ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 128
Скачиваний: 0
В этом случае мы получаем к о н с е р в а т и в н о е з в ено .
Амплитудно-фазовая характеристика консервативно го звена определяется выражением
<3 ' 6 8 >
Графически эта характеристика при изменении вход ной частоты и о т 0 до оо имеет вид двух полупрямых (рис. 3-12). Первая полупрямая начинается при со = 0 на вещественной положительной полуоси в точке k и при возрастании м до со = соо уходит в бесконечность по веще-
Рис. 3-12. Амплитудно-фазовые частотные характери стики колебательного звена.
ственной полуоси в положительном направлении. Вторая полупрямая совпадает с отрицательной вещественной полуосью. Начало полупрямой — в бесконечности при со = соо, а конец — в начале координат при со = оо .
Определяя первую производную АЧХ по частоте и
приравнивая |
полученное выражение нулю, находим: |
|
dW (а) |
k |
|
(/со |
2 у |
X |
|
[(1 — Г^со2)2 + T’ jCü2]* |
|
130
rfüi |
|
|
|
Отсюда вытекает, что |
|
|
|
d [ ( 1 - Г 2 ^ ) 2 + ^ J |
й [ \ + { Т * - 2 Т \ ) & + т У \ _ |
||
den |
|
dco |
|
= ш (2Т2{ — 4Т2) -f- 4Т\ ш3 = |
О |
||
или |
|
|
|
.(27’* » * -2 7 ^ + 7 j) = 0. |
|
||
Из этого уравнения |
находим |
значения частот, при |
|
которых АЧХ имеет экстремумы |
|
|
|
»1 = 0 ; (Ö2= 7 7 | / ' 1 |
— 2 Ті |
(3-59) |
|
|
|||
■Из выражения (3-56) |
следует, что |
при co = coi=0 |
|
АЧХ равна коэффициенту усиления звена |
|||
W((sn)=W\0)=k- |
|
||
и не зависит ни от значений постоянных времени Ті и Т&
ни от их соотношения. |
|
значение |
W (со) |
Второе вещественное экстремальное |
|||
имеется только при |
1—Г2і/(2 7 \)> 0 , |
т. е. при |
7ѴГ2<0 |
2=1,41. При этом |
чем больше отношение постоян |
||
ных времени приближается к значению ТѴГ2= Ѵ~2, тем ближе подходит вторая точка экстремума к первой.
При Ті/Т2^ у 2 АЧХ имеет только один экстремум при ші= 0. Так как при изменении со от 0 до оо АЧХ
(3-56) стремится к нулю, то при Ті/Т2^ У 2 экстремаль
ная точка W(®i) = W (0) =k является максимумом кривой
W(0).
Рассмотрим второй экстремум кривой W(со), появля ющийся при ТіГі2< V 2. Подставив в выражение (3-56) величину со2 из формулы (3-59), найдем:
^ К) = |
V |
О 1 |
k2 Vпг |
|
|
|
|
|
|||
|
|
+ d r |
1 |
Т% |
|
|
|
■*О |
|||
|
|
2 ТІ |
2 |
9' |
131 |
k
Полагая T \jT \= a ., |
получим: |
|
|
W » = |
— — = * = = . |
(3-60) |
|
|
V |
‘- m |
|
При Ті/Т2< У 2 имеем: |
a<2 и а/2<1; |
величина |
|
а/2< 1— правильная дробь и притом подкоренное выра
жение всегда |
меньше |
единицы; |
следовательно, |
корень |
|
в знаменателе выражения (3-60)— правильная дробь |
и |
||||
1^ ( 0 0 2 ) > Щ 0 ). |
Таким |
образом, |
при возрастании |
со |
от |
соі=0 до иг АЧХ тоже возрастает, |
начиная со значения |
k при CD.—0, и при m2 достигает |
максимума, равного |
[см. формулу (3-60)} |
|
Частота а2 является собственной частотой колебаний звена. При дальнейшем увеличении частота АЧХ стре мится к нулю.
Амплитудно-частотные характеристики колебательно го звена для различных значений постоянных времени представлены на рис. 3-13.
При уменьшении отношения Ті/Т2 максимум АЧХ увеличивается, увеличивается и значение частоты, при котором наступает этот максимум, приближаясь к соб ственной частоте колебаний консервативного звена too-
При Ті/Т2= 0 максимум |
1і^(ш) |
равен бесконечности |
|
на частоте со = coo= 1/Т2. При |
этом |
колебательное |
звено |
превращается в консервативное. |
|
х ар ак |
|
На рис. 3-13,6 представлена ФЧХ ср(ю). Все |
|||
теристики ф ( со) для различных отношений Ті/Т2 равны
нулю при со=0, |
равны —я/2 при частоте |
ш = соо |
и стре |
мятся к —п при |
частоте со— >-°о. Так как |
ф(со) |
отрица |
тельна, то выходные колебания во всем диапазоне изме нений со отстают от входных колебаний.
