ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 124
Скачиваний: 0
да. Октавой называется диапазон частот Между какойлибо величиной частоты и ее удвоенным значением.
В логарифмическом масштабе частот отрезок в одн> октаву имеет одну и ту же длину, не зависящую от ве личины со и равную
lg2co—lg со = lg 2+ lg со—lg со = lg 2.
Декадой называется интервал частот между какойлибо величиной частоты и ее десятикратным значением.
В логарифмическом масштабе частот отрезок в одну декаду, так же как и в одну октаву, не зависит от часто ты и имеет длину, равную
lg Юсо—lg со = lg 10= 1.
Так как с помощью частотных характеристик можно решать большое количество практических задач по ана лизу, синтезу и определению оптимальных параметров настроек АСР, то для этого важно знать частотные ха рактеристики типовых звеньев и их соединений, наибо лее широко применяемых для улучшения динамических свойств систем (см. § 3-4).
3-4. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТИПОВЫХ ЗВЕНЬЕВ
а) Частотные характеристики усилительного звена
Исходя из выражения (2-14), можно записать:
W{ju>) = |
k, |
U{m) = |
k , |
V (ш) = 0; |
(3-42) |
W{w) = |
k, |
ср(ш) = |
0. |
|
|
|
|
||||
jV(w) |
|
|
W(io) |
|
|
|
|
к |
|
|
|
W(jw) |
CO -O -T - O O |
|
w |
|
|
-Â__ |
|
/ U(u>) |
0 |
|
|
a) |
|
|
|
||
|
|
ff) |
|
||
Рис. 3-7. Частотные характеристики усилительного звена.
Таким образом, АФХ усилительного звена представ ляет вектор, совпадающий с положительным направле нием оси абсцисс, модуль которого не зависит от часто ты и равен коэффициенту передачи звена.
123
Ёоздействия любой частотѣ, поступающие гіа вход этого звена, усиливаются в одинаковой степени без фа зового 'сдвига. Частотные характеристики усилительного звена представлены на рис. 3-7.
Логарифмическая АЧХ звена определяется выраже нием
L(co) =20 lgÄ |
(3-43) |
ипредставляет собой прямую параллельную оси абсцисс
ипроходящую от нее на расстоянии 20 lg k. Логарифми ческая ФЧХ при всех частотах совпадает с осью абсцисс, так как фазовый сдвиг при всех частотах равен нулю [см. выражение (3-42)].
6] Частотные характеристики интегрирующего звена
Из |
передаточной функции |
(2-16) |
|
звена W(p)=k/p |
|||
определяем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
W (/□>)=-£-= |
' і г ; |
|
|
|||
|
U ' |
/О) |
|
|
|||
|
U(ш)— 0; |
|
Ѵ(ш)= - А |
; |
. |
(3-44) |
|
|
* ( « ) = £ : ? Н = — b , |
|
|||||
Согласно'формуле (3-31) получим также: |
|
||||||
|
|
|
ь |
4 Т |
|
|
(3-45) |
|
W иШ)=— е |
|
|
||||
|
u |
1 |
СО |
|
|
|
|
Частотные характеристики представлены на рис. 3-8, |
|||||||
из которого следует, что |
при изменении со от 0 до оо со |
||||||
а) |
А Ф Х звена W(ja>) |
||||||
впадает с отрицательной |
мнимой полуосью (рис. 3-8,а); |
||||||
б) |
при всех частотах |
выходные |
колебания |
отстают |
|||
по фазе от входных на угол 90° (рис. 3-8,в); в) АЧХ представляет собой гиперболу, т. е. чем мень
ше частота входногосигнала, тем больше этот сигнал
усиливается звеном. |
При |
со = 0 коэффициент |
усиления |
|
равен бесконечности |
и наоборот, |
при со = оо |
коэффи |
|
циент усиления звена равен нулю |
(рис. 3-8,6). |
|
||
Логарифмируя №(Ü>) в |
(3-44), получим: |
|
||
L(co) =20 \g k—20 lg CD. |
(3-46) |
|||
124
Таким образом, ЛАЧХ представляет собой прямую линию, пересекающую при /е= 1 ось абсцисс в точке со= = 1 и имеющую наклон к оси абсцисс 20 дб/дек. При кФ, 1 ЛАЧХ перемещается параллельно оси ординат на величину 20lg k (рис. 3-9,а).
