Файл: Маркузе, Д. Оптические волноводы.pdf

Прп использовании метода стационарной фазы функция, которая умножается на быстро осциллирующую экспо­ ненциальную функцию, выносится из-под интеграла. В рассматриваемом случае множитель i/kx в выражении

Таким образом, мы получили все необходимые результаты для вычисления интеграла (2.3.10). После проведения необходимых подстановок ■ учетом того, что члены, соот­ ветствующие 0+, получаются путем замены d на —d во всех уравнениях, имеем*)

определяет направление, в котором точка х' , ъ' оказы­ вается видимой из щели.

Метод стационарной фазы является не просто удобной математической аппроксимацией, но имеет и определенный физический смысл. Точка /сИВ определяет ту область на оси кх, которая дает максимальный вклад в интеграл. Так как интеграл представляет собой суперпозицию пло­ ских волн, выражение (2.3.14) показывает, какая часть

х) Все члены, содержащие d, кроме входящих в экспоненту,

опущены как несущественные.

этих волн вносит наиболее существенный вклад в процесс дифракции. Отношение k'^lk определяет синус угла между направлением распространения волн и осью z. С учетом нашего приближения дальнего поля можно записать выра­ жение (2.3.14) в виде

х'

(2.3.26)

Правая часть выражения (2.3.26) вычислена с помощью формулы (2.3.25). Таким образом, получено, что направ­ ление плоских волн, вносящих наибольший вклад в про­ цесс дифракции, совпадает с направлением, под которым точка поля х' , z' видна из щели. Это интересный резуль­ тат, так как плоские волны, движущиеся в других направ­ лениях, можно не учитывать в точке наблюдения. В дей­ ствительности дифракционная картина, конечно, полу­ чается как суперпозиция бесконечного числа плоских волн. Метод стационарной фазы раскрывает тот факт, что только волны, которые находятся в непосредственной близости (в пространстве к) к волнам, направленным на точку наблюдения, дают существенный вклад в поле в этой точке.

Дифракционное поле (2.3.24) имеет форму цилиндри­

Множитель (2.3.27), как показано на фиг. 2.3.1, пмеет знакомый вид функции sin х!х. Он имеет максимум при а = 0. Функция симметрична относительно а и убывает при возрастании | а |. Ширина главного лепестка выра­ жения (2.3.27) определяется величиной nd/K. Определим угловую ширину лепестка излучения как угол а = Да, при котором функция (2.3.27) первый раз обращается в нуль. Этой точке соответствует значение аргумента сину­ са, равное я. Отсюда находим

Это важная формула. Она показывает, что полуширина Да главного лепестка излучения уменьшается при умень­ шении длины волны X излучения, а также при увеличении ширины щели d. Проходя через узкую щель, свет рассеи­ вается в стороны тем больше, чем уже щель и чем больше длина волны. Соотношение (2.3.28) имеет большое значе­ ние для расчета направленных антенн, для которых наши результаты непосредственно применимы. В разд. 3.6 мы

Ф и г. 2.3.1. Днфракцпоппая картина, создаваемая плоской волпой, проходящей через щель в непрозрачном экране.

увидим, что выражение (2.3.28) может быть интерпрети­ ровано как следствие знаменитого принципа неопределен­ ности Гейзенберга [10].

Осталось показать, что решение (2.3.24) также можно получить с помощью дифракционного интеграла (2.2.43). Поскольку мы имеем дело с далекой частью дифрагирован­ ного излучения, вызванного волной, которая падает нор­ мально на поверхность щели, то, прежде чем использовать выражение (2.2.43), можно сделать ряд упрощающих приближений.

так как волна падает нормально (у = 0) и мы предпола­ гаем, что в приближении (2.3.25) величина а мала. Нако-

пец, пренебрежем пленом х2 в показателе экспоненты под интегралом (2.2.43). С учетом этих дополнительных при­ ближений интеграл (2.2.43) можно записать в виде

Пренебрежение в показателе экспоненты под интегралом членом х2 приводит к результату (2.3.30), соответствую­ щему дифракции Фраунгофера. В приближении (2.3.25) подразумевается, что х' z', так что можно заменить z' на г везде, кроме показателя экспоненты, куда входит произведение малой величины х'!ъ' и большого числа к. Используя приближение

Поскольку А: = 2лА, выражения (2.3.32) п (2.8.24) равны. Оба подхода, применяемые для получения поля дифракции на узкой щели, с учетом принятых приближений приво­ дят к одному и тому же результату. Если использовать выражение (2.2.43) в качестве исходного, то метод дифрак­ ционного интеграла оказывается много проще метода плоских волн.

2.4. ДИФРАКЦИЯ НА КРУГЛОМ ОТВЕРСТИИ

Дифракционную задачу, рассмотренную в предыдущем разделе, оказалось возможным решить с помощью дву­ мерных уравнений. В этом разделе рассмотрим задачу, которая может быть решена лишь с помощью трехмерного дифракционного интеграла (2.2.31)

Пусть поле плоской волны падает перпендикулярно поверхности круглого отверстия в непрозрачном экране.

Используя приближение (2.3.29) и пренебрегая членами хг

иу- в показателе экспоненты, запишем выражение (2.2.31)

вследующем приближенном виде:

A

(2.4.1)

Здесь предполагается, что экран расположеп при z = 0. Чтобы оценить интеграл, введем полярную систему коор­ динат с полярной осью, параллельной оси z'. Тогда коор­ динаты х' , у' и х, у можно выразить следующим образом:

Комбинация, в которой этп величины входят в подынтег­ ральное выражеппе функции .(2.4.1), принимает вид

х ' х + у ' у = р о cos(P — Р').

Располагая ось, от которой отсчитываются углы, таким образом, чтобы Р' — 0, получим

Чтобы упростить обозначения, введем величину г0, рав­ ную радпусу, получаемому пз выражения (2.2.23) при z = х = у = 0. Таким образом, из выражения (2.4.1)

имеем

a 2n

ф (х', y'; z') = -£p-\|)0e -ihr° j odd l| eifc(p/z' ) 4 c o s (2.4.5)

о 0

Интеграл по Р может быть выражен через функцию Бес­ селя нулевого порядка, которая имеет следующее интег­ ральное представление [11]:

(2.4.6)

о

Используя хорошо известное соотношение [11] между / 0 и функцией Бесселя первого порядка / 1

(2.4.7)