132
При |
f i= Ö |
фаза |
выходных |
колебаний |
совпадает |
|
с фазой |
входных колебаний в диапазоне изменений со от |
|||||
Одо соо. |
При со — соо происходит изменение фазы скачком |
|||||
от ф ( ' с о ) = 0 |
до < р ( с о ) = —it и в диапазоне изменений со |
|||||
от соо до со = |
оо |
фаза |
выходных |
колебаний |
отстает от |
|
фазы входных колебаний на я. |
|
|
||||
Рис. 3-13. Амплитудно-частотные №(ш) и фазо-частотные ф(со) характеристики колебательного звена.
Из частотных характеристик колебательного звена следует, что при малых частотах входных колебаний (со ^ 0) оно по своим свойствам приближается к усили тельному звену, а при больших частотах входных коле баний вообще не пропускает сигнала. Логарифмируя выражение (3-56), находим:
L (ш) = 201g k — 201g j/~(1 — Т\ со2)3 -(- 7"j (о2 (3-61)
или
|
/ |
Z.(»)= 201g*-201gy |
/ Г . / N 2 1 2 . I j / ед \ 2 |
[ ‘ “ ( І г Я + т И іг ) |
(3-62)
На рис. 3-14 по выражению (3-62) при k = l для раз личных отношений Т\1Т% приведены ЛАЧХ звена в отно сительных частотах со/соо==Г2со. Из рис. 3-14 видно, что
133
ЛАЧХ при низких частотах приближаются к асимптоте, совпадающей с вещественной осью, а при высоких ча стотах— к асимптоте в виде прямой с наклоном —40 дб/дек.
Это также следует из выражения (3-62). Так, при со/соо~0 находим аналитическое выражение для первой асимптоты:
Tai (со) = 20 lg k—20 lg 1 = 2 0 lg k.
Рис. 3-14. Логарифмические амплитудно-частотные характеристики колебательного звена.
При k = l Lai(coj=0. |
|
частот, |
когда (со/соо)4^> |
||||
При |
больших |
значениях |
|||||
3>'(со/соо)2, можем записать. |
|
|
|||||
|
- |
(«») = |
2 0 l g |
* — 2 0 l g V " |
= |
||
= |
2 0 l g |
k — |
2 0 |
lg (со/св0) 2 = |
2 0 l g /г — |
4 0 l g ( CB/(Ö 0) . |
|
При |
k = \ |
|
La2 (co)=—40lg (со/соо). |
Следовательно, |
|||
La2 (cü) |
в логарифмическом масштабе |
является прямой |
|||||
с наклоном — 40 дб/дек, |
пересекающей вещественную |
||||||
ОСЬ ПрИ C0/lCüfl= 1 .
Так как первая асимптота совпадает с вещественной осью, то сопряжение асимптот происходит при относи тельной частоте <B/ COO= 1 . Абсолютное значение частоты при этом равно <о = со.о= 1/Тг.
134
Из выражения (3-61) следует, что при кФЛ вид ЛАЧХ сохраняется, но они только перемещаются парал лельно оси абсцисс на величину 20 lg /г.
На рис. 3-14 видно, |
что реальные ЛАЧХ звеньев, |
у которых 0,8<Гі/Г2< |
1,4, могут быть заменены прибли |
женной ЛАЧХ с погрешностью, не превышающей 3 дб. Для звеньев, у которых , это отношение находится вне
Рис. 3-15. Поправочные кривые к аппроксимированной двумя прямыми ЛАЧХ колебательного звена.
указанных пределов, необходимо строить точные ЛАЧХ. Это можно сделать или по выражению (3-62), или же графически с помощью кривых поправок к приближен ной (асимптотической) ЛАЧХ, представленных на рис. 3-15.
Логарифмические фазо-частотные характеристики представлены на рйс. 3-16.
135
При Ті/Т£>2 колебательное звено (2-25) представля ется двумя соединенными последовательно апериодиче скими звеньями с передаточными функциями
k |
и |
w 2( p ) = |
1 |
«Мр)= ТзР+ 1 |
Tj>+ 1 • |
При этом передаточная функция соединения имеет вид
k
(3-63)
1)(7 > + 1 )
где Г3=1/аі и Т4=1/аг, здесь —си и —аг —корни харак теристического уравнения (2-31), определяемые выраже нием (2-32).
а
щ
-20
- w
-во
-80
-90 -
-1ÖO
-120
5ч5 - |
С\з' |
|
|
|
|
||
N |
'0,6 |
|
|
N$1 |
О |
|
|
|
И |
пп _1 |
|
Tf'_ |
I й |
|
|
- То '=2_ |
|
|
|
2 |
1 |
|
і |
|
1□и |
|
1 |
і |
|
п |
|
ш |
|
п 1 |
|
|
|
,2~ |
|
|
1 < |
,6 |
|
|
|
|
) |
-140 |
|
1 |
< |
|
чL UоJo |
-100 |
\1 |
1 |
|
||
|
у>(ш) |
|
|
< |
|
-180 |
|
|
1 |
1І |
|
0,1 0,2 |
0,3 0,4 0,0 0,81 1,4 |
|
|||
|
2 3 4 |
S ’ß в Ю |
|||
Рис. 3-16. Логарифмические фазо-частотные харак теристики колебательного звена.
Из выражения (3—63) с учетом (3-49) и (3-52) по лучим:
L (ш) = 20 lg £ — 20 lg ] / " Т23со2—}—1 _201g)/7^u>2- f 1 . '
(3-64)
№