Файл: Контроль качества продукции машиностроения учебное пособие..pdf

420—439. Для большей наглядности и убыстрения счета каждый пятый штрих в одной группе наносят поперек четырех предшествующих.

При больших значениях п можно по распределению штриховых отметок судить о распределении количественного признака. Довольно просто узнает­ ся, имеется ли приближенное нормальное распределение данных.

Количество штрихов в группе есть абсолютная частота и обозначается она через /г,- (третья графа). Сумма чисел третьей графы, соответствует объему выборки п.

Вычисления начинают с четвертой графы. Сначала в штриховой табли­ це определяют среднюю группу, т. е. группу, в которой ориентировочно на­

380—399. Можно и любой другой группе дать такой номер. Но для удобст­ ва последующих вычислений рекомендуется присваивать т = 0 средней груп­ пе или группе с наибольшей частотой и,-. Выбор средней группы с т — 0 не влияет на правильность результатов. Преимущество правильного выбора

73

средней группы состоит только в том, что дальнейшее вычисление произво­ дится с малыми числами. Начиная от нуля, группы нумеруют в сторону с большими измерениями непрерывно + 1 , + 2 , + 3 . . . и с меньшими измере­ ниями — 1, —2, —3 . .. до последней группы.

Впятой графе находится произведение r i i - m для каждой группы. Для дальнейших расчетов понадобится сумма значений этого столбца. Сумма может оказаться отрицательной. Будем обозначать ее через А .

Вшестой графе перемножают числа четвертой и пятой граф и произве­

ленные частоты в процентах. Относительную частоту подсчитывают по фор­

муле— -100%, относительную накопленную частоту — путем ступенчатого

последовательного суммирования относительных частот.

Определение среднего арифметического значения и среднего квадрати­ ческого производится по формулам:

Штриховые таблицы получили очень широкое применение на производстве. Для их составления используются спецналь ные бланки.

§15. Точность оценки. Доверительная вероятность (надежность). Доверительный интервал

Все оценки, рассмотренные выше, являются точечными — они определяются одним числом. При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оценивае­ мого параметра, т. е. приводить к грубым ошибкам. Поэтому в таких случаях следует пользоваться интервальными оцен­ ками, которые определяются двумя числами — концами интер­

74

неравенству (0 —0) < б ; можно лишь говорить о вероятности у, с которой это неравенство осуществляется.

Часто по результатам выборки необходимо сделать заклю­ чение о генеральной совокупности. При повторном контроле выборок из одной генеральной совокупности результаты выбо­ рок рассеиваются, поэтому нельзя получить характеристики генеральной совокупности, а можно лишь определить интер­ вал, в котором содержится соответствующее значение харак­

ожидается истинное значение харатеристики генеральной со­ вокупности.

Понятие « с т а т и с т и ч е с к а я н а д е ж н о с т ь » приме­ няется в статистическом контроле качества при различных по­ становках задач, например, при определении доверительных интервалов, применении критериев и использовании контроль­ ных карт. Статистическая надежность является вероятностью того, что решения или выводы, полученные на основе результа­ тов выборки, в действительности правильны.

Так как существуют контрольные признаки или методы проверки, при которых нужно знать выход только за верхнюю и только за нижнюю границы, различают одностороннюю у' и двустороннюю у" статистические надежности. Если ясно, что имеет место двусторонняя статистическая надежность, то до­ пускается также обозначение у', односторонняя всегда обозна­ чается через у'.

Между односторонней и двусторонней статистическими на­

75

Использование односторонней статистической надежности реализуется в том случае, если нужно знать только отклонение в одну сторону, например, отклонение утолщения при контро­ ле толщины слитка.

В машиностроении используют статистические надежности 99,73 и 99%- Если же от результата испытания зависят важные решения, то используют статистическую надежность, равную 99,9%- Расмотрим два случая.

П е р в ы й — доверительные интервалы для оценки мате­ матического ожидания нормального распределения при извест­ ном а. Пусть количественный признак X генеральной совокуп­ ности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение а этого распределения известно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание а по выборочной сред­ ней. Поставим своей задачей найти доверительные интервалы, покрывающие параметр а с надежностью у.

Будем рассматривать выборочную среднюю х как случай­ ную величину X (х изменяется от выборки к выборке) и выбо­ рочные значения признака хь х2, ■ ■ ■ , хп как одинаково распре­ деленные независимые случайные величины Х2, ... , Хп (эти числа также изменяются от выборки к выборке). Другими сло­ вами, математическое ожидание каждой из этих величин рав­ но а, и среднее квадратическое отклонение равно а.

Примем без доказательства, что если случайная величина

распределена нормально, то выборочная средняя х, найденная по независимым наблюдениям, также распределена нормаль­ но. Параметры распределения таковы:

Смысл полученного соотношения таков: с надежностью у

можно утверждать, что доверительный интервал ( х — t —Е—

V V n

x + t - У У покрывает неизвестный параметр а; точность оцен-

V n )

G

КИ 0 = t •

V П

76

тельные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания а по

Поясним смысл, который имеет заданная надежность. На­ дежность у =0,95 указывает, что если произведено достаточна большое число выборок, то 95% из них определяет такие дове­ рительные интервалы, в которых параметр действительно за ­ ключен; лишь в 5% случаев он может выйти из границы дове­ рительного интервала. Если требуется оценить математиче­ ское ожидание с точностью б и надежностью у, то минималь­ ный объем выборки находится по формуле (следствие второе):

/202 п — ----.

52

В т о р о й — доверительные интервалы для оценки матема­ тического ожидания нормального распределения при неизвест­ ном о. Пусть количественный признак X генеральной совокуп­ ности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение а неизвестно. Требуется оценить неизвестное мате­ матическое ожидание а при помощи доверительных интер­ валов.

Оказывается, что по данным выборки можно построить случайную величину (ее возможные значения будем обозна­ чать через Т ):

•Y1 % м- SIVT

которая имеет распределение Стьюдента с k = n —1 степенями

свободы; здесь х — выборочная средняя; s — выборочное сред­ нее квадратическое отклонение; п — объем выборки.

Всоответствии с распределением Стьюдента доверительный

—£ — ^

раметр а с надежностью у. Здесь случайные величины X и 5 за ­

менены неслучайными х и s, найденными по выборке. Из при­ ложения 2 по заданным п и у можно найти

средняя х — 2 0 ,2 и выборочное среднее квадратическое отклонение s=0 .8 .

7 7