Файл: Маркузе, Д. Оптические волноводы.pdf

иой протяженности. В наших дифракционных задачах следует ожидать, что поле в точке х ' , z' генерируется (фиктивными) источниками, расположенными в отверстии. Волны, собирающиеся из бесконечности на точку в отвер­ стии, не удовлетворяют этому требованию. Это ограниче­ ние на допустимые функции Грина было впервые сформу­ лировано Зоммерфельдом и называется условием Зоммерфельда.

Возвращаясь к уравнению (2.2.36), теперь можно записать просто

U + f ^ + ^ G = 6(o:-a:')6(Z- Z')- (2-2.37)

Левая часть этого уравнения имеет типичный вид диффе­ ренциального уравнения Бесселя. Следовательно, реше­ ниями уравнения (2.2.37) должны быть цилиндрические функции. Существуют цилиндрические функции различ­ ного вида. Так как (2.2.37) является дифференциальным уравнением второго порядка, то, как известно, сущест­ вуют два независимых решения. Функции Бесселя и Ней­ мана являются независимыми решениями этого вида [6, 8]. Однако ни одно из этих решений не пригодно здесь. Функ­ ции Бесселя не имеют особенностей, которые требуются согласно правой части уравнения (2.2.37). Функция Ней­ мана обладает необходимым сингулярным поведением в источнике, но она представляет стоячие волны п таким образом нарушает условие Зоммерфельда. Суперпозиция этих двух функций могла бы удовлетворить обоим требо­ ваниям. Такая суперпозиция существует в форме функции Хаикеля двух родов. Функция Ханкеля первого рода представляет волны, приходящие из бесконечности [при выборе временного множителя exp (iat)]. Функция Хан­ келя второго рода как раз соответствует нашим целям. Она имеет требуемую сингулярность п представляет вол­ ны, исходящие из начала системы координат, в которой описана функция. Следовательно, функция Грина имеет вид

Оставляем читателю проверить, что G удовлетворяет уравнению (2.2.37), в частности, что сингулярность при­ водит к нужному виду правой части уравнения.

Нашу задачу со щелыо можно проиллюстрировать на фиг. 2.2.2. Щель имеет ширину d и расположена так, что края щели параллельны направлению у. Предполо­ жим, что падающая волна имеет волновой вектор, лежащий в плоскости х, z, так что ку = 0. Геометрия задачи такова, что если компонента ку отсутствует, на щели не будут создаваться волны, распространяющиеся в направлении у. Следовательно, рассеянное поле не зависит от у. Таким образом, наша задача является двумерной в смысле опре­ делений, приведенных в предыдущем разделе. Эти пред­ варительные соображения позволяют упростить инте­ грал (1.3.23) с помощью следующего соотношения:

ф (кх, ку, со)= (2я)2 ср' {кх) б (со — со0) 6 (ку). (2.3.2)

Такое представление амплитуды преобразует выражение (1.3.23) к следующему виду:

оо

'К г '.з '.О Н н - J Ф'(kx) e - ^ ' + W d k x. (2.3.3)

Временной множитель exp (UoQt) здесь опущен для про­ стоты. Чтобы еще упростить задачу, предположим, что волна падает на щель перпендикулярно. Следовательно, падающая волна может быть описана выражением

Предположим, что поле в щели с достаточной точностью может быть описано просто путем усечения функции (2.3.4). При расположении щели в плоскости z = 0 усеченная функция имеет вид

Амплитуда ф' может быть получена просто как преобразо­ вание Фурье функции (2.3.5)

меняющаяся осциллирующая функция стремится уничто­ жить вклад от функции, которая умножается на нее. Следовательно, если функция, которая умножена на экспо­ ненциальный множитель, изменяется медленно по срав­ нению с экспоненциальной функцией, результат интегри­ рования будет исчезающе мал. Теперь предположим, что на оси кх имеется точка, где производная аргумента экспо­ ненты обращается в нуль. Такая точка максимума или минимума аргумента определяет малую область, в которой аргумент стационарен, другими словами, он не меняется

впервом порядке при изменении кх. Такая область дает большой вклад в интеграл, так как быстрые осцилляции прекращаются в этой области изменения кх и никакого взаимного уничтожения не происходит. Метод стационар­ ной фазы состоит в нахождении точки или точек, где аргу­ мент быстро осциллирующей функции имеет стационарное значение. Аргумент разлагается в ряд Тейлора в окрест­ ности этой точки: разложение проводится до членов вто­ рого порядка. Член первого порядка, конечно, обращается

внуль по определению стационарной точки. Функция, умножаемая на быстро осциллирующую функцию, взятая

встационарной точке, выносится из-под пптеграла. Метод стационарной фазы аналогичен действию 6-функции, так как интеграл пропорционален величине функции, умножен­ ной на осциллирующую функцию со значением аргумента, взятым в стационарной точке.

Прежде чем использовать этот метод применительно к интегралу (2.3.7), перепишем его таким образом, чтобы экспоненциальные функции, содержащиеся в его подын­