Файл: Контроль качества продукции машиностроения учебное пособие..pdf

Математически условие независимости события А от собы­ тия В записывают в виде

ступления нескольких событий равна произведению вероятно­ сти одного из них на условные вероятности остальных собы­ тий, вычисленные в предположении, что все предшествующие: события имели место:

Рассмотрим два важных следствия из теоремы умножения вероятностей.

С л е д с т в и е 1. Если событие А не зависит от события то и событие В не зависит от события А, т. е. понятие зависи­ мости и независимости событий взаимно. Поэтому можно дать новое определение независимых событий.

События называются независимыми, если появление одноп> из них не изменяет вероятности появления других.

с размерами больше обозначенного на чертеже. У сборщика осталось 15 де­ талей, из которых 5 большего размера. Найти вероятность нарушения рабо­ ты первого собранного из этих детален механизма, если сборщик берет де­

стоящие в том, что первая, вторая и третья детали, соответственно постав­

Определить вероятность того, что за три смены не будет выпущено ни одной нестандартной детали.

4?

Решение. Обозначим через А событие, заключающееся в том, что за три

щую смену.

Тогда А = А \ -Лг-Лз, так как событие Л наступает при условии одновре­ менного наступления событий Ль Л2 и Л3. Заметим, что события Л т, Л2 п .43 являются независимыми. Вероятности наступления каждого из этих собы­ тий равна 0,9 и не зависят от того, имели место два других события или нет. Поэтому по теореме умножения вероятностей для независимых событий

(7) имеем

Р ( А ) : р (Лх • Ло • Л3) -- Р (Лх) • Р (Л2) • Р (Л3) = 0,9 . 0,9 - 0,9 =_ 0,729.

§8. Случайные величины. Законы распределения случайных величин и их числовые характеристики

Под с л у ч а й н о й в е л и ч и н о й понимается величина, принимающая в результате опыта какое-либо числовое значе­ ние, причем заранее неизвестно, какое именно (обозначают­ ся заглавными буквами латинского алфавита — X, У ... , а их возможные значения — соответствующими малыми буквами

.V, у ■ ■ ■ ). Выделяют два типа случайных величин: дискретные и непрерывные.

Случайная величина, принимающая конечное число или по­ следовательность различных значений, называется д и с к р е г - н о й. Например, количество негодных деталей в партии может быть только целым положительным числом.

Случайная величина, принимающая все значения из неко­

знать не только ее возможные значения, но и насколько часто появляются различные значения этой величины. Частоту появ­ ления случайной величины лучше всего характеризовать ве­ роятностью отдельных ее значений. Иначе говоря, для случай­

поэтому сумма заданных вероятностей pi должна равняться единице.

Соотношение, устанавливающее связь между значениями случайной величины и вероятностями этих значений, называют

48

законом распределения случайной величины и выражается графически в виде кривой распределения. Кривая распреде­ ления характеризует плотность, с которой распределяются значения случайной величины в точке. Ее часто называют «плотностью вероятности» или «плотностью распределения».

Закон распределения можно записывать в виде таблицы, графически или математической формулой.

Простейшей формой задания закона распределения дис­ кретной случайной величины X является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соот­ ветствующие им вероятности.

Такая таблица носит название ряда распределения случай­ ной величины.

Рис. 4. Многоугольник распределения

При графическом изображении все возможные значения случайной величины откладывают по оси абсцисс, а по оси ординат — соответствующие вероятности, и полученные точки соединяют отрезками прямых (рис. 4). Такая фигура назы­ вается многоугольником распределения.

Многоугольники распределения могут иметь самую различ­ ную форму, однако все они обладают одним общим свойством. Сумма ординат многоугольника распределения, представляю­ щая собой сумму вероятностей всех возможных значений слу­ чайной дискретной величины, всегда равна единице. Это основ­ ное свойство вытекает из условия, что все возможные значе­ ния случайной величины X образуют полную группу несов­ местных событий.

Закон распределения случайной величины не всегда может быть задан таблицей. Например, если речь идет о непрерывной случайной величине, то все ее значения перечислить невоз­ можно. Поэтому ее характеризуют не вероятностями отдельных значений, как дискретную, а вероятностями того, что случай­ ная величина принимает значения из определенного интерва­ ла, т. е. вероятностями неравенств вида а ^ Л 'с р . В дальней­ шем будем говорить о вероятности неравенства — сл < X < х,

т. е. вероятности того, что случайная величина принимает зна­

величины.

Зная закон распределения случайной величины, можно ука­ зать, где располагаются ее возможные значения и какова ве­ роятность появления ее в том или ином интервале. Однако при решении многих практических задач нет необходимости харак­ теризовать случайную величину полностью, достаточно иметь только некоторое общее представление о случайной величине.

В теории вероятностей для общей характеристики случай­ ной величины используются числовые характеристики. Основ­ ное их назначение — в сжатой форме выразить наиболее су­ щественные особенности того или иного распределения.

О каждой случайной величине необходимо прежде всего знать ее некоторое среднее значение, около которого группи­ руются возможные значения случайной величины, а также

р и р 2 - . . , р п . Тогда математическое ожидание случайной вели­ чины X, которое мы обозначим р [Л'] или просто р, определяет­ ся равенством

П

!А I * 1 = *iPi — W o + . . . - хпрп = V Xj>t. ( Ю)

/=|

Итак, математическим ожиданием случайной величины X называется сумма произведений всех возможных значений слу­ чайной величины на вероятности этих значений. Математиче­ ское ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины и тем точнее, чем больше число опытов.

Если производится несколько серий опытов, то математи­ ческое ожидание есть такое постоянное число, около которого будут колебаться средние арифметические значения случайной величины, вычисленные для каждой серии опытов.

Для непрерывной случайной величины математическое ожи­ дание вычисляется по формуле

50

другие характеристики положения — мода и медиана случай­ ной величины.

М о д о й М0 дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение. Для непрерывной случайной ве­

Рис. 5. Моды на кривых распределения случайных величин:

а — дискретной; б — непрерывной

Если кривая распределения имеет два или несколько мак­ симумов, то распределение называется двухмодальным или лмпогомодальным (рис. 6).

Рис. 6. Двухмодальное распределение случайных величин:

а— дискретной; б — непрерывной

Ме д и а н о й х случайной величины X называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение «большего или меньшего значения случайной величины, т. е.

Геометрически медиана — это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится попо­ лам (рис. 7). Так как вся площадь, ограниченная кривой рас­

пределения, равна единице, функция распределения в точке д; будет

все три характеристики положения случайной величины — ма­ тематическое ожидание, мода и медиана — совпадают.

Рис. 7. Медиана на кривой распределения

Значения наблюдаемых в практике случайных величин всегда более или менее колеблются около среднего значения. Это явление называется рассеянием случайной величины около ее среднего значения. Числовые характеристики, харак­ теризующие рассеяние случайной величины, т. е. показываю­ щие, насколько тесно сгруппированы возможные значения случайной величины около центра рассеяния (математиче­ ского ожидания), называются х а р а к т е р и с т и к а м и р а с ­ с е я н и я .

Основными характеристиками рассеяния случайной вели­ чины являются дисперсия и среднее квадратическое отклоне­

Дисперсия выражается:

для дискретной случайной величины

52