Файл: Контроль качества продукции машиностроения учебное пособие..pdf

Для наглядности строят различные графики статистическо­ го распределения и, в частности, полигон и гистограмму.

П о л и г о н о м ч а с т о т называют ломаную, отрезки кото­ рой соединяют точки (лт, я-i), {х2 (хд, пд). Для по­ строения полигона частот на оси абсцисс откладывают вариан­ ты Х{, а на оси ординат — соответствующие им частоты л*. Точ­ ки (Xi, rii) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

63

ных частот iia оси абсцисс откладывают значения х;, а на оси; ординат —■ соответствующие нм относительные частоты 1Г,-. Точки (лу, ff'f) соединяют отрезками прямых и получают поли­ гон относительных частот.

На рис. 10 изображен полигон относительных частот сле­

ру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых слу­ жат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отноше­

нию (плотность частоты). Для ее построения на оси

аоецнсс откладывают частичные интервалы, а над ними прово­

, Wi т

частичного прямоугольника равна h--j- = Wi. Следователь­

но, площадь гистограммы равна сумме всех относительных частот, т. е. единице.

Благодаря наглядности гистограммы получили широкое распространение в области контроля качества. На передовых

64

предприятиях давно существует практика записи «истории ка­ чества». Все показатели качества изделий от партии к партии отражаются в виде гистограмм, на которые наносят дополни­ тельные линии технических пределов и номинального значения. С помощью гистограмм рекомендуется оформлять предложе­ ние-заявку и сертификат-гарантию. Карточки с гистограммами удобно хранить, легко сортировать в зависимости от исследуе­ мого признака. На рис. 12 схематически представлена «исто­ рия качества».

О

При статистическом анализе гистограмма является ценным средством. Введение статистических методов на предприятии надо начинать с исследования распределения частот и построе­ ния гистограмм. Одновременно определяют статистические ха­ рактеристики: среднюю арифметическую и среднее квадрати­ ческое отклонение. Построение гистограмм — это первая сту­ пень при введении на предприятиях контрольных карт.

§ 13. С тати сти ч ески е оценки п а р а м е т р о в р асп р ед ел ен и я

Пусть требуется изучить количественный признак генераль­ ной совокупности. Допустим, что теоретически удалось устано­ вить, какое распределение имеет признак. Возникает задача оценки параметров, которыми определяется это распределение. Например, если известно, что изучаемый признак распределен в генеральной совокупности нормально, то необходимо оценить (приближенно найти) математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение, так как эти два параметра пол­ ностью определяют нормальное распределение. Если же есть основания считать, что признак имеет распределение Пуассона, то необходимо оценить параметр а , которым это распределе­ ние определяется.

Обычно в распоряжении исследователя имеются лишь дан­

далее наблюдения предполагаются независимыми). Через эти данные и выражают оцениваемый параметр.

Рассматривая х и Хо,...,хп как независимые случайные ве­ личины АТ, А2, . . . , Хп, можно сказать, что найти статистиче­ скую оценку неизвестного параметра теоретического распреде­ ления — значит найти функцию от наблюдаемых случайных величин, которая и дает приближенное значение оцениваемо­ го параметра. Например, для оценки математического ожида­ ния нормального распределения служит среднее арифметиче­ ское наблюдаемых-значений признака:

- _ * 1 - р * 2 Т ~ * 3 4 ~ • • • ~ \~ х п

п

Чтобы статистические оценки давали «хорошие» приближе­ ния оцениваемых параметров, они должны удовлетворять оп­ ределенным требованиям. Рассмотрим эти требования.

Пусть 0 * — статистическая оценка неизвестного парамет­ ра 0 теоретического распределения. Допустим, что по выбор­ ке объема п найдена оценка ©Д. Повторим опыт, т. е. из­ влечем из генеральной совокупности другую выборку того же

ожидание которой не равно оцениваемому параметру, приве­ дет к систематическим (одного знака) ошибкам. По этой при­ чине естественно потребовать, чтобы математическое ожидание

-66

оценки |i ( 0 * ) = 0 было равно оцениваемому параметру. Хотя соблюдение этого требования не устранит ошибок (одни зна­ чения 0 * больше, а другие меньше 0 ), однако ошибки разных знаков будут встречаться одинаково часто. Иными словами,

математическое ожидание которой равно оцениваемому пара­ метру 0 при любом объеме выборки, т. е. р(@*) = 0 .

С м е щ е н н о й называют оценку, математическое ожида­ ние которой не равно оцениваемому параметру.

Однако было бы ошибочно считать, что несмещенная оцен­ ка всегда дает хорошее приближение оцениваемого парамет­ ра. Действительно, возможные значения 0 * могут быть сильно рассеяны вокруг своего среднего значения, т. е. дисперсия а2(в *) может быть значительной. В этом случае найденная по данным одной выборки оценка, например © Д может оказаться

этой причине к статистической оценке предъявляется требова­ ние эффективности.

Э ф ф е к т и в н о й называют статистическую оценку, кото­ рая (при заданном объеме выборки п) имеет наименьшую воз­ можную дисперсию.

При рассмотрении выборок большого объема к статистиче­ ским оценкам предъявляется требование состоятельности.

С о с т о я т е л ь н о й называют статистическую оценку, ко­ торая при п-*- сп стремится по вероятности к оцениваемому параметру. Например, если дисперсия несмещенной оценки при tt-vco стремится к нулю, то такая оценка оказывается и состоятельной.

Чтобы кратко выразить результаты наблюдений, сущест­ вуют два типа числовых характеристик: с помощью одного из них описывается среднее положение наблюдаемых значений, с помощью другого — отклонение индивидуальных значений от среднего. Числовые характеристики называются также ста­ тистическими мерами.

В практике контроля качества особый интерес представ­ ляют следующие средние значения: среднее арифметическое

значение х и медиана — х. Наиболее известно среднее арифме­ тическое ряда измерений. В повседневной жизни нам приходит­ ся часто сталкиваться с такими средними значениями. Так, на

предприятии рассчитывается среднемесячная доля брака, сред­ ний расход сырья в цехе или среднесуточная производитель­ ность агрегата. Точно так же, как вычисляют эти средние зна­ чения (суммирование индивидуальных значений и деление суммы на количество величин), определяют и среднее арифме­ тическое ряда измерений объема п со значениями хь х2, ... , хп.

Среднее арифметическое ряда измерений определяется по формуле

Средняя арифметическая обладает некоторыми свойствами. Основное свойство средней арифметической: сумма откло­

нений Хг от средней арифметической всегда равна нулю:

(*i—х) + (х2— х) + . .. + [х„ — х) = 2J (хг — х) = 0. I

Справедливость этого свойства следует из определения средней арифметической и показана на примере 14.

Если значение х,- выражается числом, состоящим из не­ скольких цифр, то вычисления можно упростить, введя услов­

ную среднюю ха. Тогда

«8