Рис. 3-8. Частотные характеристики интегрирующего звена.
Логарифмическая фазо-частотная характеристика не зависит от частоты и равна —л/2 (рис. 3-9,6). На рис. 3-9 на оси абсцисс для сравнения указаны значения как 'со, так и lg со, а также нанесена координатная сетка частот.
Рис. 3-9. Логарифмические частотные характеристики интегрирующего звена.
125
в) Частотные характеристики апериодического звена
Из передаточной функции звена ^ (р )= т / + Т [фор'
мула (2-22)] находим его АФХ:
W(jo>) = |
k |
1+ /соГ |
А(1 — ІыТ)
(3-47)
Т2а>2+ 1
Вещественная и мнимая частотные характеристики
[/(сф Т~и1-)- 1 |
ѵ » = - |
kTu> |
(3-48) |
r w - f |
|||
Согласно уравнениям (3-39) хх уw |
АЧХ и ФЧХ |
||
имеют вид: |
|
|
|
W(ш) |
t V Т 2®2+ 1 |
’ |
(3-49) |
|
|
||
<р (со) = |
— a r c I g T o ) . |
|
(3-50) |
Задаваясь различными значениями ю, можно по вы ражениям (3-47) построить АФХ звена. Однако в дан ном случае можно из этих же двух уравнений алгебраи чески получить на плоскости U, j V уравнение кривой W (ja) в явной форме как функцию.
Складывая выражения (3-48), получим:
1/(ш) -j-_V (ш) |
А (і — Та) |
|
Т2а>2+ 1 ' |
||
|
. Возведя в квадрат левую и правую части равенства, найдем:
W (ш)+ |
Ѵ2(ш) + |
2£/(ш)Ѵ(ю): |
|
kr [Т2а>2— 2Тш-\- 1] |
|
||
|
(Tsa 2-f- l) 2 |
— |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
= U(w) |
k |
Т2а>2+ |
1 |
kTcо |
1 |
= U (to) [/г —f—2 V |
(со)], |
|
|
7'2<a2 + |
1 |
Г 2to2 + |
|
|
|
откуда
V2 (co) + £/2(co)—kU(a) =0.
Прибавляя к обеим частям этого равенства слагае мое (А/2)2, получаем:
V2(co) +{t/(ca)—k/2f= (kl2)2. |
(3-51) |
Из полученного уравнения следует, что АФХ имеет вид окружности (рис. 3-10,а) с радиусом £/2, центр ко торой расположен на положительной вещественной по-
126
луоси в точке с координатами (£/2; 0). Окружность ка сается мнимой оси в начале координат. Изменениям со
от 0 до |
-poo соответствует полуокружность, расположен |
ная в |
четвертом квадранте, а изменениям <о от 0 до |
—оо — полуокружность в первом квадранте. |
|
На рис. 3-10,6 и в представлены также амплитудночастотная и фазо-частотная характеристики звена. Из графиков частотных характеристик видно, что усиление звена по амплитуде при увеличении частоты уменьшает ся. Это уменьшение тем резче, чем больше постоянная времени.
Рис. 3-10. Частотные характеристики апериоди ческого звена.
С ростом частоты увеличивается также фазовый сдвиг выходных колебаний по отношению к входным. Фазо-частотная характеристика звена отрицательна, сле довательно, выходные колебания по фазе отстают от входных. При одной и той же частоте фазовый сдвиг тем больше, чем больше постоянная времени звена. При небольших частотах (со~0) апериодическое звено ведет себя как усилительное звено с коэффициентом усиления k. При больших частотах выходная величина по модулю стремится к нулю, а ее фаза ср (со) — к значению —я/2.
