ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 125
Скачиваний: 0
При 'сравнении выражений (3-28) и (2-ІО) видно, чтб для получения АФХ не нужно производить каких-либо математических преобразований, а достаточно в пере даточной функции звена или системы 'W(р) заменить переменную р на /со.
Так, АФХ системы регулирования температуры су шильного шкафа, изображенной на рис. 1-5, с учетом формулы (2-88) имеет вид:
W У®) ~ (1 + /со* 1800) (1 + /со-300) /со - |
(3‘29) |
Аналогично из формулы (2-95) получаем АФХ АСР нагревательной печи, принципиальная схема которой представлена на рис. 2-1, а структурная схема — на рис. 2-27:
W (/to) = |
г- с |
п I |
'k- т . |
, I |
I |
■ т .— . |
(3-30) |
|
u ' |
(1 + /а>Л) |
(1 + |
/ ш7 2) |
(1 |
+ |
і<йТ3) |
ѵ |
' |
Обозначив в формуле (3-26) АВЫХ/АВХ = Ѵ?(ш) и ?вых —
—получим:
W(ja>) = W(v)eflf (ш). |
' |
(3-31) |
Зависимость отношения амплитуд выходных и вход ных колебаний от их частоты называется амплитудночастотной характеристикой (АЧХ)
^ И = 4 - _ . |
(3-32) |
■™вх |
|
Амплитудно-частотная характеристика • является мо дулем АФХ
Г ( .) = |І Г ( /» ) |= М М . |
(3-33) |
Зависимость разности фазы выходных и входных ко лебаний от частоты называется фазо-частотной характе ристикой (ФЧХ) системы
ф (со)— фвых фвх- |
(3-34) |
Фазо-частотная характеристика является аргументом. АФХ системы.
Так как
Q (/с о ) =b0+jwbt—со262—/с й 3 6 з + Ф 4 0 4 + / с о 5 &5— . . . ;
Р(/оз) =ао+/шаі—со2аг—/ш3аз + аРсц+ ] а ъаъ— ...,
119
то, разделив оба полинома на действительную и мнимую части, получим:
Q (/c o ) = Я < з( со) + / / Q ( Cо) ;
P ( h ) =^P(«)+i^p(cü),
где R Q(со) = b0—Ь2 Coa+ &4 CO4-=— |
... — вещественная |
часть |
||||||
полинома Q(/со); |
|
|
|
|
|
|
|
|
/<з(со)’=іісо—йзи3+ б 5 со5— ... — мнимая |
часть поли |
|||||||
нома Q (/со); |
|
|
|
|
|
|
|
|
Rp(co)—a0—а^оР+а^со'1— |
... — вещественная |
часть |
||||||
полинома P (jсо); |
|
|
|
|
|
|
|
|
/p((ö)=aicö—Язсо3 + а5со5— ... — мнимая |
часть |
поли |
||||||
нома P(jco). |
|
|
|
|
|
|
|
|
С учетом этих зависимостей АЧХ системы выразится |
||||||||
как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
Rl(m)+ /3(со) |
|
|
(3-35) |
||
|
|
|
|
|
||||
Амплитудно-фазовая характеристика |
|
|
||||||
W(Н = |
Q(/<а) |
|
(“) + ИQ(“) |
|
|
|||
Р (/ш) |
Rt (ш) + Uр (“) |
|
|
|||||
Умножив числитель и знаменатель этой дроби на со |
||||||||
пряженный множитель Яр (со)—/7р(со), получим: |
|
|||||||
W (ja) |
= |
(“ ) Яр (<■ >) + |
/ Q ( » ) / p (“ ) |
|
|
|||
|
* £ (« )+ /> ) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
+ |
/ |
/ Q (со) |
(CO) — |
/ р (co)/?Q |
(со) |
|
|
|
|
^(®) + |
/?(«) |
|
|
|
|||
Обозначив |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
®) = |
RQ (<■>) Я , (со) + |
/ Q ( и ) / р |
( и ) |
|
(3-36) |
|||
|
^ И + / р 2(“) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
Ѵ(ш) = |
7Q Н |
^ P ( и ) — |
/ р (со) # Q |
(со) |
|
(3-37) |
||
|
Я?(®)+ 7p(«) |
|
|
|||||
имеем: |
|
|
|
|
|
|||
<W(jco) = U(co)+jV(co). . |
|
(3-38) |
||||||
|
|
|||||||
Величина В1(со) называется вещественной частотной характеристикой системы.
