19) в действитель­ ности совсем другая. Но наиболее важная часть утверж­ дения, содержащаяся в этом принципе — возмущения, возникающие в отверстии, распространяются как сфери­ ческие волны из каждого элемента отверстия — действи­ тельно справедлива. Соотношение (2.2.27) тоже является аппроксимацией, но оно отлично от принципа Гюйгенса. Это соотношение показывает, что еще недостаточно просто предположить, что падающая волна действует как источ­ ник сферических волн с силой, пропорциональной ампли­ туде падающей волны в каждой точке отверстия. Необхо­ димо приписать силе источника весовые коэффициенты, чтобы обеспечить направленность (фиктивных) источников.

Возвращаясь к выражению (2.2.27), окончательно получпм полезную аппроксимацию дифракционного интег­ рала путем подстановки выражения (2.2.23). Еще раз предостережем: чтобы использовать это приближение, необходимо проверить, действительно лн произведение к на член третьего порядка [которым пренебрегли в (2.2.23)] много меньше единицы. Если это условие выполняется, получаем приближение

ф (я', у', z') = -£ie~ih2' \ (cosy-fcosa) z, ^ z x

А

В соответствии с приближением (2.2.23) г в знаменателе заменено па z' — z. Дифракционный интеграл такого вида действительно наиболее часто используется на прак­ тике. Обычно различают две области его применения. Еслп рассматриваемое поле настолько близко к отвер­ стию, что член х2 + г/2, появляющийся в показателе сте­ пени экспоненты, следует принимать во внимание, имеет место дифракция Френеля. Если этот член пренебрежимо мал, наблюдается дифракция Фраунгофера. Дифракция Фраунгофера имеет место вдали от источника дифракции. Дифракция Френеля паблюдается также в областях, достаточно удаленных от отверстия, чтобы приближение (2.2,31) бьшо справедливо, но не настолько далеких,

чтобы можно было говорить о дифракции Фраунгофера. Указанная терминология отражает историю развития оптики. Дальнейшее обсуждение приближения Френеля можно найти в разд. 4.6.

Часто бывает достаточно рассмотреть задачу в двух измерениях, а не трехмерную задачу, как мы делали до сих пор. Преимуществом двумерных задач является то, что их проще рассматривать, и исследование таких задач часто оказывается достаточным для полного пони­ мания проблем дифракции. Исследования дифракционных интегралов, проведенные до сих пор, и в частности важная аппроксимация (2.2.31), основаны на разложении падаю­ щего поля иа непрерывный набор источников сферических волн. Сферические волны естественно появляются в трех­ мерных задачах. Для двумерных задач эквивалентом сферических воли являются цилиндрические волны. Сле­ дующий вывод дифракционных интегралов обычно не при­ водится в учебниках по оптике.

Для двумерных задач характерно, что все характери­ стики поля, так же как и геометрия пространства, в кото­ ром распространяются поля, не зависят от одной из про­ странственных переменных. Схема дифракционного опыта, изображенная на фиг. 2.2.2, становится двумерной, если предположить, что ни одна из интересующих нас пере­ менных не зависит от координаты у. Символически это можно выразить с помощью соотношения

(2.2.32)

Будем называть задачу двумерной, если справедливо соот­ ношение (2.2.32). В двух измерениях волновое уравнение принимает вид

(2.2.33)

Продолжая рассуждения точно так же, как и прежде, рассмотрим в дополнение к волновому уравнению (2.2.33) неоднородное уравнение

Умножим обе части уравнения (2.2.33) на G, а (2.2.34) — на ф и вычтем одно из другого. Интегрируя полученное уравнение по области в плоскости х, z, получим

Здесь была использована двумерная интегральная теоре­ ма для преобразования интеграла по поверхности в интег­ рал по замкнутой кривой, окружающей эту поверхность. Направление п совпадает с направлением внешней нор­ мали к кривой С.

Функция Грина наиболее легко может быть найдена в полярных координатах. Направим полярную ось вдоль оси у, расстояние от осп обозначим через г, а угол между

Нас интересуют решения, симметричные в плоскости х, z, другими словами, решения, не зависимые от а. Причина этого ограничения станет ясна, когда мы рассмотрим более детально общие решения с зависимостью от а. Такие решения могут быть записаны как произведение функ­ ции, которая завпсит только от а, па функцию только г. Последняя представляет собой либо cos (па), либо sin (па). Постоянная п должна быть целой, так как мы требуем, чтобы функция G принимала то же самое значение при изменении а от 0 до 2я. Если теперь найти особенность, которая появляется после подстановки решения в (2.2.36), то получим, что интеграл от левой части равен нулю для всех функций, кроме тех, для которых п = 0. Другими словами, только функции, не зависимые от а, обладают нужной особенностью в точке г = 0.

Дополнительно мы должны потребовать, чтобы функ­ ция Грина представляла волны, исходящие нз точки х ' , z'. Имеются также решения, представляющие волны, которые приходят из бесконечности и собираются в точке х' , z'. Эти волны должны быть исключены, так как из физиче­ ских соображений очевидно, что поле должно образовы­ ваться волнами, исходящими из области источника конеч-