При а —І/Т фаза ср(со)=—я/4, а W(a) =kß/r2І Логарифмируя выражение (3-49), найдем:
I(ср) = 2 0 l g k- 2 0 lg 1 / T V + T . |
(3-52) |
т
Из выражения (3-52) следует, что при изменении коэффициента усиления звена ЛАЧХ перемещается па раллельно оси ординат, не меняя своей формы. При из менении частоты от 0 до оо при со <d 1/7" ЛАЧХ можно аппроксимировать горизонтальной прямой L (со) =20 lg k,
а при ю>1 /Т — прямой |
Д(м) = 2 0 \gk—20 lg соТ, |
имею |
||
щей наклон — 20 дб/дек. |
|
при |
|
равна |
Действительно, например, |
соі, Л А Ч Х |
|||
L(coi) =20 lg/e—20 lgcoiA, |
а |
при |
со2 = 1 0 соі получаем |
|
A ( c ö 2 ) = 2 0 1 g & — 2 0 lg 1 ОсоіТ. Найдем |
уменьшение |
Л А Ч Х |
||
на декаду: |
|
|
|
|
ДА= —'20 lg 1ОсосТ'-Ь 20 lg со7^г= —20—20 lg coiA+ + 201gwi7' = —20 дб/дек.
Следовательно, ЛАЧХ может быть приближенно представлена двумя вышеуказанными прямыми (асимп тотами), сопрягающимися друг с другом частоте
Рис. 3-11. Логарифмические частотные характеристики апериодиче ского звена.
©і=1/Г. Эту частоту принято называть сопрягающей. При представлении фактической ЛАЧХ приближенной (рис. 3-11,а) максимальная ошибка будет на сопрягаю щей частоте
ДА (<!),)= —201g |/ 2 = — 3 дб.
Логарифмическая фазо-частотная характеристика, построенная в полулогарифмическом масштабе по выра жению (3-50), представляет собой кососимметричную линию (рис. 3-11,6). На интервале частот 0,1/Г<©<10/Г ЛФЧХ можно аппроксимировать прямой с наклоном — 45°/дек, проходящую через точку с координатами
128
[ср(со)=45°; <лТ—1 дб\. При этом следует отметить, что при такой аппроксимации ошибка является существен ной (до 6°), в связи с чем она не всегда допустима.
г) Частотные характеристики колебательного эвена
По формуле (2-25) передаточной функции звена W (р) =
=— 5---- ------------ АФХ можно записать в виде
Т2 Р * + Т і Р + 1 |
|
|
W (/ш) = |
----------- £----------- |
. |
u ' |
1_ utTl + jaT, |
|
Вещественная частотная характеристика
U H : |
й(1 -7> ») |
|
Тfco* |
||
(1 |
Мнимая частотная характеристика
А7\со
V Н =
(1 — 7’^w!)! + Т\ ш2
Амплитудно-частотная характеристика
\Ѵ(ш) |
_______ k_ |
|
]/" (!■ - 7>*)» + Т~й>г |
||
|
Фазо-частотная характеристика
<Р (ш) = — aretg |
Т, со |
1—Т|ш2 |
(3-53)
(3-54)
(3-55)
(3-56)
(3-57)
На рис. 3-12 изображена АФХ звена. Она начинается на вещественной оси в точке с абсциссой, равной k. Вид АФХ определяется величиной отношения постоян ных времени 7УГ2. Чем больше это отношение, тем меньше колебательность звена. При Г1/7’2> 2 колебатель ное звено превращается в соединение из двух аперио дических звеньев.
При Г1/Г2= 0 степень затухания ф (2-39) будет равна нулю и возникшие в звене колебания будут незатухаю щими с собственной частотой колебаний, равной <во=1 /Т’2 .
9— 196 |
129 |