Величина У(со) называется мнимой частотной харак теристикой системы.
120
Таким образом, получаем 'Всего пять частотных ха рактеристик: амплитудно-фазовая W(ja), амплитудночастотная W(со), фазово-частотная ср(со), вещественная частотная U(co) и мнимая частотная 1/(0)). Между эти ми характеристиками, кроме зависимостей (3-31) — (3-38), имеются следующие очевидные связи:
\Ѵ(ш) = У и гИ + Ѵ2 (со); |
(3-39) |
cp(co) = a r c t g '^ . |
' (3-40) |
Для инженерных расчетов широко применяется гра фическое изображение АФХ на комплексной плоскости в координатах t/(со), уV(со).
Из выражения (3-36) следует, что вещественная ча стотная характеристика является четной функцией час тоты, так как со входит как в числитель, так и в зна
менатель только в четных степенях |
(со2, со4, со6, со8 и т. д.) |
|||
и, следовательно, |
Д(со/{)= Д ( —сок). |
|
мнимая |
частотная |
Из выражения |
(3-37) видно, что |
|||
характеристика является нечетной |
функцией |
частоты, |
||
гак как со входит |
в знаменатель |
в |
четных |
степенях, |
а числитель можно представить как 'произведение со на сомножитель, содержащий со в четных степенях; следо вательно, V (он) = — V (—coft).
Таким образом, точки АФХ, соответствующие значе ниям со* и —со/., имеют одну и ту же абсциссу U и рав ные по модулю, но разные по знаку ординаты ±'Ѵ.
Следовательно, АФХ симметрична относительно дей ствительной оси и достаточно построить ее только для со от 0 до оо, так как другая ветвь характеристики для
со от —оо до |
0 является зеркальным отображением по |
|
строенной части относительно действительной оси. |
||
'На АФХ наносятся частотные отметки и стрелками |
||
указывается |
направление возрастания |
частоты (см. |
§3-4). |
характеристики широко |
используются |
Частотные |
||
в инженерной практике при анализе, синтеза и расчете АСР. Особым их достоинством является то, что они мо гут быть получены экспериментальным путем, что осо бенно важно для систем, аналитические уравнения кото рых не представляется возможным получить из-за их сложности или малоизученное™ объекта с точки зрения математического описания технологического процесса.
ш
В связи с этим для оценки динамических свойств замкнутых систем используются их амплитудно-фазовые частотные характеристики (АФХ) в разомкнутом состоя нии.
Для инженерных расчетов особенно широко исполь зуются частотные характеристики, построенные в лога рифмическом масштабе в виде ломаных линий из прямо линейных отрезков.
Логарифмируя выражение (3-31) АФХ, получаем:
]gr(/co)=lg^(co)+/cp(M )lge.
Логарифмической единицей усиления или ослабления мощности сигнала при прохождении его через какое-ли бо устройство при выражении десятичным логарифмом величины отношения мощности на выходе РВых к мощнос ти на входе Рвх в технике принят бел (по имени амери канского изобретателя А. Бёлла).
Так как мощность сигнала пропорциональна квадра ту его амплитуды, то с учетом (3-32) получим:
1„- А ы і |
In-/" / » H I \ 2 _ о |
|
g я « |
H A* ) |
g A« ' |
Так как бел является достаточно крупной единицей усиления (ослабления) мощности (увеличение мощности в 10 раз равно 1 б), то в теории автоматического регу
лирования за единицу |
измерения ее принят |
децибел |
1 56=0,1 б. |
|
|
С учетом этого можем записать: |
|
|
10-2 lg 4 ~ |
= 20 lg ІГ (со)==А (со). |
|
•™DX |
|
|
Велична логарифма АЧХ, выраженная в децибелах: |
||
L(cö) =20 lg W (со), . |
(3-41) |
|
называется логарифмической амплитудно-частотной ха
рактеристикой (ЛАЧХ). |
|
ср(со), построенная |
Фазо-частотная характеристика |
||
в полулогарифмическом |
масштабе |
(в координатах: угол |
ср в градусах или радианах и lg со), называется логариф мической фазо-частотной характеристикой (ЛФЧХ).
За единицу измерения частоты используется лога рифмическая единица октаву иди более крупная — дека
122